Definiciones elementales
Definición (Homomorfismo de grupos)
Sean \((G,\ast_{G}), (H,\ast_{H})\) grupos. Un homomorfismo de grupos entre \(G\) y \(H\) es una función \(f:G\to H\) tal que
\[\forall a,b, \in G \quad \Big( f(a \ast_{G} b) = f(a) \ast_{h} f(b)\Big).\]Ejemplos (Homomorfismos básicos)
-
Sea \(G\) un grupo y \(f:G\to G\) tal que \(f(x) = 1_{G}\) para todo \(x \in G\). Note que
\[f(x \ast y) = 1_{G} = 1_{G} \ast 1_{G} = f(x) \ast f(g)\] -
Considere \(f:(\mathbb{R},+) \to (\mathbb{R}^{\ast}, \cdot)\) tal que \(f(x) = e^{x}\). Note que
\[f(x+y) = e^{x+y} = e^{x} \cdot e^{y} = f(x) \cdot f(y).\]
Proposición (Propiedades de los homomorfismos)
Sean \((G,\ast_{G}), (H,\ast_{H})\) grupos y \(f:G\to H\) un homomorfismo. Entonces:
- \(f(1_{G}) = 1_{H}\),
- \(\forall g \in G \quad \Big( f(g^{-1}) = \big(f(g)\big)^{-1}\Big)\),
- \[\forall n \in \mathbb{Z} \quad \Big(f(g^{n}) = \big(f(g)\big)^{n}\Big)\]
- Si \(g \in G\) y \(\lvert g \rvert = n\), entonces \(\lvert f(g) \rvert \Big\lvert n\).
Prueba: Para (1), note que
\[f(1_{G}) = f(1_{G} \ast_{G} 1_{G}) = f(1_{G}) \ast_{H} f(1_{G}),\]de donde concluimos que \(f(1_{G}) = 1_{H}\). Para (2), note que
\[g \ast_{G} g^{-1} = 1_{G} \implies f(g) \ast_{H} f(g^{-1}) = 1_{H} \implies f(g^{-1}) = \big(f(g)\big)^{-1}.\]Para (3), en el caso \(n\geq 0\), procedemos por inducción. El caso base \(n=0\) se probó en (1). Suponga como hipótesis inductiva que \(f(g^{n})=\big(f(g)\big)^{n}\) para algún \(n \in \mathbb{N}\). Note que
\[\begin{aligned} f(g^{n+1}) = f(g^{n} \ast_{G} g) &=f(g^{n}) \ast_{H} f(g)\\ &=\big(f(g)\big)^{n} \ast_{H} f(g) \\ &= \big(f(g)\big)^{n+1}. \end{aligned}\]Ahora, para \(n<0\), note que \(-n > 0\). Así, \(g^{n} = (g^{-n})^{-1}\). Así,
\[f(g^{n}) = f\big((g^{-n})^{-1}\big) = \big(f(g^{-n})\big)^{-1} = \Big(\big(f(g)\big)^{-n}\Big)^{-1} = \big(f(g)\big)^{n}.\]Finalmente, para (4), como \(\lvert g \rvert = n\),
\[g^{n} = 1_{G} \implies f(g^{n}) = \big(f(g)\big)^{n} = 1_{H},\]de donde deducimos que \(\lvert f(g) \rvert \Big\lvert n\).
Ejemplo (Proyección y homomorfismos a \(\mathbb{Z}\))
-
Considere \(f:(\mathbb{Z}, +)\to(\mathbb{Z}_{n}, +)\) tal que \(x \mapsto [x]\). Note que
\[f(x+y) = [x+y] = [x] + [y] = f(x) + f(y),\]
de donde concluimos que \(f\) es un homomorfismo.
- ¿Existe un homomorfismo no trivial \(f:\mathbb{Z}_{n} \to \mathbb{Z}\)? Si existiera, note que \(\lvert [1] \rvert = n\) y entonces \(\lvert f[1] \rvert \Big\lvert n\), una contradicción, pues el orden de los elementos en \(\mathbb{Z}\) es infinito (salvo el cero).
Proposición (Composición de homomorfismos)
Sean \(G,H,K\) grupos y \(f:G\to H\), \(g:H\to K\) homomorfismos. Entonces \(g \circ f:G \to K\) es un homomorfismo.
Prueba: Ejercicio
Definición (Kernel e Imagen de un homomorfismo)
Sean \(G,H\) grupos y \(f:G\to H\) homomorfismo. Defina
\[\begin{aligned} \operatorname{Ker}(f) &= \{ x \in G: f(x) = 1_{H} \} \subseteq G \\ \operatorname{Im}(f) &= \{ f(x):x \in G \} \subseteq H. \end{aligned}\]Teorema (Kernel e Imagen son subgrupos)
Sean \(G,H\) grupos y \(f:G\to H\) homomorfismo. Entonces,
- \[\operatorname{Ker}(f) \leq G\]
- \[\operatorname{Im}(f) \leq H\]
Prueba: Para (1), note que \(1_{G} \in \operatorname{Ker}(f)\), por lo que \(\operatorname{Ker}(f) \neq \emptyset\). Sean \(x,y \in \operatorname{Ker}(f)\).
\[f(x \ast_{G} y^{-1}) = f(x) \ast_{H} f(y^{-1}) =1_{H} \implies x \ast_{G} y \in \operatorname{Ker}(f).\]Para (2), note que \(f(1_{G}) = 1_{H} \in \operatorname{Im}(f)\), por lo que \(\operatorname{Im}(f) \neq \emptyset\). Sean \(a,b \in \operatorname{Im}(f)\). Luego, existen \(x,y \in G\) tales que \(f(x) = a\) y \(f(y) = b\). Por propiedades de homomorfismos, \(b^{-1} = f(y^{-1})\). Así,
\[f(x \ast_{G} y^{-1}) = f(x) \ast_{H} \big(f(y)\big)^{-1} = a \ast_{H} b^{-1} \in \operatorname{Im}(f).\]Ejemplo (Proyección \(\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}_n\))
Sea \(\pi:\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}_{n}\) tal que \(x \mapsto [x]\). Tenemos que
\[\begin{aligned} \operatorname{Im}(\pi) &= \{ \pi(x):x \in \mathbb{Z} \} \\ &=\{ [x]: x \in \mathbb{Z} \} \\ &=\mathbb{Z}_{n},\\ \operatorname{Ker}(\pi) &=\{ x:\pi(x) = [0] \} \\ &=\{ x: [x] = 0 \} \\ &=n \cdot \mathbb{Z}. \end{aligned}\]Definición (Monomorfismos, epimorfismos e isomorfismos)
Sea \(f:G\to H\) un homomorfismo de grupos:
- si \(f\) es inyectivo, decimos que \(f\) es un monomorfismo,
- si \(f\) es sobreyectivo, decimos que \(f\) es un epimorfismo,
- si \(f\) es biyectivo, decimos que \(f\) es un isomorfismo.
Teorema (Existencia del isomorfismo inverso)
Si \(f:G\to H\) es un isomorfismo, entonces \(f^{-1}:H\to G\) (como función) es un isomorfismo.
Prueba: Ejercicio.
Teorema (Monomorfismos y kernel)
Sea \(f:G\to H\) homomorfismo. Entonces,
\[f \text{ es monomorfismo} \iff \operatorname{Ker}(f) = \{ 1_{G} \}\]Prueba: ejercicio. Notar que \(f(x)=f(y) \implies f(x \ast y^{-1}) = 1_{H}\).
Teorema (Imagen inversa y homomorfismos)
Sea \(f:G\to H\) un homomorfismo y sea \(H'\leq H\). Entonces \(f^{-1}(H') \leq G\)
Prueba: Note que \(1_{G} \in f^{-1}(H')\) pues \(f(1_{G}) = 1_{H} \in H \implies f^{-1}(H') \neq \emptyset\). Sean \(x,y \in f^{-1}(H')\). Hay que mostrar que \(x \ast_{G} y^{-1} \in f^{-1}(H')\). Como \(f(x) \in H', f(y) \in H'\), entonces \(\big(f(y)\big)^{-1} = f(y^{-1}) \in H'\). Entonces \(f(x \ast_{G} y^{-1}) = f(x)\ast_{H} f(y^{-1}) \in H'\).
Definición (Automorfismo y grupo de automorfismos)
Sea \(G\) un grupo. Un automorfismo de \(G\) es un isomorfismo de \(G\) en \(G\). Defina \(\mathrm{Aut} \hspace{2pt}(G) = \{ f:G\to G \text{ isomorfismo}\}\) como el conjuto de automorfismos de \(G\). Note que \(\mathrm{Aut} \hspace{2pt}(G) \subseteq S_{G} = \{ \phi: G\to G \text{ biyectiva}\}\).
Teorema (Subgrupo de automorfismos)
\(\mathrm{Aut} \hspace{2pt}(G) \leq S_{g}\).
Prueba: Ejercicio
Definición (Grupos isomorfos)
Decimos que dos grupos \(G\) y \(H\) son isomorfos si existe un isomorfismo \(f:G\to H\). Escribimos \(G \cong H\).
Ejemplo (Isomorfismo \(\mathbb{Z}_4 \cong G\))
Considere \(G = (\{ 1,i,-1,-i \}, \ast)\).
\(Z_{4} \cong G\) bajo el isomorfismo
\[\begin{aligned} 0 &\mapsto 1 \\ 1 &\mapsto i \\ 2 &\mapsto -1 \\ 3 &\mapsto -i \end{aligned}\]Nota (Ser isomorfo es relación de equivalencia)
Note que la relación \(G \cong H\) es reflexiva, transitiva y simétrica (es fácil probarlo). Luego es una relación de equivalencia.
Teorema (Isomorfismos de grupos cíclicos)
Si \(G = \langle g \rangle\), entonces:
- Si \(\lvert g \rvert = \infty \implies G \cong \mathbb{Z}\).
- Si \(\lvert g \rvert = n \implies G \cong \mathbb{Z}_{n}\).