Grupos y Anillos

Un primer curso de álgebra abstracta impartido en la UCR como Grupos y Anillos, siguiendo las lecciones de la Dra. Samaria Montenegro Guzmán. Se desarrolla en dos movimientos, grupos y luego anillos, cada uno construido desde los axiomas.

La teoría de grupos cubre los subgrupos, los grupos cíclicos y la clasificación de sus subgrupos, el grupo de permutaciones \(S_{n}\) y su estructura de ciclos, el centro y los centralizadores, los homomorfismos, los complejos de cadenas y las sucesiones exactas, la traslación y la conjugación, las coclases y el teorema de Lagrange, los subgrupos normales y los grupos cociente, los teoremas del isomorfismo, las acciones de grupo, las órbitas y los estabilizadores, los grupos simples y los teoremas de Sylow.

La teoría de anillos cubre los anillos, cuerpos y dominios enteros, el anillo de polinomios \(R[x]\) con su algoritmo de la división y sus raíces, los ideales y el ideal generado por un conjunto, los ideales maximales y el teorema de Krull, los ideales primos y el nilradical, los productos y cocientes de anillos, el teorema de correspondencia, los homomorfismos de anillos y los teoremas del isomorfismo, los subanillos primos y la característica, el homomorfismo de Frobenius y el pequeño teorema de Fermat, el cuerpo de fracciones y su propiedad universal, y la factorización de homomorfismos a través del cociente.

Estos son apuntes personales que tomé como estudiante. Fueron escritos en español y traducidos al inglés; ambas versiones están disponibles y puede cambiar de idioma en cualquier momento. Se comparten tal cual, pueden contener errores y no están afiliados a la profesora.