Repaso: normas en Rd y conexidad

Normas en Rd

Definición (Familia de normas \(p\) en \(\mathbb{R}^{d}\))

En \(\mathbb{R}^{d}\) se consideran las siguientes normas:

1. Euclídea: \(\|(x_{1},\dots,x_{d})\| = (x_{1}^{2}+\dots+x_{d}^{2})^{1/2}\).

2. Norma del supremo: $$|(x_{1},\dots,x_{d})|_{\infty} = \max{

   x_{i}

   : 1 \leq i \leq d}$$.

3. Norma \(p\) (\(1 \leq p < \infty\)): $$|(x_{1},\dots,x_{d})|_{p} = (

   x_{1}

   ^{p}+\dots+

   x_{d}

   ^{p})^{1/p}$$.

El caso \(p = 2\) coincide con la norma euclídea, esto es,

\[\|(x_{1},\dots,x_{d})\| = \|(x_{1},\dots,x_{d})\|_{2}.\]

Definición (Bola asociada a una norma \(p\))

Para \(x_{0} \in \mathbb{R}^{d}\) y \(r > 0\) se define

\[B_{p}(x_{0},r) = \{ x \in \mathbb{R}^{d} : \|x - x_{0}\|_{p} < r \}.\]

Cuando \(p = 2\) se escribe simplemente \(B(x_{0},r)\).

Definición (Conjunto abierto en \(\mathbb{R}^{d}\))

\(D \subseteq \mathbb{R}^{d}\) es un conjunto abierto si para todo \(x_{0} \in D\) existe \(r > 0\) tal que

\[B(x_{0},r) \subseteq D.\]

En particular \(\emptyset\) y \(\mathbb{R}^{d}\) son abiertos, y toda bola es abierta.

Equivalencia de normas p en Rd

Proposición (Cotas entre la norma euclídea y la norma del supremo)

Para todo \((x_{1},\dots,x_{d}) \in \mathbb{R}^{d}\),

\[\|(x_{1},\dots,x_{d})\|_{\infty} \leq \|(x_{1},\dots,x_{d})\| \leq \sqrt{d}\,\|(x_{1},\dots,x_{d})\|_{\infty}.\]

Prueba: Para \(1 \leq i \leq d\), $$

x_{i}

\leq \sqrt{x_{1}^{2}+\dots+x_{d}^{2}} = |(x_{1},\dots,x_{d})|\(, lo cual da\)|(x_{1},\dots,x_{d})|{\infty} \leq |(x{1},\dots,x_{d})|$$. Recíprocamente,

\[\|(x_{1},\dots,x_{d})\| = \sqrt{x_{1}^{2}+\dots+x_{d}^{2}} \leq \left(d \max_{1 \leq i \leq d} |x_{i}|^{2}\right)^{1/2} = \sqrt{d}\,\|(x_{1},\dots,x_{d})\|_{\infty}.\]

Proposición (Cotas entre la norma \(p\) y la norma del supremo)

Para todo \(1 \leq p < \infty\) y todo \((x_{1},\dots,x_{d}) \in \mathbb{R}^{d}\),

\[\|(x_{1},\dots,x_{d})\|_{\infty} \leq \|(x_{1},\dots,x_{d})\|_{p} \leq d^{1/p} \|(x_{1},\dots,x_{d})\|_{\infty}.\]

En consecuencia \(\|(x_{1},\dots,x_{d})\| \leq \sqrt{d}\,\|(x_{1},\dots,x_{d})\|_{p}\).

Prueba: Para cada \(1\leq i\leq d\), $$

x_{i}

^{p}\leq \sum_{j=1}^{d}

x_{j}

^{p}\(, y tomando\)p$$-ésima raíz se obtiene la cota inferior. Para la cota superior,

\[\sum_{j=1}^{d} |x_{j}|^{p} \leq d \max_{1\leq j\leq d} |x_{j}|^{p},\]

y al tomar \(p\)-ésima raíz se concluye. La última desigualdad combina ambas con la cota euclídea \(\leq \sqrt{d} \|\cdot\|_{\infty}\).

Lema (Las normas \(p\) definen los mismos abiertos en \(\mathbb{R}^{d}\))

Las normas \(\|\cdot\|_{p}\) (\(1\leq p\leq\infty\)) determinan la misma familia de conjuntos abiertos en \(\mathbb{R}^{d}\).

Prueba: Basta mostrar que dado \(r > 0\) existe \(r_{p} > 0\) con \(B_{p}(x,r_{p}) \subseteq B(x,r)\) y, recíprocamente, existe \(r' > 0\) con \(B(x,r') \subseteq B_{p}(x,r)\). Por la proposición anterior, si \(\|x-y\|_{p} < r/\sqrt{d}\) entonces \(\|x-y\| \leq \sqrt{d}\,\|x-y\|_{p} < r\), de modo que \(r_{p} = r/\sqrt{d}\) cumple

\[B_{p}\!\left(x,\tfrac{r}{\sqrt{d}}\right) \subseteq B(x,r).\]

Análogamente, \(B(x, r/d^{1/p}) \subseteq B_{p}(x,r)\). Por tanto cada abierto respecto de una norma lo es respecto de la otra.

Conexidad y arcoconexidad en Rd

Definición (Conjunto disconexo y conexo)

\(G \subseteq \mathbb{R}^{d}\) es disconexo si existen \(G_{0}, G_{1}\) abiertos tales que

\[G_{0} \cap G \neq \emptyset, \quad G_{1} \cap G \neq \emptyset, \quad G_{0} \cap G_{1} = \emptyset \quad\text{y}\quad G \subseteq G_{0} \cup G_{1}.\]

Un conjunto se dice conexo si no es disconexo.

Definición (Curva)

Una curva es una función continua \(\gamma : [a,b] \to \mathbb{R}^{d}\).

Definición (Conjunto arcoconexo)

\(E \subseteq \mathbb{R}^{d}\) es arcoconexo si para todos \(x_{0}, x_{1} \in E\) existe una curva \(\gamma : [a,b] \to \mathbb{R}^{d}\) tal que

\[\gamma(a) = x_{0}, \quad \gamma(b) = x_{1} \quad\text{y}\quad \gamma(t) \in E \text{ para todo } t \in [a,b].\]

Nota (Reparametrización al intervalo \([0,1]\))

Si \(\gamma : [a,b] \to \mathbb{R}^{d}\) es continua, entonces \(\gamma_{1} : [0,1] \to \mathbb{R}^{d}\) dada por \(\gamma_{1}(s) = \gamma((b-a)s + a)\) es continua. Por tanto, en la definición de arcoconexidad puede suponerse \(a = 0\) y \(b = 1\).

Lema (Un arcoconexo no admite descomposición en abiertos disjuntos)

Sea \(E \subseteq \mathbb{R}^{d}\) arcoconexo. Entonces no existen \(G_{0}, G_{1}\) abiertos no vacíos tales que \(E \subseteq G_{0} \cup G_{1}\) y \(G_{0} \cap G_{1} = \emptyset\).

Prueba: Supongamos que tales \(G_{0}, G_{1}\) existen y tomemos \(x_{0} \in G_{0} \cap E\), \(x_{1} \in G_{1} \cap E\). Por arcoconexidad existe \(\gamma : [0,1] \to E\) con \(\gamma(0)=x_{0}\) y \(\gamma(1)=x_{1}\). Como \(G_{0}\) es abierto, existe \(r > 0\) con \(B(x_{0}, r) \subseteq G_{0}\). Por continuidad de \(\gamma\) existe \(\delta > 0\) tal que $$

t

< \delta\(implica\)|\gamma(0) - \gamma(t)| < r\(, de modo que\)\gamma(t) \in B(x_{0}, r) \subseteq G_{0}\(para\)0 < t < \delta$$.

Definamos

\[t_{0} = \sup \{ t > 0 : \gamma(s) \in G_{0},\ 0 \leq s < t \}.\]

El conjunto está acotado por \(1\) y contiene a \(\delta/2\) (pues \(\gamma(s) \in G_{0}\) para \(0 \leq s < \delta\) por lo anterior), así que \(\delta/2 \leq t_{0} \leq 1\). Si \(\gamma(t_{0}) \in G_{0}\), existe \(r_{1} > 0\) con \(B(\gamma(t_{0}), r_{1}) \subseteq G_{0}\) y, por continuidad, existe \(\delta_{1} > 0\) con $$

t_{0} - s

< \delta_{1} \implies \gamma(s) \in B(\gamma(t_{0}), r_{1}) \subseteq G_{0}$$. Esto contradice la definición de supremo.

Por tanto \(\gamma(t_{0}) \in E \setminus G_{0} \subseteq G_{1}\). Pero existirían entonces \(r_{2}, \delta_{2} > 0\) tales que $$

t_{0} - s

< \delta_{2} \implies \gamma(s) \in B(\gamma(t_{0}), r_{2}) \subseteq G_{1}\(. Por definición de supremo existe\)s’ \in (t_{0} - \delta_{2}, t_{0})\(con\)\gamma(s’) \in G_{0}\(; pero entonces\)\gamma(s’) \in G_{0} \cap G_{1} = \emptyset$$, contradicción.

Teorema (Relación entre conexidad y arcoconexidad en \(\mathbb{R}^{d}\))

Sea \(G \subseteq \mathbb{R}^{d}\). Entonces:

1. Si \(G\) es arcoconexo, entonces \(G\) es conexo.
2. Si \(G\) es abierto y conexo, entonces \(G\) es arcoconexo.

Prueba: La parte (1) es consecuencia directa del lema anterior. La parte (2) se demuestra fijando \(x_{0} \in G\) y considerando el conjunto \(A = \{ x \in G : x \text{ se puede unir a } x_{0} \text{ por una curva en } G\}\); usando que \(G\) es abierto se prueba que \(A\) y \(G \setminus A\) son ambos abiertos, y por conexidad y \(A \neq \emptyset\) se concluye \(A = G\).