A continuación, se presenta el concepto de límite superior y límite inferior de sucesiones.
Considere \(x_{n} = (-1)^{n}\). Note que \(x_{2n} = 1\) y \(x_{2n+1} = -1\). En partícular,
\[\begin{aligned} \lim_{ n \to \infty } x_{2n} &=1, \\ \lim_{ n \to \infty } x_{2n+1} &= -1. \end{aligned}\]Considere
\[\begin{aligned} a_{n} &= \underset{m \in \mathbb{N}}{\inf} \{ x_{m}:m\geq n \} \\ b_{n} &= \underset{m \in \mathbb{N}}{\sup} \{ x_{m}:m\geq n \}. \end{aligned}\]Note que \(a_{n} \leq x_{n} \leq b_{n}\). Además, para todo \(k \in \mathbb{N}\), \(a_{n} \leq x_{n+k} \leq b_{n}\).
Límites superiores e inferiores
Sea \(\{x_{n}\}_{n=1}^\infty \subseteq \mathbb{R}\). Defina
\[\begin{aligned} a_{n} &= \underset{m \in \mathbb{N}}{\inf} \{ x_{m}:m\geq n \} \\ b_{n} &= \underset{m \in \mathbb{N}}{\sup} \{ x_{m}:m\geq n \}. \end{aligned}\]Note que \(a_{n} \leq x_{n+k} \leq b_{n}\) para todo \(k \in \mathbb{N}\). Además, note que
\[a_{n} = \inf \{ x_{m}: m\geq n \} \leq \inf \{ x_{m}:m\geq n+1 \} = a_{n+1},\] \[b_{n+1} = \sup \{ x_{m}:m\geq n+1 \} \leq \sup \{ x_{m}:m\geq n \} = b_{n}.\]Asuma que la sucesión es acotada, es decir, que existen \(N,M \in \mathbb{R}\) tales que \(N \leq x_{n} \leq M\) para todo \(n \in \mathbb{N}\). Entonces \(N \leq \inf \{ x_{m}:m\geq n \} = a_{n}\) y \(b_{n} = \sup \{ x_{m}:m\geq n \} \leq M\).
Definición
Sea \(\{x_{n}\}_{n=1}^\infty \subseteq \mathbb{R}\) acotada. Definimos
\[\begin{aligned} \limsup x_{n} &= \lim_{ n \to \infty } b_{n} \\ \liminf x_{n} &= \lim_{ n \to \infty } a_{n}. \end{aligned}\]Como \(b_{n+1}\leq b_{n}\), note que, por teorema de convergencia monótona,
\[\limsup x_{n} =\lim_{ n \to \infty } b_{n} = \underset{n}{\inf} b_{n} = \underset{n}{\inf} \underset{m}{\sup} \{ x_{m} : m\geq n\}.\]De la misma manera,
\[\liminf x_{n} = \lim_{ n \to \infty } a_{n} = \underset{n}{\sup} a_{n} = \underset{n}{\sup} \underset{m}{\inf} \{ x_{m}: m\geq n \}.\]Lema (Acotación de límites de subsucesiones)
Sea \(\{x_{n}\}_{n=1}^\infty\) una sucesión acotada. y \(\{x_{n}\}_{n=1}^\infty\) una subsucesión \(\{x_{k_{n}}\}_{n=1}^\infty\) que converge a \(L.\)Entonces \(\liminf x_{n} \leq L \leq \limsup x_{n}\).
Prueba: Considere \(\{x_{k_{n}}\}_{n=1}^\infty\) una subsucesión. Note que \(x_{k_{n}} \leq b_{n}\) pues \(k_{n} \geq n\). De igual forma, \(a_{n} \leq x_{k_{n}}\). Luego \(a_{n} \leq x_{k_{n}} \leq b_{n}\). El resultado se sigue al tomar límites.
Teorema (Convergencia y límites superior e inferior)
Sea \(\{x_{n}\}_{n=1}^\infty\) una sucesión. Entonces \(\lim_{ n \to \infty } x_{n} = L\) si y solo si \(\limsup x_{n} = \liminf x_{n} = L\).
Prueba: (\(\implies\)): Sea \(\{x_{n}\}_{n=1}^\infty\) tal que \(x_{n} \underset{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow}L\). Entonces, \(\{x_{n}\}_{n=1}^\infty\) es acotada. Luego, existen subsucesiones \(\{x_{k_{n}}\}_{n=1}^\infty\) y \(\{x_{\ell_{n}}\}_{n=1}^\infty\) tales que \(x_{k_{n}} \underset{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow} \liminf x_{n}\) y \(x_{\ell_{n}} \underset{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow} \limsup x_{n}\) (ejercicio). Conclúyase que \(\limsup x_{n} = \liminf x_{n} = L\), pues toda subsucesión debe converger a \(L\). (\(\impliedby\)): Sea \(\{x_{k_{n}}\}_{n=1}^\infty\) una subsucesión fija y arbitraria. Sabemos que \(a_{n} \leq x_{k_{n}} \leq b_{n}\). Entonces, por teorema del sandwich, conclúyase que \(x_{k_{n}} \underset{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow} L\). Como toda subsucesión converge a \(L\) (pues tomamos una fija y arbitraria), conclúyase que \(x_{n} \underset{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow} L\).
Un truco muy común es usar las definiciones de \(\limsup\) y \(\liminf\), y notar que:
\[\inf x_{n} \leq \\\liminf x_{n} \leq \limsup x_{n} \leq \sup x_{n}.\]Si \(m\) es cota inferior de \(x_{n}\) para todo \(n\geq k\) y \(M\) es, cota superior de \(y_{n}\) para todo \(n \geq k\), por definición de \(\sup y_{n}\) e \(\inf x_{n}\), tenemos que \(m \leq \underset{n\geq k}{\inf} x_{n}\) y que \(M \geq \underset{n\geq k}{\sup} y_{n}\).