La siguiente nota muestra algunas técnicas de integración.
Antiderivadas
Sea \(f:[a,b] \to \mathbb{R}\) diferenciable. Entonces
\[\int_{a}^{b} f'(x) \, d = f(b)-f(a) = f(x) \biggr\rvert_{a}^{b}.\]Ejemplos
e
Integración por partes
Recuerde la fórmula de integración por partes:
\[\int_{a}^{b} f'(x) g(x) \, dx = f(x)g(x) \biggr\rvert_{a }^{b } - \int_{a}^{b} g'(x) f(x) \, dx\]Ejemplos
Cambio de variable
Recuerde que
\[\int_{a}^{b} f(\phi(t)) \phi'(t) \, dt = \int_{a}^{b} f(u) \, du,\]con \(u = \phi(t)\) y \(du = \phi'(t) dt\).
Ejemplos
Sustitución trigonométrica
Las siguientes sustituciones suelen ser útiles si aparecen estas expresiones.
\[\begin{aligned} \sqrt{ x^{2} -a^{2}} &\longrightarrow x = a \sec (\theta) \\ \sqrt{ x^{2}+a^{2} } &\longrightarrow x = a \tan (\theta) \\ \sqrt{ a^{2}-x^{2} } &\longrightarrow x = a \sin(\theta). \end{aligned}\]Ejemplos
Identidades trigonométricas
Las siguientes fórmulas suelen ser útiles:
- \(\cos mx \sin nx = \frac{1}{2}(\sin((m+n)x)) - \sin((m-n)x))\).
- \(\cos mx \cos nx = \frac{1}{2} (\cos((m+n)x)+\cos((m-n)x))\).
- \(\sin mx \sin nx = \frac{1}{2}(\cos((m+n)x))-\cos((m-n)x)\).
Lista completa de identidades
