En esta nota, definimos las series a partir de sumas parciales de Sucesiones. Ver también: Criterios de convergencia de series, Series de funciones.
Considere la sucesión \(\{x_{n}\}_{n=0}^\infty\), donde \(x_{n} = a^{n}\). Considere la siguiente sucesión:
\[\begin{aligned} S_{0} &= 1 \\ S_{1} &= 1+a \\ S_{2} &= 1+a+a^{2} \\ & \quad \quad \vdots \\ S_{n} &= 1+a+\dots+a^{n}.\\ &= \frac{1-a^{n+1}}{1-a} \quad\text{para $a \neq 1$.} \end{aligned}\]Entonces, si \(\lvert a \rvert < 1\), tenemos que \(\lim_{ n \to \infty } S_{n} = \frac{1}{1-a}\). Por lo tanto, \(\sum_{n=0}^\infty a^{n} = \frac{1}{1-a}\) para \(a \in (-1,1)\).
Series numéricas y convergencia
Definición (Sumas parciales)
Dada una sucesión \(\{x_{n}\}_{n=1}^\infty \subseteq \mathbb{R}\), definimos la sucesión de sumas parciales \(\{S_{n}\}_{n=0}^\infty\) de la siguiente manera
\[\begin{aligned} S_{0} &= a_{0} \\ S_{1} &= a_{0}+a_{1} \\ S_{2} &= a_{0}+a_{1}+a_{2} \\ & \quad \quad \vdots \\ S_{n} &= a_{0}+a_{1}+\dots+a_{n}.\\ &= \sum_{k=1}^{n} a_{k} \end{aligned}\]Definición (Convergencia de series)
Dada \(\{x_{n}\}_{n=0}^\infty\) una sucesión, decimos que la serie \(\sum_{n=0}^\infty x_{n}\) converge si \(\lim_{ n \to \infty } S_{n} = \lim_{ n \to \infty } \sum_{k=0}^{n} x_{n} = L \in \mathbb{R}\) existe, en cuyo caso, decimos que \(\sum_{n=0}^\infty x_{n} = L\).
Ejemplo 1: Serie geométrica
Tal y como vimos al inicio, si \(x_{n} = a^{n}\), entonces \(S_{n} = \frac{1-a^{n+1}}{1-a}\). La serie converge a \(\frac{1}{1-a}\) si y solo si \(\lvert a \rvert < 1\).
Ejemplo 2: Series telescópicas
Dada \(\{a_{n}\}_{n=0}^\infty\), defina \(x_{0} := a_{0}\) y \(x_{n+1} := a_{n+1}-a_{n}\), para \(n \geq 1\). Entonces
\[\begin{aligned} S_{n} &= x_{0}+x_{1}+\dots x_{n} \\ &= a_{0}+(a_{1}-a_{0}) + (a_{2}-a_{1}) + \dots + (a_{n}-a_{n-1}) \\ &= a_{n}. \end{aligned}\]Note que \(\sum_{n=0}^\infty x_{n} = \lim_{ n \to \infty } S_{n} = \lim_{ n \to \infty } a_{n}\). La serie converge si y solo si \(\{a_{n}\}_{n=0}^\infty\) converge, en cuyo caso convergen al mismo valor.
En general, es difícil calcular el valor de convergencia de una serie que no es geométrica o telescópica. No obstante, existen algunos criterios que permiten determinar si la serie converge o no sin conocer necesariamente el valor de convergencia. En general, si \(\{a_{n}\}_{n=1}^\infty\) es una sucesión, entonces
\[\sum_{n=k}^\infty (a_{n}-a_{n+1}) = a_{k} - \lim_{ n \to \infty } a_{n+1}.\]La serie converge si la sucesión converge.