Particiones y funciones escalonadas
Notación (Particiones y funciones escalonadas asociadas)
| Sea \(f : [a,b] \to \mathbb{R}\) acotada por \(M\), es decir $$ | f(x) | \leq M\(en\)[a,b]$$, y sea |
| una sucesión de particiones de \([a,b]\) tales que \(\Gamma_{k} \subseteq \Gamma_{k+1}\) (cada una refina a la anterior) y cuya malla $$ | \Gamma_{k} | = \max_{i} (x_{i}^{k} - x_{i-1}^{k})\(tiende a cero. Escribiendo\)x_{i} = x_{i}^{k}\(y\)n = n_{k}$$ para aligerar la notación, consideremos: |
-
si \(m_{i} = \inf_{[x_{i-1},x_{i}]} f(x)\), la escalonada inferior
\[\ell_{k}(x) = \sum_{i=1}^{n-1} m_{i} \mathbf{1}_{[x_{i-1},x_{i})} + m_{n} \mathbf{1}_{[x_{n-1},x_{n}]};\] -
si \(M_{i} = \sup_{[x_{i-1},x_{i}]} f(x)\), la escalonada superior
\[u_{k}(x) = \sum_{i=1}^{n-1} M_{i} \mathbf{1}_{[x_{i-1},x_{i})} + M_{n} \mathbf{1}_{[x_{n-1},x_{n}]}.\]
Las integrales de estas funciones simples son las sumas de Darboux:
\[\int_{[a,b]} \ell_{k}(x) \, dx = \sum_{i=1}^{n} m_{i} (x_{i} - x_{i-1}), \qquad \int_{[a,b]} u_{k}(x) \, dx = \sum_{i=1}^{n} M_{i} (x_{i} - x_{i-1}).\]Nota (Monotonía de las escalonadas bajo refinamiento)
Note que
\[\ell_{k}(x) \leq f(x) \leq u_{k}(x) \quad \text{para todo } x \in [a,b].\]Recordemos que si \(\Gamma_{k} \subseteq \Gamma_{k+1}\), entonces
- \(\ell_{k} \leq \ell_{k+1}\);
- \(u_{k} \geq u_{k+1}\).
| Como $$ | f(x) | \leq M\(para\)x \in [a,b]\(, entonces\) | \ell_{k} | \leq M\(y\) | u_{k} | \leq M\(en\)[a,b]$$. Por monotonía y acotación, existen los límites puntuales |
que son medibles por ser límites de medibles, y satisfacen \(\ell(x) \leq f(x) \leq u(x)\) para todo \(x \in [a,b]\).
Proposición (Las sumas de Darboux convergen a las integrales de \(\ell\) y \(u\))
Con la notación anterior,
\[\lim_{k \to \infty} \int_{[a,b]} \ell_{k}(x) \, dx = \int_{[a,b]} \ell(x) \, dx, \qquad \lim_{k \to \infty} \int_{[a,b]} u_{k}(x) \, dx = \int_{[a,b]} u(x) \, dx.\]Es decir, estas integrales son el límite de las sumas inferiores y superiores de Darboux. Además,
\[\int_{[a,b]} u(x) \, dx = \int_{[a,b]} \ell(x) \, dx \iff \int_{[a,b]} \big( u(x) - \ell(x) \big) \, dx = 0 \iff u = \ell \ \text{c.p.d.}\]Prueba: Las funciones \(\ell_{k} + M\) y \(u_{k} + M\) son medibles, no negativas, convergen puntualmente a \(\ell + M\) y \(u + M\) respectivamente, y están dominadas por la constante \(2M\), que es integrable en \([a,b]\) pues \(m([a,b]) = b - a < \infty\). El teorema de convergencia dominada implica entonces que
\[\lim_{k \to \infty} \int_{[a,b]} (\ell_{k} + M) \, dx = \int_{[a,b]} (\ell + M) \, dx,\]y restando la constante \(M(b-a)\) de ambos lados (linealidad) se obtiene la afirmación para \(\ell_{k}\); el argumento para \(u_{k}\) es idéntico.
Para las equivalencias: como \(u - \ell \geq 0\) y ambas son integrables (están acotadas por \(M\) en un dominio de medida finita), la linealidad da
\[\int_{[a,b]} u \, dx - \int_{[a,b]} \ell \, dx = \int_{[a,b]} (u - \ell) \, dx,\]así que la primera equivalencia es inmediata. La segunda es el corolario de la desigualdad de Markov: una función no negativa tiene integral nula si y solo si es nula c.p.d.
Nota (Si las sumas coinciden, la integral de Riemann es la de Lebesgue)
Concluimos que, si las sumas inferiores y superiores de Darboux convergen al mismo valor, entonces
\[u = \ell = f \quad \text{c.p.d.}\](pues \(\ell \leq f \leq u\)), la función \(f\) es medible por coincidir c.p.d. con la función medible \(\ell\), y por lo tanto
\[\lim_{k \to \infty} \sum_{i=1}^{n} m_{i} (x_{i} - x_{i-1}) = \lim_{k \to \infty} \sum_{i=1}^{n} M_{i} (x_{i} - x_{i-1}) = \int_{[a,b]} f(x) \, dx,\]donde la integral es la de Lebesgue. Es decir, cuando \(f\) es Riemann integrable, su integral de Riemann coincide con su integral de Lebesgue.
La caracterización de Lebesgue de la integrabilidad de Riemann
Teorema (Criterio de Lebesgue: Riemann integrable equivale a continua c.p.d.)
Sea \(f : [a,b] \to \mathbb{R}\) acotada. Entonces son equivalentes:
- \(f\) es Riemann integrable;
- \(f\) es continua c.p.d. en \([a,b]\).
En tal caso, las integrales de Riemann y de Lebesgue de \(f\) sobre \([a,b]\) coinciden.
| Prueba: Fijamos una sucesión de particiones \(\Gamma_{k}\) con \(\Gamma_{k} \subseteq \Gamma_{k+1}\) y $$\lim_{k \to \infty} | \Gamma_{k} | = 0$$, y usamos la notación de la subsección anterior. |
(i) implica (ii). Comenzamos asumiendo que \(f\) es Riemann integrable; entonces las sumas inferiores y superiores convergen ambas a la integral de Riemann, y por la proposición anterior \(u = \ell = f\) c.p.d. Sea
\[Z = \{ \ell \neq f \} \cup \{ \ell \neq u \} \cup \{ f \neq u \} \cup \bigcup_{k=1}^{\infty} \Gamma_{k}.\]Entonces \(m(Z) = 0\), pues es unión numerable de conjuntos nulos: los tres primeros por lo anterior, y cada \(\Gamma_{k}\) por ser finito. Si \(x \notin Z\), entonces
\[u(x) = \ell(x) = f(x), \qquad x \notin \Gamma_{k} \ \text{para todo } k \geq 1.\]Afirmamos que \(f\) es continua en cada \(x \notin Z\). Supongamos que \(f\) no es continua en \(x\). Entonces existe un \(\varepsilon > 0\) tal que para todo \(\delta > 0\) existe \(x_{\delta}\) con
\[|x_{\delta} - x| < \delta \qquad \text{y} \qquad |f(x) - f(x_{\delta})| > \varepsilon.\]Dado \(k\), como \(x \notin \Gamma_{k}\), existen nodos consecutivos \(x_{i-1}^{k}, x_{i}^{k}\) tales que \(x \in (x_{i-1}^{k}, x_{i}^{k})\), que es abierto. Tomemos \(\delta > 0\) tal que
\[(x - \delta, x + \delta) \subseteq (x_{i-1}^{k}, x_{i}^{k}).\]Entonces \(x_{\delta} \in (x_{i-1}^{k}, x_{i}^{k})\) y, como ambos puntos pertenecen al mismo subintervalo de la partición,
\[\varepsilon < |f(x) - f(x_{\delta})| \leq M_{i} - m_{i} = u_{k}(x) - \ell_{k}(x).\]Como esto vale para todo \(k\), haciendo \(k \to \infty\) obtenemos
\[u(x) - \ell(x) \geq \varepsilon > 0,\]lo que contradice \(u(x) = \ell(x)\). Concluimos que \(f\) es continua en todo punto fuera del conjunto nulo \(Z\), es decir, \(f\) es continua c.p.d.
(ii) implica (i). Asumamos ahora que
\[Z = \{ x \in [a,b] :\ f\ \text{es discontinua en } x \}\]es de medida cero. Sean \(x \notin Z \cup \{a, b\}\) y \(\varepsilon > 0\). Por continuidad de \(f\) en \(x\), existe \(\delta > 0\) tal que
\[|x - y| < \delta \implies |f(x) - f(y)| < \frac{\varepsilon}{2}.\]Tome ahora \(k_{0}\) tal que
\[|\Gamma_{k}| < \frac{\delta}{2} \quad \text{si } k \geq k_{0}.\]| Para \(k \geq k_{0}\), sea \(i\) tal que \(x \in [x_{i-1}, x_{i})\). Entonces todo punto \(y\) del subintervalo cerrado \([x_{i-1}, x_{i}]\) satisface $$ | y - x | \leq x_{i} - x_{i-1} \leq | \Gamma_{k} | < \delta$$, es decir, |
Por lo tanto,
\[f(x) - \frac{\varepsilon}{2} \leq f(y) \leq f(x) + \frac{\varepsilon}{2} \quad \text{para } y \in [x_{i-1}, x_{i}],\]y tomando ínfimo y supremo sobre ese subintervalo,
\[f(x) - \frac{\varepsilon}{2} \leq m_{i} \leq M_{i} \leq f(x) + \frac{\varepsilon}{2}.\]Es decir, para \(k \geq k_{0}\),
\[|u_{k}(x) - f(x)| \leq \frac{\varepsilon}{2} < \varepsilon, \qquad |\ell_{k}(x) - f(x)| \leq \frac{\varepsilon}{2} < \varepsilon.\]Lo anterior nos dice que
\[\lim_{k \to \infty} \ell_{k}(x) = f(x), \qquad \lim_{k \to \infty} u_{k}(x) = f(x)\]para todo \(x\) fuera del conjunto nulo \(Z \cup \{a,b\}\), es decir, \(\ell = u = f\) c.p.d.; en particular \(f\) es medible. Por el teorema de convergencia dominada (aplicado como en la proposición anterior, con dominación por la constante \(M\) en el dominio de medida finita \([a,b]\)), se cumple que
\[\lim_{k \to \infty} \int_{[a,b]} \ell_{k}(x) \, dx = \int_{[a,b]} f(x) \, dx, \qquad \lim_{k \to \infty} \int_{[a,b]} u_{k}(x) \, dx = \int_{[a,b]} f(x) \, dx.\]Es decir, las sumas inferiores y superiores de Darboux convergen ambas al mismo valor; en particular, dado \(\varepsilon > 0\) existe una partición cuya suma superior y suma inferior difieren en menos de \(\varepsilon\), y por el criterio de Darboux \(f\) es Riemann integrable. En conclusión, \(f\) es Riemann integrable y las integrales de Riemann y Lebesgue concuerdan.