Espacios métricos

Normas, distancias y métricas

Definición (Norma)

Una norma en $\mathbb{R}^{d}$ es una función $\|\cdot\| : \mathbb{R}^{d} \to [0, +\infty)$ que satisface:

$\|x\| \geq 0$ para todo $x \in \mathbb{R}^{d}$, con $\|x\| = 0$ si y solo si $x = 0$;
$$|\lambda x| = \lambda \,|x|$para todo$\lambda \in \mathbb{R}$y$x \in \mathbb{R}^{d}$$;
$\|x + y\| \leq \|x\| + \|y\|$ para todos $x, y \in \mathbb{R}^{d}$.

Nota (Distancia inducida por una norma en $\mathbb{R}^{d}$)

Una norma induce una distancia (o métrica) $d : \mathbb{R}^{d} \times \mathbb{R}^{d} \to [0, +\infty)$ mediante $d(x,y) = \|x - y\|$, la cual cumple:

$d(x,y) = d(y,x)$;
$d(x,y) = 0 \iff x = y$;
$d(x,z) = \|x-z\| = \|x-y+y-z\| \leq \|x-y\| + \|y-z\| = d(x,y) + d(y,z)$.

Definición (Espacio métrico)

Sea $E$ un conjunto. Una métrica es una función $d : E \times E \to [0, +\infty)$ que satisface:

$d(x,y) = d(y,x)$;
$d(x,y) = 0$ si y solo si $x = y$;
$d(x,y) \leq d(x,z) + d(z,y)$ (desigualdad triangular).

El par $(E, d)$ se llama espacio métrico.

Ejemplo (La métrica usual en $\mathbb{R}^{d}$)

En $\mathbb{R}^{d}$ con la norma euclídea, $d(x,y) = \|x - y\|$ es métrica; la desigualdad triangular es la usual del módulo.

Topología métrica: bolas, abiertos y cerrados

Definición (Bola abierta en un espacio métrico)

Sea $(E, d)$ un espacio métrico. Para $x_{0} \in E$ y $r > 0$ se define

\[B(x_{0}, r) = \{ y \in E : d(x_{0}, y) < r \}.\]

Definición (Conjunto abierto en un espacio métrico)

$D \subseteq E$ es un conjunto abierto si para todo $x_{0} \in D$ existe $r > 0$ tal que $B(x_{0}, r) \subseteq D$. En particular $\emptyset$ y $E$ son abiertos.

Lema (Las bolas son abiertos)

Para todos $x_{0} \in E$ y $r > 0$, $B(x_{0}, r)$ es un conjunto abierto.

Prueba: Sea $x_{1} \in B(x_{0}, r)$. Mostraremos que si $0 < r_{1} < r - d(x_{0}, x_{1})$, entonces $B(x_{1}, r_{1}) \subseteq B(x_{0}, r)$. En efecto, si $y \in B(x_{1}, r_{1})$, entonces

\[d(x_{0}, y) \leq d(x_{0}, x_{1}) + d(x_{1}, y) < d(x_{0}, x_{1}) + r_{1} < d(x_{0}, x_{1}) + r - d(x_{0}, x_{1}) = r,\]

de donde $y \in B(x_{0}, r)$.

Lema (Intersección finita de abiertos es abierto)

Si $G_{1}, G_{2}, \dots, G_{m}$ son abiertos en $(E, d)$, entonces $\bigcap_{i=1}^{m} G_{i}$ es abierto.

Prueba: Basta probarlo para $m = 2$ y aplicar inducción. Sea $x_{0} \in G_{1} \cap G_{2}$. Existen $r_{1}, r_{2} > 0$ tales que $B(x_{0}, r_{1}) \subseteq G_{1}$ y $B(x_{0}, r_{2}) \subseteq G_{2}$. Tomando $r = \min(r_{1}, r_{2})$,

\[B(x_{0}, r) \subseteq B(x_{0}, r_{1}) \cap B(x_{0}, r_{2}) \subseteq G_{1} \cap G_{2}.\]

Lema (Unión arbitraria de abiertos es abierto)

Si $\{ G_{\lambda} \}_{\lambda \in \Lambda}$ es una colección cualquiera de abiertos en $(E, d)$, entonces $\bigcup_{\lambda \in \Lambda} G_{\lambda}$ es abierto.

Prueba: Si $x_{0} \in \bigcup_{\lambda \in \Lambda} G_{\lambda}$, entonces existe $\lambda_{0}$ con $x_{0} \in G_{\lambda_{0}}$. Como $G_{\lambda_{0}}$ es abierto, existe $r > 0$ tal que $B(x_{0}, r) \subseteq G_{\lambda_{0}} \subseteq \bigcup_{\lambda \in \Lambda} G_{\lambda}$.

Definición (Conjunto cerrado)

$F \subseteq E$ es cerrado si $E \setminus F$ es abierto.

Nota (Propiedades básicas de los cerrados)

Si $\{ F_{\lambda} \}_{\lambda \in \Lambda}$ es una familia de cerrados, $\bigcap_{\lambda \in \Lambda} F_{\lambda}$ es cerrado, pues
\[E \setminus \bigcap_{\lambda \in \Lambda} F_{\lambda} = \bigcup_{\lambda \in \Lambda} (E \setminus F_{\lambda})\]
es unión de abiertos.
Si $F_{1}, \dots, F_{m}$ son cerrados, entonces $\bigcup_{i=1}^{m} F_{i}$ es cerrado.

Ejemplo (Las propiedades de cerrados/abiertos no se preservan al pasar a colecciones arbitrarias)

$\bigcap_{n=1}^{\infty} \left( a - \tfrac{1}{n}, a + \tfrac{1}{n}\right) = \{ a\}$ no es abierto. Es decir, la intersección numerable de abiertos no es necesariamente abierta.
$\left( a, b \right) = \bigcup_{n=1}^{\infty} \left[a + \tfrac{1}{n}, b - \tfrac{1}{n}\right]$ no es cerrado. Es decir, la unión numerable de cerrados no es necesariamente cerrada.