Grupos cíclicos
Definición (Orden de un grupo y de un elemento)
Sea \((G, \ast)\) un grupo. El orden de \(G\) es la cantidad de elementos de \(G\) y se denota por \(\lvert G \rvert\).
- Si existe \(p\) primo tal que tal que \(\lvert G \rvert = p^{k}\) con \(k \in \mathbb{N}\). decimos que \(G\) es un \(p\)-grupo.
- Si \(G\) es un grupo y \(g \in G\). el orden de \(g\) (\(\lvert g \rvert\)) es el menor \(n \in \mathbb{N}\) tal que \(g^{n} = 1_{G}\). Si tal \(n\) no extiste, decimos que tal \(\lvert g \rvert = \infty\).
Ejemplos (Órdenes en \(\mathbb{Z}_n\))
- \((\mathbb{Z}_{n}, +) = \{ [0],[1],\dots,[n-1] \}\), \(\lvert \mathbb{Z}_{n} \rvert = n\).
-
Considere \((\mathbb{Z}_{4}, +) = \{ [0], [1], [2], [3] \}\), \(\lvert \mathbb{Z}_{4} \rvert = 4\). Note que
\[[2] \neq [0] \quad \land \quad [2]+[2] = [0],\]
por lo que \(\lvert [2] \rvert = 2\). De la misma manera, verificamos que \(\lvert [1] \rvert = 4\) y \(\langle [1] \rangle = \mathbb{Z}_{4}\).
Teorema (Orden y divisibilidad)
Sea \(G\) un grupo y \(g \in G\), \(n \in \mathbb{Z}\). Entonces
\[g^{n} = 1_{G} \iff \lvert g \rvert \mid n.\]Prueba: Hagamos el caso de \(n \in \mathbb{N}\). (\(\impliedby\)): Si \(\lvert g \rvert \mid n\), existe \(k \in \mathbb{N}\) tal que \(k \lvert g \rvert = n\). Entonces
\[g^{n} = g^{k \lvert g \rvert } = (g^{\lvert g \rvert })^{k} = (1_{G})^{k} = 1_{G}.\]\((\implies)\): Suponga que \(g^{n} = 1_{G}\). Por minimalidad, \(\lvert g \rvert \leq n\). Por algoritmo de la división, existen \(q,r \in \mathbb{N}\) tales que \(n = q \lvert g \rvert + r\) y \(0 \leq r < \lvert g \rvert\). Entonces,
\[1_{G} = g^{n} =g^{q \lvert g \rvert} \ast g^{r} = 1_{G} \ast g^{r} = g^{r},\]de donde concluimos que \(r = 0\) por minimalidad de \(\lvert g \rvert\), por tanto \(\lvert g \rvert \mid n\).
Para el caso general \(n \in \mathbb{Z}\), basta ver que \(g^{n} = 1_{G} \iff g^{-n} = 1_{G}\) y además \(\lvert g \rvert \mid n \iff \lvert g \rvert \mid -n\).
Definición (Grupo cíclico)
Sea \(G\) un grupo. \(G\) es cíclico si existe \(g \in G\) tal que \(G = \langle g \rangle\).
Ejemplo (Grupos cíclicos)
- \((\mathbb{Z}, +) = \langle 1 \rangle = \langle -1 \rangle\). Tenemos que \(\lvert \mathbb{Z} \rvert = \infty, \lvert 1 \rvert = \infty, \lvert 2 \rvert = \infty\).
-
Considere \(\mathbb{Z}_{5}\) con la multiplicación de clases de equivalencia (congruencia módulo 5) definida anteriormente. Definimos
\[U(5) = \{ [x] \in \mathbb{Z}_{5}: \exists [y] \in \mathbb{Z}_{5}([x] \cdot [y]=[1]) \} = \mathbb{Z}^{\ast}_{5}\]
¿\(U(5)\) es un grupo cíclico? Sí, por ejemplo, \(\lvert [2] \rvert = 4\). De la misma manera, su inverso \([3]\) también funciona para generar a \(U(5)\). Pero \([4]\) no. Así, \(\langle [2] \rangle, \langle [3] \rangle\).
Definición (Unidades de \(\mathbb{Z}_{m}\))
Considere \(\mathbb{Z}_{m}\). Defina
\[U(m) = \{ [x] \in \mathbb{Z}_{m}: \exists [y] \in \mathbb{Z}_{m}([x] \cdot [y] = [1]) \}.\]Decimos que \([a]\) es una unidad de \(\mathbb{Z}_{m}\) si \(a \in U(m)\).
Ejercicio (Caracterización de unidades)
Muestre que \([a] \in U(m) \iff \operatorname{MCD}(a,m) = 1\).
Teorema (Generador de \(\mathbb{Z}_m\))
Sea \(m \in \mathbb{N}^{\ast}\). Considere \((\mathbb{Z}_{m}, +)\). Sea \([a] \in \mathbb{Z}_{m}\). Sea \([a] \in \mathbb{Z}_{m}\). Entonces
\[\langle [a] \rangle = \mathbb{Z}_{m} \iff \operatorname{MCD}(a,m) = 1.\]Prueba: (\(\impliedby\)): Suponga que \(\operatorname{MCD}(a,m)=1\). Por el ejercicio anterior, existe \([a]^{-1} \in \mathbb{Z}_{m}\) tal que \([a] \cdot [a] ^{-1} = [1]\). Sea \([b] \in \mathbb{Z}_{m}\). Probaremos que \([b] \in \langle [a] \rangle\). Sea \(k \in \mathbb{Z}\) tal que \([k]:=[b] \cdot [a^{-1}]\). Así.
\[\begin{aligned} [k]= [b] \cdot [a]^{-1} \implies [k] \cdot [a] = [b] \implies [a] + \dots + [a] = [b], \end{aligned}\]de donde concluimos que \(b \in \langle[a]\rangle\), y por tanto \(\langle [a] \rangle = \mathbb{Z}_{m}\). La otra dirección se deja como ejercicio.
Nota (Cardinalidad de grupos cíclicos)
Si \(G\) es cíclico, entonces \(G\) es numerable (\(\lvert G \rvert \leq \lvert \mathbb{N} \rvert\)). Por ser cíclico, existe \(g \in G\) tal que \(G = \langle g \rangle = \{ g^{n}:n \in \mathbb{Z} \}\). Considere la función \(\Phi: \mathbb{Z} \to G\) tal que \(n \mapsto g^{n}\). Como \(g\) es cíclico, esta función es sobreyectiva. Así, \(\lvert G \rvert \leq \lvert \mathbb{Z} \rvert\). Esto implica que cualquier grupo construido a partir de conjuntos no numerables, como \((\mathbb{R}, +)\), no puede ser cíclico.
Proposición (Grupos cíclicos y orden)
Sea \(G\) un grupo cíclico con \(g \in G\) tal que \(G = \langle g \rangle\). Entonces:
- Si \(\lvert g \rvert = \infty\), entonces \(g^{i}=g^{j} \iff i=j\).
- Si \(\lvert g \rvert=n \in \mathbb{N}\), entonces \(\langle g \rangle = \{ e,g,\dots, g^{n-1}\}\). En este caso \(g^{i} = g^{j} \iff n \mid i-j\). Esto implica que \(\lvert G \rvert = \lvert g \rvert\).
Prueba: Para (1), suponga que \(\lvert g \rvert=\infty\). Luego para todo \(n \in \mathbb{N}\), \(g^{n} \neq e\). Suponga que existen \(i,j\) distintos (con \(i<j\) sin pérdida de generalidad) tales que \(g^{i} = g^{j}\). Como \(j-i>0\), tenemos que \(e = g^{i} \ast g^{-i} =g^{j-i}\), una contradicción pues \(g\) tiene orden infinito. Para (2), sabemos que \(\langle g \rangle = \{ g^{n}: n \in \mathbb{Z} \}\), por lo que \(\{ e,g,\dots, g^{n-1}\} \subseteq \langle g \rangle\). Ahora, sea \(h \in \langle g \rangle\). Entonces, existe \(k \in \mathbb{Z}\) tal que \(h = g^{k}\). Por algoritmo de la división, existen \(q,r \in \mathbb{Z}\) con \(0\leq r\leq n-1\) tales que \(k=nq+r\). Así, \(h=g^{nq+r} = (g^{n})^{q} \ast g^{r} = g^{r} \in \{ e,g,\dots, g^{n-1}\}\). Concluimos que \(\langle g \rangle = \{ e,g,\dots, g^{n-1}\}\). Ahora, dados \(i,j \in \mathbb{Z}\), suponga que \(g^{i} = g^{j} \implies g^{i-j} = e\), luego \(\lvert g \rvert \Big\lvert i-j\). Por último, basta mostrar que si \(0 \leq i<j<n\) entonces \(g^{i} \neq g^{j}\). Note que \(0<j-i<n\), por lo que si \(g^{i} = g^{j}\), entonces \(g^{j-i} = e\), lo que contradice la minimalidad del orden \(n\).
Subgrupos de Grupos Cíclicos
Lema (Divisibilidad y subgrupo generado)
Sea \(G\) un grupo cíclico y \(g \in G\) tal que \(G = \langle g \rangle\). Si \(k \mid \ell\), entonces \(\langle g^{\ell} \rangle \subseteq \langle g^{k} \rangle\).
Prueba: Sea \(x \in \langle g^{\ell} \rangle\). Existe \(r \in \mathbb{Z}\) tal que \(x=(g^{\ell})^{r}\). Además, como \(k \mid \ell\), existe \(t \in \mathbb{Z}\) tal que \(tk = \ell\). Así, \(x = (g^{tk})^{r} = (g^{k})^{tr} \in \langle g^{k} \rangle\).
Ejercicio (Orden de potencia)
Si \(g \in G\) con \(\lvert g \rvert = rs\), con \(r,s \in \mathbb{N}\), entonces \(\lvert g^{r} \rvert = s\).
Proposición (Ordenes de subgrupos de grupos cíclicos)
Sea \(G\) grupo y \(g \in G\) tal que \(\lvert g \rvert = n\). Dado \(k \in \mathbb{N}\), entonces
- \[\langle g^{k} \rangle = \langle g^{\operatorname{mcd}(n,k)} \rangle\]
- Si \(c \mid n\), entonces \(\lvert g^{c} \rvert = \frac{n}{c}\).
En particular, \(\lvert g^{k} \rvert = \frac{n}{\operatorname{mcd}(n,k)}\).
Prueba: Para (1), Sea \(d=\operatorname{mcd}(n,k)\). Es claro que \(d \mid k \implies \langle g^{k} \rangle \subseteq \langle g^{d} \rangle\). Por otro lado, por lema de Bezout, existen \(r,t \in \mathbb{Z}\) tales que \(d = rn + tk\). Luego, \(g^{d} = g^{rn} \ast g^{tk} = (g^{k})^{t},\) por lo que \(g^{d} \in \langle g^{k} \rangle\) y por tanto \(\langle g^{d} \rangle \subseteq \langle g^{k} \rangle\). Concluimos que \(\langle g^{d} \rangle = \langle g^{k} \rangle\).
Ahora, para (2), como \(c \mid n\), existe \(m \in \mathbb{Z}\) tal que \(mc = n \implies m = \frac{n}{c} \in \mathbb{Z}\). Usando el ejercicio anterior, tenemos que \(\lvert g \rvert = \frac{n}{c} \cdot c\) y por tanto \(\lvert g^{c} \rvert = \frac{n}{c}\). Para el resultado particular, tome \(c=d\) en (2) y use la propiedad (1).
Corolario (orden de elementos en grupos cíclicos)
Sea \(G\) cíclico tal que \(\lvert G \rvert = n\) y \(h \in G\). Entonces, \(\lvert h \rvert \Big\lvert n\).
Prueba: Sea \(g \in G\) tal que \(\langle g \rangle = G\). Como \(h \in G\), existe \(k \in \{ 0,\dots,n-1 \}\) tal que \(h = g^{k}\). Así, \(\lvert h \rvert = \lvert g^{k} \rvert = \frac{n}{\operatorname{mcd}(n,k)} \implies \lvert h \rvert \operatorname{mcd}(n,k) = n\), de donde se sigue la divisibilidad.
Teorema (Igualdad de subgrupos)
Sea \(G\) un grupo y \(g \in G\) tal que \(\lvert g \rvert = n\). Las siguientes son equivalentes:
- \[\operatorname{mcd}(k,n) = \operatorname{mcd}(\ell, n)\]
- \(\langle g^{k} \rangle = \langle g^{\ell} \rangle\).
- \(\lvert g^{k} \rvert = \lvert g^{\ell} \rvert\).
Prueba: \((2) \implies (3)\) es trivial. Para \((1) \implies (2)\), asuma que \(\operatorname{mcd}(k,n) = \operatorname{mcd}(\ell, n)\). Note que
\[\langle g^{k} \rangle = \langle g^{\operatorname{mcd}(n,k)} \rangle = \langle g^{\operatorname{mcd}(n,\ell)} \rangle = \langle g^{\ell} \rangle.\]Finalmente, para \((3) \implies (1)\), usando la proposición anterior, note que
\[\lvert g^{k} \rvert = \lvert g^{\ell} \rvert \implies \frac{n}{\operatorname{mcd}(n,k)} = \frac{n}{\operatorname{mcd}(n, \ell)} \implies \operatorname{mcd}(n,k) = \operatorname{mcd}(n, \ell).\]Corolario (Elemento generador de un grupo cíclico)
Sea \(G = \langle g \rangle\) con \(\lvert g \rvert=n\). Sea \(k \in \mathbb{Z}\). Entonces \(G = \langle g^{k} \rangle \iff \operatorname{mcd}(n,k) = 1\).
Prueba: Por el teorema anterior \(\langle g^{k} \rangle = \langle g^{1} \rangle \iff \operatorname{mcd}(n,k)=\operatorname{mcd}(n,1) = 1\).
Teorema (Subgrupo de grupo cíclico es cíclico)
Sea \(G\) un grupo cíclico y \(H \leq G\). Entonces \(H\) es cíclico.
Prueba: Sea \(g \in G\) tal que \(G = \langle g \rangle\). Si \(H\) es el subgrupo trivial, claramente es cíclico. Suponga que \(H\) es no trivial. Sea \(e \neq h \in H\). Como \(h \in H \subseteq G = \langle g \rangle\), existe \(0 \neq k \in \mathbb{Z}\) tal que \(h = g^{k}\). Defina \(A = \{ n \in \mathbb{N}^{\ast} : g^{n} \in H\}\). Note que \(A \neq \emptyset\), pues si \(k \geq 0\), \(k \in A\), y en caso contrario \(-k \in A\) (por ser \(H\) un grupo, \(h^{-1} \in H\)). Luego, aplicando el principio del buen orden, \(A\) tiene un elemento minimal \(\ell\). Probaremos que \(H = \langle g^{\ell} \rangle\). Por un lado, como \(\ell \in A\), \(g^{\ell}\in H\) y por tanto \(\langle g^{\ell} \rangle \subseteq H\). Ahora, tome \(t \in H\). Existe \(i \in \mathbb{Z}\) tal que \(t = g^{i}\). Suponiendo que \(i \neq 0\), por algoritmo de la división, existen \(q,r \in \mathbb{Z}\) con \(0\leq r<\ell\) tales que \(i = q\ell+r \implies r = i-q\ell\). Así, \(g^{r} = g^{i} \ast g^{-q \ell} \in H\). Si \(r\neq0\), tenemos que \(r \in A\), lo que contradice la minimalidad de \(\ell\). Concluya que \(r=0\). Así, \(t = g^{i} = (g^{\ell})^{q}\), de donde tenemos que \(t \in \langle g^{\ell} \rangle\), Concluimos que \(H = \langle g^{\ell} \rangle\).
Nota (Hallazgo del generador)
Por la prueba, sabemos como encontrar un generador de \(H\) a partir de un generador de \(G\),
Teorema (Lagrange para grupos cíclicos)
Sea \(G\) un grupo cíclico tal que \(\lvert G \rvert = n\) y \(H \leq G\). Entonces, \(\lvert H \rvert \Big\lvert n\).
Prueba: Sea \(g \in G\) tal que \(\langle g \rangle=G\) y \(H\leq G\). Luego, \(H\) es cíclico y existe \(k \in \mathbb{N}\) tal que \(H = \langle g^{k} \rangle\). Sea \(d = \operatorname{mcd}(n,k)\). Entonces,
\[\lvert H \rvert = \lvert \langle g^{k} \rangle \rvert = \lvert g^{k} \rvert = \frac{n}{d} \implies d \lvert H \rvert = n,\]de donde se sigue la divisibilidad.
Teorema (Unicidad de ordenes en subgrupos)
Sea \(G\) un grupo cíclico con \(\lvert G \rvert = n\) y sea \(k \in \mathbb{N}\) tal que \(k \mid n\). Entonces existe un único subgrupo \(H\) de \(G\) con \(\lvert H \rvert = k\). Además, si \(G = \langle g \rangle\) entonces \(H = \langle g^{n/k} \rangle\)
Prueba: Sea \(\ell = \frac{n}{k} \in \mathbb{N}\) (pues \(k \mid n\)). Sea \(H = \langle g^{\ell} \rangle\). Entonces, \(\lvert H \rvert = \lvert \langle g^{\ell} \rangle \rvert = \frac{n}{\operatorname{mcd}(n, \ell)}\). Ahora, como \(n = k\ell\) entonces \(\operatorname{mcd}(n, \ell) = \operatorname{mcd}(k\ell, \ell) = \ell \operatorname{mcd}(k,1) = \ell\). Así, \(\lvert H \rvert = \frac{n}{\ell} = k\). La unicidad queda como ejercicio.