Análisis I

El primer curso de la línea de análisis en la UCR, impartido como Análisis I, siguiendo las lecciones del Dr. Pedro Méndez Hernández. Se divide en dos mitades. La primera construye el análisis sobre un espacio métrico general: normas en \(\mathbb{R}^{d}\), conjuntos abiertos y cerrados, interior y clausura, la continuidad y sus caracterizaciones topológicas, la compacidad en sus versiones secuencial y por cubrimientos, la completitud y la compleción de un espacio métrico, el teorema de Arzelà–Ascoli, la conexidad y la arcoconexidad, y los teoremas de Baire.

La segunda mitad desarrolla la teoría de la medida: las funciones de variación acotada y la descomposición de Jordan, la integral de Riemann–Stieltjes, la medida exterior de Lebesgue y la medibilidad, la σ-álgebra de los conjuntos medibles, el conjunto de Cantor y un conjunto no medible, las funciones medibles, los teoremas de Egorov y Lusin, la convergencia en medida, la integral de Lebesgue primero para funciones no negativas y luego en general, los teoremas de convergencia monótona y dominada, y finalmente la caracterización de Lebesgue de la integrabilidad de Riemann.

Estos son apuntes personales que tomé como estudiante. Fueron escritos en español y traducidos al inglés; ambas versiones están disponibles y puede cambiar de idioma en cualquier momento. Se comparten tal cual, pueden contener errores y no están afiliados al profesor.