Integral de Riemann

Teorema (Unicidad de la integral de Riemann)

Prueba: Asuma que \(I_{1}\) e \(I_{2}\) satisfacen la definición. Dado \(\varepsilon>0\) existen \(P_{\varepsilon_{1}}\) y \(P_{\varepsilon_{2}}\) tales que

\[\lvert S(f, P_{1}, \xi_{1},\dots, \xi_{n}) - I_{1} \rvert < \varepsilon \quad \text{(1)}\]

para todo \(P_{1} \supseteq P_{\varepsilon_{1}}\), \(a_{i} \leq \xi_{i} \leq a_{i+1}\) y

\[\lvert S(f, P_{2}, \eta_{1},\dots,\eta_{m}) - I_{2} \rvert < \varepsilon \quad \text{(2)}\]

para todo \(P_{2} \supseteq P_{\varepsilon_{2}}\), \(b_{i} \leq \eta_{i} \leq b_{i+1}\). Tome \(P = P_{\varepsilon_{1}} \cup P_{\varepsilon_{2}}\). Entonces \(P \supseteq P_{\varepsilon_{1}}\) y \(P \supseteq P_{\varepsilon_{2}}\). Luego, combinando (1) y (2), tenemos que \(\lvert I_{1} - I_{2}\rvert < 2\varepsilon\). Como esto se cumple para todo \(\varepsilon>0\), conclúyase que \(I_{1} = I_{2}\).

Teorema (Suma de integrales)

Sea \(f:[a,b] \to \mathbb{R}\) acotada y \(a<c<b\). Asuma que \(f\) es Riemann integrable en \([a,c]\) y en \([c,b]\). Entonces es Riemann integrable en \([a,b]\). Además \(\int_{a}^{b} f(x)\, dx = \int_{a}^{c} f(x) \, dx + \int_{c}^{b} f(x) \, dx.\)

Prueba: Dado \(\varepsilon>0\), sabemos que existen \(I_{1}\) e \(I_{2}\), \(P_{\varepsilon_{1}}\) y \(P_{\varepsilon_{2}}\) que satisfacen que:

1. \(P_{\varepsilon_{1}} = \{ a_{0}=a < a_{1}<...<a_{n} = c \}\) es una partición de \([a,c]\).
2. \(P_{\varepsilon_{2}} = \{ d_{0}=c < d_{1}<...<d_{n} = b \}\) es una partición de \([c,b]\). Además, si \(P_{1}\) es una partición de \([a,c]\) tal que \(P_{1} \supseteq P_{\varepsilon_{1}}\), entonces

\[\lvert S(f, P_{1}, \xi_{1},\dots, \xi_{n}) - I_{1} \rvert < \frac{\varepsilon}{2} \quad \text{(1)}.\]

Similarmente, si \(P_{2}\) es una partición de \([c,b]\) tal que \(P_{2} \supseteq P_{\varepsilon_{2}}\).

\[\lvert S(f, P_{2}, \eta_{1},\dots,\eta_{m}) - I_{2} \rvert < \frac{\varepsilon}{2} \quad \text{(2)}.\]

Vamos a probar que \(I_{1} + I_{2}\) es la intergral en \([a,b]\). Tome \(P_{\varepsilon}=P_{\varepsilon_{1}} \cup P_{\varepsilon_{2}}\). Sea \(P = \{ h_{0} = a<h_{1},\dots,h_{\ell}=b\}\) tal que \(P \supseteq P_{\varepsilon}\). Como \(c \in P_{\varepsilon}\), existe un \(h_{k} = c\) tal que \(\{ h_{0}=a < h_{1} <...<h_{k} = c \}\) es una partición de \([a,c]\) más fina que \(P_{\varepsilon_{1}}\) y \(\{ h_{k}=c < h_{k+1} <...<h_{\ell} = b\}\) es una partición de \([c,b]\) más fina que \(P_{\varepsilon_{2}}\). Considere la suma de Riemann

\[\sum_{i=1}^{\ell-1} f(\xi_{i})(h_{i+1}-h_{i}) = \sum_{i=1}^{k-1} f(\xi_{i}) (h_{i+1}-h_{i})U + \sum_{i=k}^{\ell-1} f(\xi_{i})(h_{i+1}-h_{i})\]

Finalmente, aplicando (1) y (2) y desigualdad triangular:

\[\lvert S(f,P, \xi_{1},\dots,\xi_{\ell}) - I_{1}-I_{2}\rvert < \varepsilon.\]

Sea \(\varepsilon>0\) y \(f:[a,b] \to \mathbb{R}\) tal que existe \(I_{1}\) y \(P_{\varepsilon_{1}}\) tal que si \(P \supseteq P_{\varepsilon_{1}}\) se cumple que

\[\lvert S(f,P, \xi_{1},\dots,\xi_{n}) - I_{1} \rvert < \frac{\varepsilon}{2}\]

donde \(S(f, P, \xi_{1},\dots \xi_{n}) = \sum_{i=0}^{n-1} f(\xi_{i})(a_{i+1}-a_{i})\). Tome \(g:[a,b] \to \mathbb{R}\) Riemann integrable. Existen \(I_{1}\) y \(P_{\varepsilon_{2}}\) tal que si \(P' \supseteq P_{\varepsilon_{2}}\),

\[\lvert S(g,P', \eta_{1},\dots,\eta_{m}) - I_{1} \rvert < \frac{\varepsilon}{2\lvert c \rvert}\]

Si \(\tilde{P} \supseteq P_{\varepsilon_{1}} \cup P_{\varepsilon_{2}}\). Concluimos que \(\tilde{P} \supseteq P_{\varepsilon_{1}} \cup P_{\varepsilon_{2}}\) implica

\[\lvert f+cg, \tilde{P}, \alpha_{1},\dots,\alpha_{\ell} \rvert < \frac{\varepsilon}{2} + \lvert c \rvert \frac{\varepsilon}{2\lvert c \rvert } = \varepsilon.\]

Lema (Sumas superiores e inferiores entre particiones)

Sean \(P_{1}\) y \(P_{2}\) dos particiones de \([a,b]\) tales que \(P_{1} \subseteq P_{2}\). Entonces

\[\begin{aligned} U(f,P_{2}) \leq& U(f, P_{1}) \\ L(f,P_{1}) \leq& L(f, P_{2}) \end{aligned}\]

Prueba: Sea \(P = \{ a_{0}=a<a_{1}<...<a_{n}=b \}\) y sean

\[\begin{aligned} \mathrm{U}(f, P) &= \sum_{i=0}^{n-1} M_{i}(a_{i+1}-a_{i}),\\ \mathrm{L}(f,P) &= \sum_{i=0}^{n-1} m_{i}(a_{i+1}-a_{i}), \end{aligned}\]

con \(M_{i} = \sup \{ f(x):a_{i}\leq x\leq a_{i+1} \}\) y \(m_{i} = \inf \{ a_{i} \leq x \leq a_{i+1} \}\). Sea \(\alpha \in [a,b]\) tal que \(\alpha \not\in P\). Note que existe \(i \in {0,\dots,n-1}\) tal que \(a_{i} < \alpha <a_{i+1}\). Sea \(P_{1} = P \cup \{ \alpha \}\). Tome

\[\begin{aligned} M_{i} &= \sup \{ f(x):a_{i}\leq x,=a_{i+1} \} \\ M_{i}' &= \sup \{ f(x): a_{i} \leq x \leq \alpha \} \\ M_{i}'' &= \sup \{ f(x): \alpha \leq x \leq a_{i+1} \}. \end{aligned}\]

Note que \(M_{i}' \leq M_{i}\) y \(M_{i}''\leq M_{i}\). Luego:

\[M_{i}(a_{i+1}-a_{i}) = M_{i}(a_{i+1}-\alpha) + M_{i}(\alpha-a_{i} \geq M_{i}''(a_{i+1}-\alpha) + M_{i}'(\alpha-a_{i}).\]

Entonces \(\mathrm{U}(f,P) \geq U(f,P_{1})\), pues son iguales en todos sus términos excepto en los descritos arriba. La prueba para la suma inferior se deja como ejercicio.

Teorema (Caracterización UL de la integral de Riemann)

Sea \(f:[a,b]\) acotada. Entonces \(f\) es Riemann integrable si y solo si para todo \(\varepsilon>0\) existe una participación \(P_{\varepsilon}\) tal que para toda partición \(P \supseteq P_{\varepsilon}\)

\[\lvert U(f,P) - L(f,P) \rvert < \varepsilon.\]

Prueba: (\(\implies\)): Dado \(\varepsilon>0\), existen \(I\) y \(P_{\varepsilon}\) tal que para todo \(P \supseteq P_{\varepsilon}\)

\[\lvert S(f,P,\xi_{1},\dots, \xi_{n}) - I \rvert < \varepsilon.\]

Tome \(P \supseteq P_{\varepsilon}\). Entonces \(P = \{ a_{0} = a < a_{1}< \dots < a_{n} = b \}\). Considere \(M_{i} = \sup \{ f(x): a_{i} \leq x \leq a_{i+1} \}\). Por ser el supremo, existe \(\xi_{i} \in [a_{i},a_{i+1}]\) tal que

\[M_{i} - \frac{\varepsilon}{b-a} < f(\xi_{i}) \leq M_{i}.\]

Note que

\[\sum_{i=0}^{n-1} f(\xi_{i})(a_{i+1}-a_{i}) \leq \sum_{i=0}^{n-1} M_{i}(a_{i+1}-a_{i}).\]

Además,

\[\begin{aligned} S(f, P, \xi_{1},\dots,\xi_{n}) &= \sum_{i=0}^{n-1} f(\xi_{i})(a_{i+1}-a_{i}) \\&> \sum_{i=0}^{n-1} \left( M_{i} - \frac{\varepsilon}{b-a} \right) (a_{i+1}-a_{i}) \\ &= \sum_{i=0}^{n-1} M_{i}(a_{i+1}-a_{i}) - \frac{\varepsilon}{b-a}\underbrace{ \sum_{i=0}^{n-1} a_{i+1}-a_{i} }_{ = b-a } \\ &= \mathrm{U}(f, P) - \varepsilon. \end{aligned}\]

Por lo tanto \(\mathrm{U}(f,P) - S(f, P, \xi_{1},\dots,\xi_{n}) < \varepsilon\). Ahora, considere \(m_{i} = \sup \{ f(x): a_{i} \leq x \leq a_{i+1} \}\). Por ser el ínfimo, existe \(\eta_{i} \in [a_{i},a_{i+1}]\) tal que

\[m_{i} + \frac{\varepsilon}{b-a} > f(\eta_{i}) \geq m_{i}.\]

Note que

\[\sum_{i=0}^{n-1} f(\eta_{i})(a_{i+1}-a_{i}) \geq \sum_{i=0}^{n-1} m_{i}(a_{i+1}-a_{i}).\]

Además,

\[\begin{aligned} S(f, P, \eta_{1},\dots,\eta_{n}) &= \sum_{i=0}^{n-1} f(\eta_{i})(a_{i+1}-a_{i}) \\&< \sum_{i=0}^{n-1} \left( m_{i} + \frac{\varepsilon}{b-a} \right) (a_{i+1}-a_{i}) \\ &= \sum_{i=0}^{n-1} m_{i}(a_{i+1}-a_{i}) + \frac{\varepsilon}{b-a}\underbrace{ \sum_{i=0}^{n-1} a_{i+1}-a_{i} }_{ = b-a } \\ &= \mathrm{L}(f, P) + \varepsilon. \end{aligned}\]

Por lo tanto \(S(f, P, \eta_{1},\dots,\eta_{n}) - \mathrm{L}(f,P) < \varepsilon\). Entonces

\[\begin{aligned} &\lvert \mathrm{U}(f, P) - \mathrm{L}(f,P) \rvert \leq \lvert \mathrm{U}(f,P) - S(f,P, \xi_{1},\dots,\xi_{n}) \rvert + \lvert S(f,P, \xi_{1},\dots,\xi_{n}) - \mathrm{L}(f,P) \rvert \\ &\leq \varepsilon + \lvert S(f,P, \xi_{1},\dots,\xi_{n}) - S(f,P, \eta_{1},\dots,\eta_{n}) \rvert + \underbrace{ \lvert S(f,P, \eta_{1},\dots,\eta_{n}) - \mathrm{L}(f,P)\rvert. }_{ < \varepsilon } \end{aligned}\]

Finalmente,

\[\begin{aligned} &\lvert S(f,P, \xi_{1},\dots,\xi_{n}) - S(f,P, \eta_{1},\dots,\eta_{n}) \rvert\\ \leq &\lvert S(f,P, \xi_{1},\dots,\xi_{n}) - I) \rvert + \lvert I - S(f,P, \eta_{1},\dots,\eta_{n}) \rvert < 2\varepsilon \end{aligned}\]

Ejemplo

Considere \(f:[0,1] \to \mathbb{R}\) tal que

\[f(x) = \begin{cases} a, x \in \mathbb{Q}\\ \\ 0, x \not\in \mathbb{Q} \end{cases}\]

para \(a >0\). Sea \(P\) una partición \(\{ a_{0} = 0 < a_{1}<a_{2}<...<a_{n}=1 \}\). Entonces,

\[\begin{aligned} M_{i} &= \sup \{ f(x):a_{i}\leq x\leq a_{i+1} \} = a \\ m_{i} &= \inf \{ f(x): a_{i} \leq x a_{i+1} \} = 0. \end{aligned}\]

Luego \(U(f, P) = \sum_{i=0}^{n-1} a (a_{i+1}-a_{i}) = a\) y \(L(f,p) = \sum_{i=1}^{n-1} 0(a_{i+1}-a_{i})=0\).

Por tanto \(U(f,P) - L(f,P) = a\), i.e., no se puede hacer arbitrariamente pequeño.

Truco para construir particiones crecientes

Probaremos la caracterización UL usando un truco que permite construir particiones cada vez más finas.

Prueba: (\(\impliedby\)): Sea \(\varepsilon>0\) y \(n \in \mathbb{N}\). Entonces existe una partición \(P_{n}\) tal que

\[\lvert U(f,P_{n}) - L(f, P_{n}) \rvert < \frac{\varepsilon}{n}.\]

Sea \(P_{1}' = P_{1}\) y defina \(P_{m}' = \bigcup_{i=1}^{m} P_{i}\). Entonces \(P_{n}' \subseteq P_{n+1}'\) y \(P_{n} \subseteq P_{n}'\). Sabemos que

\[\begin{aligned} U(f, P_{n}') &\geq U(f, P_{n+1}') \\ L(f, P_{n+1}') &\geq L(f,P_{n}') \end{aligned}\]

y que las sucesiones son acotadas. Entonces

\[\begin{aligned} \lim_{ n \to \infty } U(f, P_{n}') &= L_{1} \\ \lim_{ n \to \infty } L(f, P_{n}') &= L_{2}. \end{aligned}\]

Además, note que

\[\begin{aligned} L_{1} &\leq U(f, P_{n}') \\ L_{2} &\geq L(f, P_{n}') \\ \implies 0 \leq L_{1} - L_{2} &\leq U(f,P_{n}') - L(f,P_{n}') < \frac{\varepsilon}{n}. \end{aligned}\]

Como esto se cumple para todo \(\varepsilon>0\), concluimos que \(L_{1} = L_{2} = I\).

(\(\implies\)): Sea \(P\) una partición tal que \(P_{N}' \subseteq P\). Entonces

\[S(f, P, \xi_{1},\dots,\xi_{n}) - I \leq U(f, P) - L_{1} \leq U(f, P_{N}') - L_{1} < \varepsilon,\]

donde \(N\) es tal que, para \(n\geq N\)

\[\begin{aligned} 0 &< U(f, P_{n}) - L_{1} < \varepsilon \\ 0 &< L_{2} - L(f, P_{n}) < \varepsilon, \end{aligned}\]

Luego, \(S(f, P, \xi_{1}, \dots, \xi_{n}) - I< \varepsilon\). Por otro lado,

\[S(f, P, \xi_{1}, \dots, \xi_{n}) - I \geq L(f,P) - L_{2} > -\varepsilon.\]

Concluimos que si \(P_{N}' \subseteq P\), entonces

\[\lvert S(f,P,\xi_{1},\dots,\xi_{n}) - I \rvert <\varepsilon\]

Consejo para trabajar con U y L:

1. Construir la sucesión de particiones.
2. Considerar particiones más finas.
3. Acotar por arriba con \(U\) y por debajo con \(L\).

Lema (Creciente implica R-integrable)

Sea \(f:[a,b] \to \mathbb{R}\) creciente. Entonces \(f\) es Riemann integrable

Prueba: Sea \(f:[a,b] \to \mathbb{R}\) creciente. Tome

\[P = \{ a_{0}=a<a_{1}<a_{2}< \dots < a_{n} = b \}.\]

Entonces,

\[U(f,P) = \sum_{i=0}^{n} M_{i}(a_{i+1}-a_{i}),\]

con \(M_{i} = \sup \{ f(x): a_{i} \leq x \leq a_{i+1} \} = f(a_{i+1})\). De igual forma, \(m_{i} = \inf \{ f(x): a_{i} \leq x \leq a_{i+1} \} = f(a_{i})\). Ahora,

\[\begin{aligned} U(f,P) - L(f,P) &= \sum_{i=0}^{n-1} (M_{i} - m_{i})(a_{i+1}-a_{i}) \\ &= \sum_{i=0}^{n-1}(f(a_{i+1})-f(a_{i}))(a_{i+1}-a_{i}). \end{aligned}\]

Sea \(P_{\varepsilon}\) una partición tal que \(0<(a_{i+1}-a_{i})< \frac{\varepsilon}{f(b)-f(a)}\). Entonces,

\[\begin{aligned} U(f, P_{\varepsilon}) - L(f, P_{\varepsilon}) &= \sum_{i=0}^{n-1} (f(a_{i+1})-f(a_{i}))(a_{i+1}-a_{i}) \\ &< \sum_{i=0}^{n-1} \frac{\varepsilon}{f(b)-f(a)} (f(a_{i+1})-f(a_{i})) \\ &= \varepsilon, \end{aligned}\]

Así, \(0 < U(f,P) - L(f,P) < \varepsilon\). Finalmente, si \(P \supseteq P_{\varepsilon}\), entonces

\[\begin{aligned} U(f,P_{\varepsilon}) &\geq U(f,P) \\ L(f, P) &\geq L(f, P_{\varepsilon}) \end{aligned} \\ \implies 0 <U(f,P) - L(f,P) \leq u(f, P_{\varepsilon}) - L(f, P_{\varepsilon}) < \varepsilon\]

Teorema (Continuidad implica R-integrabilidad)

Si \(f:[a,b] \to \mathbb{R}\) continua. Entonces es Riemann integrable.

Prueba: Sean \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\) acotada. Entonces, si \(M_{i} = \sup \{ f(x) : a_{i}\leq x\leq a_{i+1} \}\), y \(m_{i} = \inf \{ f(x):a_{i}\leq x<a_{i+1} \}\).

\[\begin{aligned} U(f,P) &= \sum_{i=0}^{n-1} M_{i}(a_{i+1}-a_{i}) \\ L(f,P) &= \sum_{i=0}^{n-1} m_{i}(a_{i+1}-a_{i}) \\ U(f,P)-L(f,P) &= \sum_{i=0}^{n-1} (M_{i}-m_{i})(a_{i+1}-a_{i}). \end{aligned}S\]

Si \(f\) es continua, entonces existen \(\xi_{i} ,\eta_{i} \in [a_{i},a_{i+1}]\) tales que \(f(\xi_{i}) = M_{i}\), y \(f(\eta_{i}) = m_{i}\). Además, como \(f\) es continua en un intervalo cerrado, entonces es uniformemente continua, i.e., para todo \(\varepsilon>0\) existe \(\delta >0\) tal que para todos \(x,y \in [a,b]\) si \(\lvert x-y \rvert < \delta\) entonces \(\lvert f(x) - f(y) \rvert < \varepsilon\). Tome \(P_{\varepsilon}\) tal que \(\lvert a_{i+1}-a_{i} \rvert < \delta\), entonces \(\lvert \xi_{i} - \eta_{i} \rvert < \delta\) y en consecuencia \(\lvert f(\xi_{i}) - f(\eta_{i}) \rvert < \varepsilon\). Luego

\[U(f,P) - L(f,P) < \sum_{i=0}^{n-1} \varepsilon(a_{i+1}-a_{i}) = \varepsilon(b-a).\]

Ejemplo

Muestre que \(f:[0,1] \to \mathbb{R}\) tal que

\[f(x) \begin{cases} =a \text{ si } x \in \mathbb{Q} \\ =0 \text{ si } x \not\in \mathbb{Q} \end{cases}.\]

no es R-integrable.

Prueba: Considere una partición \(P = \{ a_{0} = a < a_{1} < \dots < a_{n} = b \}\). Note que \(M_{i} = a\) y \(m_{i} = 0\) para todo \(i \in \{ 0,1,\dots,n-1 \}\). Luego, \(U(f,P) - L(f,P) = a\).

Definición (Norma de una partición).

Sea \(P = \{ a_{0} = a < a_{1} < \dots <a_{n} = b \}\) una partición de \([a,b]\). Defina la norma de la partición como

\[\lVert P \rVert = \max \{ \lvert a_{i+1}-a_{i} \rvert: 0\leq i\leq N-1 \}.\]

Teorema (Norma y continuidad)

Sea \(f:[a,b] \to \mathbb{R}\) acotada. Asuma que para todo \(\varepsilon>0\) existe \(\delta\) tal que si \(\lVert P \rVert < \delta\) entonces \(\lvert U(f,P) - L(f,P) \rvert < \varepsilon\). Entonces \(f\) es Riemann integrable.

Prueba: Dado \(\varepsilon>0\), existe \(\delta > 0\) tal que si \(\lVert P \rVert < \delta\) entonces \(\lvert U(f,P) - L(f,P) \rvert < \varepsilon\). Sea \(P_{\varepsilon}\) tal que \(\lVert P_{\varepsilon} \rVert < \delta\). Tome \(P \supseteq P_{\varepsilon}\). Entonces

\[\begin{aligned} U(f,P) <& U(f, P_{\varepsilon}),\\ L(f,P_{\varepsilon}) <& L(f,P). \end{aligned}\]

Entonces

\[0 < U(f,P) - L(f,P) < u(f, P_{\varepsilon}) - L(f, P_{\varepsilon}) < \varepsilon.\]

Teorema (Riemann Integrabilidad y composición)

Sea \(f:[a,b] \to \mathbb{R}\) Riemann integrable tal que \(f([a,b]) \subseteq [c,d]\). Si \(g:[c,d] \to \mathbb{R}\) es continua, entonces \(g \circ f: [a,b] \to \mathbb{R}\) es Riemann integrable.

Prueba: Sea \(\varepsilon, \varepsilon_{1} > 0\). Sabemos que existe \(\delta>0\) tal que si \(\lvert x-y \rvert\) entonces \(\lvert g(x) - g(y) \rvert < \varepsilon\). Además existe \(P_{\varepsilon_{1}}\) tal que si \(P = \{ a_{0} = a <a_{1}<...<a_{n} = b \} \supseteq P_{\varepsilon_{1}}\) entonces

\[\begin{aligned} \lvert U(f,P) - L(f,P) \rvert < \varepsilon_{1} \iff 0 \leq \sum_{i=1}^{n-1} (M_{i}-m_{i}) (a_{i+1}-a_{i}) < \varepsilon_{1} \end{aligned}\]

donde \(M_{i} = \sup \{f(x):a_{i}\leq x \leq a_{i+1}\}\) y \(m_{i} = \inf \{ f(x):a_{i}\leq x\leq a_{i+1} \}\). Ahora,

\[U(g\circ f, P) - L(g \circ f, P) = \sum_{i=0}^{n-1} (\tilde{M_{i}}- \tilde{m_{i}}) (a_{i+1}-a_{i})\]

con \(\tilde{M_{i}} = \sup \{(g \circ f)(x):a_{i}\leq x \leq a_{i+1}\}\) y \(\tilde{m_{i}} = \inf \{(g \circ f)(x):a_{i}\leq x \leq a_{i+1}\}\).

Ahora, considere los siguientes casos: Caso 1: \(M_{i} - m_{i} < \delta\), entonces \(\lvert f(x)- f(y) \rvert < \delta\) para todo \(x,y \in [a_{i},a_{i+1}]\). Entonces,

\[\lvert (g \circ f)(x) - (g \circ f)(y) \rvert < \varepsilon.\]

Así \(\tilde{M_{i}} - \tilde{m_{i}} \leq \varepsilon\). Luego,

\[\sum_{\text{Caso 1}} (\tilde{M_{i}} - \tilde{m_{i}})(a_{i+1}-a_{i}) \leq \sum_{\text{Caso 1}} \varepsilon(a_{i+1}-a_{i}) \leq \sum_{i=0}^{n-1} \varepsilon (a_{i+1}-a_{i}) = \varepsilon(b-a).\]

Caso 2: \(M_{i} - m_{i} \geq \delta\). Sea \(-c < g(f(c)) < c\) para \(x \in [a,b]\) (sabemos que es acotada porque es continua en un intervalo cerrado). Entonces \(\tilde{M_{i}} \leq c\), \(\tilde{m_{i}}\geq - c\), y por tanto \(\tilde{M_{i}} - \tilde{m_{i}} \leq 2c\). Entonces

\[\begin{aligned} \sum_{\text{Caso 2}} (\tilde{M_{i}} - \tilde{m_{i}})(a_{i+1}-a_{i}) &\leq \sum_{\text{Caso 2}} \frac{2c}{\delta} \delta (a_{i+1}-a_{i}) \\ &\leq \frac{2c}{\delta} \sum_{\text{Caso 2}} (M_{i} - m_{i})(a_{i+1}-a_{i})A \\ &\leq \frac{2c}{\delta}(U(f,P) - L(f,P)) < \frac{2c}{\delta} \varepsilon_{1}. \end{aligned}\]

Ejemplo

Sean \(f:[a,b] \to \mathbb{R}\), \(g:[a,b] \to \mathbb{R}\) Riemann integrables. Entonces las siguientes son Riemann integrables:

1. \[\lvert f \rvert\]
2. \[(f)^{n}, n \in \mathbb{N}\]
3. \[\lvert f \rvert^{1/n}\]
4. \(fg = \frac{(f+g)^{2}-f^{2}-g^{2}}{2}\).

Lema (Integrabilidad en sub-intervalos):

Sea \(f:[a,b] \to \mathbb{R}\) Riemann integrable. Tome \(a<x<b\). Entonces \(f\) es Riemann integrable en \([a,x]\).

Prueba: Ejercicio.

Defina la función \(F(x) = \int_{a}^{x} f(t) \, dt\).

Lema (Acotación de la integral de Riemann)

Sea \(f:[a,b] \to \mathbb{R}\) Riemann integrable. Entonces

\[m(b-a) \leq \int_{a}^{b} f(x) \, dx \leq M(b-a)\]

Prueba: Sea \(f:[a,b] \to \mathbb{R}\) acotada. Tome \(M = \sup\{ f(x): a \leq x \leq b \}\) y \(m = \inf\{ f(x): a \leq x \leq b \}\). Considere una partición \(P = \{ a_{0}=a<a_{1}<...< a_{n} = b \}\) y considere la suma de Riemann \(S(f,P,\xi_{1},\dots,\xi_{n}) = \sum_{i=0}^{n} f(\xi_{i})(a_{i+1}-a_{i}) \leq \sum_{i=0}^{n} M(a_{i+1}-a_{i}) = M(b-a).\) De igual manera, \(m(b-a) \leq S(f,P,\xi_{1},\dots \xi_{n}) \leq M(b-a)\). Además, para todo \(\varepsilon>0\),

\[I-\varepsilon \leq S(f,P,\xi_{1},\dots,\xi_{n}) \leq I+\varepsilon\]

En particular, para \(\varepsilon\) tal que \(m(b-a) \leq I-\varepsilon\) y \(I+\varepsilon \leq M(b-a)\),

Ejercicio

Sea \(f;[a,b] \to \mathbb{R}\) Riemann integrable. Pruebe que \(f:[x,y] \to \mathbb{R}\) es Riemann integrable si \(a\leq x\leq y \leq b\) , Entonces \(F(x) = \int_{a}^{x} f(t)\, dt\) satisface que si \(x<y\),

\[\begin{aligned} F(y) &= \int_{a}^{y} f(t) \, dt = \int_{a}^{x} f(t) \, dt + \int_{x}^{y} f(t) \, dt \\ &= F(x) + \int_{x}^{y} f(t) \, dt. \end{aligned}\]

Teorema Fundamental del Cálculo

Sea \(f:[a,b] \to \mathbb{R}\) continua. SI \(F(x) = \int_{a}^{x} f(x) \, dx\) entonces \(F'(x) = f(x)\).

Prueba: Como resultado del ejercicio anterior, \(-F(x)+F(y) = \int_{x}^{y} f(t) \, dt\). Además, por el lema de acotación de la integral, si \(m = \inf \{ f(x):a\leq x\leq b \}\) y \(M = \sup \{ f(x):a\leq x\leq y \}\),

\[m(y-x)\leq -F(x)+F(y) \leq M(y-x).\]

Concluimos que \(\lvert F(x)-F(y) \rvert \leq \max \{ \lvert M \rvert, \lvert m \rvert \}(y-x)\). Sea \(x_{0} \in (a,b).\) Probaremos que \(\lim_{y \to x_{0}} \frac{F(y)-F(x_{0})}{y-x_{0}} = f(x_{0})\). Note que

\[\frac{\int_{x_{0}}^{y} f(x_{0}) \, dx}{y-x_{0}} = \frac{(y-x_{0})f(x_{0})}{y-x_{0}} = f(x_{0}). \tag{1}\]

Sea \(\varepsilon>0\) fijo y arbitrario. Entonces existe \(\delta>0\) tal que si \(\lvert x-y \rvert < \delta\) entonces \(\lvert f(x)-f(y) \rvert < \varepsilon\). Entonces

\[\begin{aligned} \lim_{ y \to x_{0} } \frac{F(y)-F(x_{0})}{y-x_{0}} - f(x_{0}) &= \lim_{ y \to x_{0} } \frac{\int_{x_{0}}^{y} f(x) \, dx}{y-x_{0}} - \frac{\int_{x_{0}}^{y} f(x_{0}) \, dx}{y-x_{0}}. \\ &=\lim_{ y \to x_{0} } \frac{ \int_{x_{0}}^{y} (f(x)-f(x_{0})) \, dx }{y-x_{0}} = 0. \end{aligned}\]

pues si \(\lvert y-x_{0} \rvert < \delta\) y \(y>x_{0}\) entonces

\[\frac{\left\lvert \int_{x_{0}}^{y} (f(x)-f(x_{0})) \, dx \right\rvert }{\lvert y-x_{0} \rvert } \leq \frac{ \int_{x_{0}}^{y} \lvert f(x)-f(x_{0}) \rvert \, dx }{\lvert y-x_{0} \rvert } \leq \frac{\varepsilon (y-x_{0})}{y-x_{0}} = \varepsilon.\]

El caso cuando \(x_{0}<y\) es análogo.

Definición (Antiderivada):

Sea \(f:[a,b] \to \mathbb{R}\). Decimos que \(F:[a,b]\to \mathbb{R}\) es la antiderivada de \(f\) si \(F'(x) = f(x)\) para \(a<x<b\).

Acabamos de probar que si \(f\) es continua, existe la antiderivada. Asuma ahora que \(f:[a,b] \to \mathbb{R}\) es derivable.

Teorema (Integral de la derivada)

Sea \(f:[a,b] \to \mathbb{R}\). Asuma que \(f'[a,b] \to \mathbb{R}\) es Riemann integrable. Entonces \(\int_{a}^{b} f'(x) \, dx = f(b)-f(a)\)

Prueba: Como \(f'\) es Riemann integrable, existe \(I\) tal que dado \(\varepsilon>0\), existe \(P_{\varepsilon}\) tal que para toda partición \(P = \{ a_{0}=a<a_{1}<...<a_{n}=b \} \supseteq P_{\varepsilon}\) y para todos \(a_{i}\leq\eta_{i}\leq a_{i+1}\), se cumple que \(\lvert S(f',P, \eta_{1},\dots,\eta_{n}) \rvert < \varepsilon\). Por el teorema del valor medio, existen \(\xi_{i}\) tales que ,\(f'(\xi_{i})(a_{i+1}-a_{i}) = f(a_{i+1})-f(a_{i})\). Luego,

\[S(f',P, \xi_{1},\dots,\xi_{n}) = \sum_{i=0}^{n-1} f'(\xi_{i})(a_{i+1}-a_{i}) = \sum_{i=0}^{n-1} f(a_{i+1}) - f(a_{i}) = f(b)-f(a).\]

Considere ahora \(\lvert (f(b)-f(a)) - I \rvert\). Desarrollando

\[\lvert (f(b)-f(a)) - I \rvert = \lvert S(f',P, \xi_{1},\dots, \xi_{n}) - I \rvert < \varepsilon.\]

Luego, \(\lvert (f(a) - f(b)) - I \rvert < \varepsilon\) para todo \(\varepsilon<0\). Por lo tanto \(f(a)-f(b) = I\).

Lema (Integración por partes)

Sean \(f:[a,b] \to \mathbb{R}\) y \(g:[a,b] \to \mathbb{R}\) diferenciables tales que \(f'\) y \(g'\) son ambas Riemann integrables. Entonces \((fg)' = f'g+fg'\) es Riemann integrable. Además

\[\begin{aligned} \int_{a}^{b} (fg)' \, dx &= \int_{a}^{b} (f'(x)g(x)+f(x)g'(x)) \, dx =f(b)g(b) - f(a) g(a) \\ \implies \int_{a}^{b} f'(x) g(x) \, dx &= f(b)g(b)-f(a)g(a) - \int_{a}^{b} f(x) g'(x) \, dx . \end{aligned}\]

Ejercicio

Sea \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\) acotada y Riemann integrable. Suponga que existen \(m, M \in \mathbb{R}\) una partición \(P_{\varepsilon}\) tal que para toda partición \(P \supseteq P_{\varepsilon}\) existen \(\xi_{1},\dots,\xi_{n}\) tales que

\[m\leq S(f,P, \xi_{1},\dots, \xi_{n}) \leq M.\]

Entonces \(m \leq \int_{a}^{b} f(x) \, dx \leq M\).

Teorema (Cambio de variable)

Asuma que \(f:[a,b] \to \mathbb{R}\) es continua y sea \(\phi:[c,d] \to [a,b]\) con derivada continua, de modo que \(\phi([c,d]) \subseteq [a,b]\). Entonces

\[\int_{c}^{d} f(\phi(u)) \phi'(u) \, du = \int_{\phi(c)}^{\phi(d)} f(x) \, dx.\]

Prueba: Considere \(F(x) = \int_{\phi(c)}^{x} f(t) \, dt\). Considere \(F(\phi(t))\). Note que

\[[F(\phi(t))]' = F'(\phi(t)) \phi'(t)\]

Luego,

\[\begin{aligned} \int_{c}^{d} F'(\phi(t)) \phi'(t) \, dt &= \int_{c}^{d} [F(\phi(t))]' \, dt \\ &=F(\phi(d)) - F(\phi(c)) \\ &=\int_{\phi(c)}^{\phi(d)} f(t) \, dt - \int_{\phi(c)}^{\phi(c)} f(t) \, dt \\ &= \int_{\phi(c)}^{\phi(d)} f(t) \, dt. \end{aligned}\]

Finalmente,

\[\begin{aligned} \int_{\phi(c)}^{\phi(d)}f(t) \, dt &= \int_{c}^{d} F'(\phi(t)) \phi'(t) \, dt \\ &= \int_{c}^{d} f(\phi(t)) \phi'(t) \, dt. \end{aligned}\]

Teorema (Valor medio de integrales)

Sea \(f:[a,b] \to \mathbb{R}\) continua y Riemann integrable. Entonces existe \(c \in [a,b]\) tal que \(f(c) = \frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f(x) \, dx\)

Prueba: Tome \(M = \sup \{ f(x):a\leq x \leq b \}\) y \(m =\inf \{ f(x):a\leq x \leq b \}\).

\[m \leq \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \, dx \leq M\]

Como \(f\) es continua, existen \(x_{1}, x_{2} \in [a,b]\) tal que \(M = f(x_{2})\) y \(m = f(x_{1})\). Luego,

\[f(x_{1}) \leq \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \, dx \leq f(x_{2}).\]

Por el teorema del valor medio, existe \(c \in [a,b]\) tal que \(f(x) = \frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f(x) \, dx\).

Teorema (Valor medio de integrales v2)

Sean \(f:[a,b] \to \mathbb{R}\) continua y no negativa, \(g:[a,b] \to \mathbb{R}\) decreciente, positiva y acotada. Entonces existe \(c \in [a,b]\) tal que

\[F(c) g(a) = \int_{a}^{b} f(x) g(x) \, dx = g(a) \int_{a}^{c} f(x) \, dx.\]

Prueba: Sea \(f:[a,b] \to \mathbb{R}\) continua y \(g:[a,b] \to \mathbb{R}\) Riemann integrable. Recordemos que

\[F(x) = \int_{a}^{x} f(t) \, dt \implies F'(x) = f(x).\]

Sea \(P = \{ a_{0}=a<a_{1}< \dots<a_{n} = b \}\) y tome (por el teorema del valor intermedio)

\[\begin{aligned} \frac{F(a_{i+1})-F(a_{i})}{a_{i+1}-a_{i}} &= F'(\xi_{i}) = f(\xi_{i}) \\ \iff f(\xi_{i})(a_{i+1}-a_{i}) &= F(a_{i+1}) - F(a_{i}). \end{aligned}\]

Considere

\[\begin{aligned} \sum_{i=0}^{n-1} f(\xi_{i}) g(\xi_{i}) (a_{i+1}-a_{i}) &= \sum_{i=0}^{n-1} g(\xi_{i})(F(a_{i+1}-F(a_{i})) \\ &= \sum_{i=0}^{n-1} g(\xi_{i}) F(a_{i+1}) - \sum_{i=0}^{n-1} g(\xi_{i}) F(a_{i}) \\ &=\sum_{i=1}^{n} g(\xi_{i-1}) F(a_{i}) - \sum_{i=0}^{n-1} g(\xi_{i}) F(a_{i}) \\ &= \left( \sum_{i=1}^{n-1} F(a_{i})(g(\xi_{i-1}) - g(\xi_{i})) \right) + g(\xi_{n-1})F(a_{n})- g(\xi_{0})\underbrace{ F(a_{0}) }_{ =0 } \\ &= \underbrace{ \left( \sum_{i=1}^{n-1} F(a_{i})(g(\xi_{i-1}) - g(\xi_{i})) \right) + g(\xi_{n-1}) F(b). }_{ (\ast) } \end{aligned}\]

Tome \(F(z_{1}) = \sup \{ F(x):a\leq x\leq b \}\). Si \(g\) es decreciente, entonces

\[\begin{aligned} (\ast) &\leq \left( \sum_{i=1}^{n-1} F(z_{1})(g(\xi_{i-1}) - g(\xi_{i})) \right) + g(\xi_{n-1}) F(b) \\ &= (g(\xi_{0}) - g(\xi_{n-1}))F(z_{1}) + F(b) g(\xi_{n-1}). \end{aligned}\]

Además, como \(g(x)\geq 0\), entonces tenemos que

\[\begin{aligned} (\ast) &\leq (g(\xi_{0}) - g(\xi_{n-1}))F(z_{1}) + F(b) g(\xi_{n-1}) \\ &\leq (g(\xi_{0}) - g(\xi_{n-1}))F(z_{1}) + F(z_{1}) g(\xi_{n-1}) \\ &= F(z_{1}) g(\xi_{0}), \end{aligned}\]

pues \(F(b) \leq F(z_{1})\). Como \(0\leq F(x)\) para todo \(x\) entonces \((\ast) \leq F(z_{1})g(a)\). Concluimos que \(\sum_{i=0}^{n-1} f(\xi_{i}) g(\xi_{i})(a_{i+1}-a_{i}) \leq F(z_{1}) g(a)\), donde \(F(z_{1}) = \sup \{ F(x): a\leq x\leq b \}\).

Con un razonamiento análogo, podemos probar que \(\sum_{i=0}^{n-1} (a_{i+1}-a_{i}) \geq F(z_{2})g(a)\), donde \(F(z_{2}) = \inf \{ F(x): a\leq x\leq b \}\). Luego,

\[\begin{aligned} g(a) F(z_{1}) \geq \int_{a}^{b} f(x) g(x) \, d \geq g(a) F(z_{2}) \\ \iff F(z_{1}) \geq \frac{1}{g(a)}\int_{a}^{b} f(x)g(x) \, dx \geq F(z_{2}) \end{aligned}\]

Luego, por el teorema del valor medio de integrales, se concluye el resultado.

Partición de intervalos disjuntos

Considere dos intervalos \([a,c]\) y \([c,b]\) y \(f:[a.b] \to \mathbb{R}\). Sean \(P_{1}, P_{2}\) particiones de \([a,c]\) y \([c,b]\), respectivamente. Si \(P_{1} = \{ a_{0}=a<a_{1}< \dots < a_{m}=c\}\) y \(P_{2} = \{ b_{0} = c < \dots <b_{k} = b \}\), entonces \(P_{1} \cup P_{2} = \{ a_{0}=a< \dots < a_{m} = b_{0} = c < \dots < b_{k} = b \}\). Luego,

\[\begin{aligned} U(f, P_{1} \cup P_{2}) &= U(f,P_{1}) + U(f,P_{2}) \\ L(f, P_{1} \cup P_{2}) &= L(f,P_{1}) + L(f,P_{2}), \end{aligned}\]

pues por ejemplo, para la suma inferior,

\[L(f,P_{1} \cup P_{2}) = \sum_{i=0}^{n-1} m_{i} (a_{i+1}-a_{i}) + \sum_{i=0}^{k-1} m_{i}'(b_{i+1}-b_{i}),\]

donde \(m_{i} = \inf \{ f(x):a_{i}\leq x\leq a_{i+1} \}\), \(m_{i}' = \inf \{ f(x): b_{i}\leq x \leq b_{i+1}\}\).

Discontinuidad evitable en un extremo del intervalo

Sea \(f:[a,b] \to \mathbb{R}\) continua en \((a,b]\) tal que \(\lim_{ x \to a^{+}} \ell_{1} \in \mathbb{R}\). Entonces, \(f\) es Riemann integrable en \([a,b]\).

Prueba: Note que:

1. Si \(0<\alpha<b-a\), \(f:[a + \alpha, b] \to \mathbb{R}\) es continua, i.e, Riemann integrable. x
2. Dado \(\varepsilon>0\), existe \(\delta>0\) tal que si \(0<x-a<\delta\) entonces \(\lvert f(x)-\ell_{1} \rvert< \frac{\varepsilon}{2}\). Entonces, si \(a<x,y<a+\delta\), tenemos que

\[\lvert f(x)-f(y) \rvert \leq \lvert f(x)- \ell_{1} \rvert + \lvert \ell_{1}-f(y) \rvert < \varepsilon.\ \tag{*}\]

Sea \(P_{1} = \left\{ a_{0}=a < \dots < a_{m} = a+ \frac{\delta}{2} \right\}\) una partición de \(\left[ a, a + \frac{\delta}{2} \right]\), Entonces

\[\begin{aligned} U(f,P_{1}) - L(f, P_{1}) = \sum_{i=0}^{m-1} (M_{i} - m_{i})(a_{i+1}-a_{i}). \end{aligned}\]

Por \((*)\), note que \(f(x) - f(y) \leq M_{i} - m_{i} < \varepsilon\). Luego

\[\begin{aligned} U(f, P_{1}) - L(f, P_{1}) \leq \sum_{i=0}^{m-1} \varepsilon(a_{i+1}-a_{i}) = \varepsilon \left( a+\frac{\delta}{2} - a \right) = \frac{\varepsilon \delta}{2}. \end{aligned}\]

Recordemos que \(f:\left[ a+\frac{\delta}{2},b \right] \to \mathbb{R}\) es continua, i.e. Riemann integrable, entonces existe \(P_{\varepsilon} = \left\{ b_{0}=a+\frac{\delta}{2} < \dots < b_{k} = b \right\}\) tal que para toda partición \(P \supseteq P_{\varepsilon}\) entonces

\[U(f,P)-L(f,P) < \frac{\varepsilon}{2}.\]

Necesitamos \(P_{\varepsilon}'\) de \([a,b]\). Tome \(P_{\varepsilon}' = \left\{ a = c_{0} < c_{1} = a+ \frac{\delta}{2} = b_{0} < \dots < b_{k} = c_{k+1} = b \right\} = P_{\varepsilon} \cup \left\{ a, a+ \frac{\delta}{2} \right\}\). Entonces,

\[\begin{aligned} &U(f, P_{\varepsilon}') - L(f, P_{\varepsilon}') \\&= U\left( f,\left\{ a,a+\frac{\delta}{2} \right\} \right) - L\left( f,\left\{ a,a+\frac{\delta}{2} \right\} \right) + U(f, P_{\varepsilon}) - L(f, P_{\varepsilon}) \\ & < \frac{\varepsilon \delta}{2} + \frac{\varepsilon}{2}. \end{aligned}\]

Nota: Tomamos la unión solo con \(\left\{ \alpha, \alpha + \frac{\delta}{2} \right\}\) porque acotamos \(U-L\) para toda partición de \([a,a+\delta/2]\)N. En particular, tomamos la partición más sencilla posible para construir un refinamiento y conservar las propiedades desarrolladas en ambos subintervalos.

Otros resultados útiles

Algunos trucos útiles.

• La unión entre particiones genera refinamientos de todas ellas, lo que es útil si se quiere extender resultados a particiones más finas.
• Cuando se trabaja en torno a un punto problemático \(x_{0}\), es útil construir una partición alrededor de este punto, i.e., que incluya los puntos \(x_{0}-\delta\) y \(x_{0} + \delta\), con \(\delta>0\).
• Si se sabe que una función es Riemann integrable, en ocasiones es útil considerar una sucesión de particiones \(P_{n}\) que salen de la definición de Riemann-integrabilidad para \(\frac{1}{n}\) (o para \(\frac{\varepsilon}{n}\) si se busca probar la Riemann integrabilidad de otra función). Usualmente se puede trabajar con algún refinamiento de estas particiones. Usualmente esto sirve para cuando se quiere probar la convergencia a la integral.
• Para probar los teoremas de valor medio, usualmente basta acotar la expresión buscada a una función evaluada en dos extremos de un intervalo.