Se presentan algunas herramientas útiles para evaluar convergencia de series. Ver también: Series de funciones (series de Taylor).
Ejemplo
Sea \(\alpha \in \mathbb{R}\), entonces
\[\begin{aligned} \lim_{ n \to \infty } \frac{\ln(n^{\alpha})}{n} &= \alpha \lim_{ n \to \infty } \frac{\ln (n)}{n} \\ &\overset{\text{L'H}}{=} \alpha \lim_{ n \to \infty } \frac{1}{n} \\ &= 0. \end{aligned}\]Desarrollos limitados
Algunos ejemplos son: 
Podemos aproximar funciones usando polinomios de Taylor con desarrollos limitados. Por ejemplo, \((1+x)^{\alpha} = 1+\alpha x+o(x)\), donde tratamos el resto como la \(o\) pequeña de Landau, tal que \(\lim_{ x \to 0} \frac{o(x)}{x} = 0\). De igual forma,
\[(1+x)^{\alpha} = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2} x^{2} + o(x^{2}).\]Ahora, \(o(x) + o(x^{2}) = o(x)\), pues
\[\lim_{ x \to 0 } \frac{o(x^{2})}{x^{2}} x = 0.\]Ejemplo:
\[\sqrt{ n^{2}+1 } -\sqrt[3]{n^{3}+1} = \underbrace{ n\left( \left( 1+\frac{1}{n^{2}} \right)^{1/2} - \left( 1+\frac{1}{n^{3}} \right)^{1/3} \right) }_{ \ast }.\]Aplicando desarrollos limitados, note que
\[\left( 1+\frac{1}{n^{2}} \right)^{1/2} = 1+\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{n^{2}} + o\left( \frac{1}{n^{2}} \right),\] \[\left( 1+\frac{1}{n^{3}} \right)^{1/3} = 1 + \frac{1}{3} \cdot\frac{1}{n^{3}} + o\left( \frac{1}{n^{3}} \right).\]Entonces, sustituyendo en la expresión inicial,
\[\ast = n\left(\frac{1}{2n^{2}} - \frac{1}{3n^{3}} + o\left( \frac{1}{n^{2}} \right)\right) = \frac{1}{2n} + \frac{1}{3n^{2}} + no\left( \frac{1}{n^{2}} \right) = \frac{1}{2n} + \frac{1}{3n^{2}} + o\left( \frac{1}{n} \right).\]OJO: \(o(x^{2}) = x o(x)\) y \(o(x^{n}) = x o(x^{n-1})\).
Entonces \(\lim_{ n \to \infty } \frac{\frac{1}{2n} - \frac{1}{3n^{2}} + o\left( \frac{1}{n} \right)}{\frac{1}{n}} = \frac{1}{2}\), luego por comparación al límite \(\sum_{n=1}^\infty \sqrt{ n^{2}+1 } - \sqrt[3]{n^{3}+1}\) diverge.
Ejemplo
Considere \(\sum_{n=1}^\infty \frac{\sqrt{ n^{2}+1 } - \sqrt[3]{n^{3}+1}}{n^{p}}\). ¿Para que valores de \(p\) converge? Note que, por el desarrollo limitado anterior,
\[\frac{\sqrt{ n^{2}+1 } - \sqrt[3]{n^{3}+1}}{n^{p}} \approx \frac{1}{n^{p}},\]pues,
\[\lim_{ n \to \infty } \frac{\frac{\sqrt{ n^{2}+1 } - \sqrt[3]{n^{3}+1}}{n^{p}}}{\frac{1}{n^{p+1}}} = \lim_{ n \to \infty } \frac{\frac{1}{2n} - \frac{1}{3n^{2}} + o\left( \frac{1}{n} \right)}{\frac{1}{n}} = \frac{1}{2}.\]Por lo tanto, la serie converge si y solo si \(\sum_{n=q}^\infty \frac{1}{n^{p+1}}\) converge, i.e., si \(p>0\).
Ejemplo
Considere la serie \(\sum_{n=1}^\infty \frac{\left( 1-\frac{1}{n} \right)^{n}}{n}\). En primer lugar, note que
\[\left( 1-\frac{1}{n^{2}} \right)^{n} = e^{\ln(1-1/n^{2})^{n}} = e^{n\ln(1-1/n^{2})}.\]Recordamos que
\[\ln(1+x) = x + o(x) = x - \frac{x^{2}}{2} + o(x).\]Entonces, en un primer orden, tenemos que
\[\ln\left( 1-\frac{1}{n^{2}} \right) = -\frac{1}{n^{2}} + o\left( \frac{1}{n^{2}} \right).\]Luego, tenemos que
\[n \ln\left( -\frac{1}{n^{2}}+o\left( \frac{1}{n^{2}} \right) \right) = n\left( -\frac{1}{n^{2}}+o\left( \frac{1}{n^{2}} \right) \right) = -\frac{1}{n} + o\left( \frac{1}{n} \right).\]Entonces \(\left( 1-\frac{1}{n^{2}} \right)^{n} \underset{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow} 1\), entonces, por comparación al límite, \(\frac{\left( 1-\frac{1}{n} \right)^{n}}{n} \approx \frac{1}{n}\). Luego, la serie diverge.
Ejemplo
Considere \(\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n} e^{-pn}\). ¿Para que valores de \(p\) converge? Note que la serie converge absolutamente si \(p>0\). Si \(p\leq 0\), entonces \((-1)^{n} e^{-pn} \underset{n \rightarrow \infty}{\cancel{ \longrightarrow }}\) 0, i.e, diverge.
Ejemplo
Considere \(\sum_{n=1}^\infty \frac{n^{n}}{n! 2^{n}}\). Aplicando el criterio del cociente, note que
\[\lim_{ n \to \infty } \frac{\frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!2^{n+1}}}{\frac{n^{n}}{n! 2^{n}}} = \lim_{ n \to \infty } (\frac{(n+1)^{n+1}}{2(n+1)n^{n}} = \frac{1}{2}\lim_{ n \to \infty } \left( \frac{n+1}{n} \right)^{n} = \frac{e}{2} > 1.\]Luego, la serie diverge.
Fórmula de Stirling
\[\lim_{ n \to \infty } \frac{n!}{\left( \frac{n}{e} \right)^{n} \sqrt{ 2 \pi n }} = 1 \implies n! \approx \left( \frac{n}{e} \right)^{n} \sqrt{ 2 \pi n }.\]Ejemplo
En el ejemplo anterior,
\[\frac{n^{n}}{2^{n}n!} \approx \left( \frac{e}{2} \right)^{n} \frac{1}{\sqrt{ 2\pi n }}\]Ejemplo
Sea \(a_{n}\geq_{0}\) tal que \(\sum_{n=1}^\infty a_{n}\) converge. ¿La serie \(\sum_{n=1}^\infty a_{n}^{3}\) converge?. Note que
\[\lim_{ n \to \infty } \frac{a_{n}^{3}}{a_{n}} = \lim_{ n \to \infty } a_{n}^{2} = 0.\]Otra forma de verlo es que \(a_{n}^{3} \leq a_{n}\) siempre que \(a_{n} < 1\).
Ejemplo
Considere \(\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n} (1+\frac{1}{n})\). Note que los términos no convergen a cero, pues \(\lim_{ n \to \infty } (-1)^{n}\left( 1+\frac{1}{n} \right) = 1\). Por tanto, la serie diverge.
Ejemplo
Considere \(\sum_{n=1}^\infty \sinh(n) = \sum_{n=1}^\infty \frac{e^{n} - e^{-n}}{2}\). La serie diverge, pues \(\sum_{n=1}^\infty \frac{e^{n}}{2}\) diverge y \(\sum_{n=1}^\infty e^{-n}\) converge. 
Ejemplo
Calcule el valor de convergencia de la serie \(\sum_{n=0}^\infty n(n-1)x^{n}\) con \(\lvert x \rvert < 1\).
Fórmula de arcotangente
Esta fórmula es útil para calcular series con arcotangente.
\[\arctan\left( \frac{x-y}{1+xy} \right) = \arctan(x) - \arctan(y).\]Desigualdades trigonométrica.
Para todo \(x \in \mathbb{R}\), tenemos que
\[\lvert \sin(x) \rvert \leq \lvert x \rvert \leq \lvert \tan(x) \rvert .\]Si \(x < \frac{\pi}{2}\)
\[\sin(x) > \frac{x}{2}\]Definición de supremo e ínfimo
