Conjuntos disconexos y conexos
Definición (Espacio disconexo y conexo)
Un espacio \((X, d)\) es disconexo si existen \(A, B\) abiertos no vacíos tales que
\[X = A \cup B, \quad A \cap B = \emptyset.\]Un espacio se dice conexo si no es disconexo. Equivalentemente, si \(X = A \cup B\) con \(A, B\) abiertos disjuntos, entonces \(A = X\) o \(B = X\).
Definición (Disconexidad de un subconjunto)
\(E \subseteq X\) es disconexo si existen \(A, B\) abiertos en \((X, d)\) tales que
\[E = (A \cap E) \cup (B \cap E), \quad (A \cap B) \cap E = \emptyset, \quad A \cap E \neq \emptyset \neq B \cap E.\]Es decir, \(E\) se descompone en dos abiertos relativos no vacíos y disjuntos.
Ejercicio (Caracterización de los abiertos en subespacios)
Dado \(E \subseteq X\), defina \(d_{E} : E \times E \to \mathbb{R}\) por \((x, y) \mapsto d(x, y)\). \((E, d_{E})\) es un espacio métrico. Pruebe que \(D \subseteq E\) es abierto en \((E, d_{E})\) si y solo si existe \(O \subseteq X\) abierto en \((X, d)\) tal que \(D = E \cap O\).
Conexos en R y propiedades
Lema (Los intervalos abiertos son conexos)
Para \(a < b\), el intervalo \(I = (a, b)\) es conexo.
Prueba: Suponga que \(I = (I \cap A) \cup (I \cap B)\) con \(A, B\) abiertos disjuntos y ambos cortes no vacíos. Sean \(s \in I \cap A\), \(t \in I \cap B\) con \(s < t\); entonces \([s, t] \subseteq I\). Como \(s \in A\) existe \(\delta_{1} > 0\) con \((s - \delta_{1}, s + \delta_{1}) \subseteq A\), así \([s, s + \delta_{1}/2] \subseteq [s, t] \cap A\).
Defina \(u = \sup\{ x \in [s, t] : [s, x] \subseteq A\}\). Por construcción \(s < u \leq t\). Si \(u \in B\), existe \(\delta_{2} > 0\) con \((u - \delta_{2}, u + \delta_{2}) \subseteq B \cap [s,t]\); pero por propiedades del supremo existe \(w \in [s, t] \cap A\) con \(u - \delta_{2} < w \leq u\), lo cual implicaría \(w \in A \cap B\) (pues \(w \in [s, t] \cap A\) por la definición del supremo y \(w \in (u - \delta_{2}, u + \delta_{2}) \subseteq B\)), contradiciendo \(A \cap B = \emptyset\). Si \(u \in A\), existe \(\delta_{3} > 0\) con \([u, u + \delta_{3}] \subseteq [s, t] \cap A\), lo que contradice la definición del supremo cuando \(u < t\), o contradice \(t \in B\) cuando \(u = t\).
Lema (Las funciones continuas preservan la conexidad)
Sea \(f : X \to Y\) continua. Si \(E \subseteq X\) es conexo, entonces \(f(E)\) es conexo.
Prueba: Suponga que existen \(B, C \subseteq Y\) abiertos tales que \(f(E) = (f(E) \cap C) \cup (f(E) \cap B)\) con ambos cortes no vacíos y disjuntos. Entonces
\[\emptyset \neq f^{-1}(f(E) \cap C) = E \cap f^{-1}(C), \quad \emptyset \neq f^{-1}(f(E) \cap B) = E \cap f^{-1}(B),\]y \(E = (E \cap f^{-1}(C)) \cup (E \cap f^{-1}(B))\) con \(f^{-1}(C), f^{-1}(B)\) abiertos disjuntos en \(X\), contradiciendo que \(E\) es conexo.
Corolario (\(\mathbb{R}^{d}\) es conexo)
\(\mathbb{R}^{d}\) es conexo para todo \(d \geq 1\).
Prueba: Suponga \(\mathbb{R}^{d} = A \cup B\) con \(A, B\) abiertos no vacíos disjuntos. Tome \(x \in A\), \(y \in B\) y \(f : [0, 1] \to \mathbb{R}^{d}\), \(t \mapsto (1-t)x + ty\), continua. Como \([0, 1]\) es conexo, \([x, y] = f([0,1])\) es conexo. Pero \([x, y] = ([x,y] \cap A) \cup ([x,y] \cap B)\) con ambos cortes no vacíos, contradicción.
Lema (Unión de conexos con un punto en común)
Sea \(\{ E_{\alpha} : \alpha \in A\}\) una familia de conjuntos conexos tal que \(\bigcap_{\alpha \in A} E_{\alpha} \neq \emptyset\). Entonces \(E = \bigcup_{\alpha \in A} E_{\alpha}\) es conexo.
Prueba: Sea \(x \in \bigcap_{\alpha \in A} E_{\alpha}\) y suponga, por contradicción, que existen \(A', B'\) abiertos con \(E = (A' \cap E) \cup (B' \cap E)\), \(A' \cap E \neq \emptyset\), \(B' \cap E \neq \emptyset\) y \(A' \cap B' \cap E = \emptyset\). Sin pérdida de generalidad \(x \in B'\).
Como \(A' \cap E \neq \emptyset\), tome \(y \in A' \cap E\); como \(E = \bigcup_{\alpha} E_{\alpha}\), existe \(\alpha_{0}\) con \(y \in E_{\alpha_{0}}\), luego \(A' \cap E_{\alpha_{0}} \neq \emptyset\). Por otra parte \(x \in E_{\alpha_{0}}\) (pues \(x\) está en cada \(E_{\alpha}\)) y \(x \in B'\), así \(B' \cap E_{\alpha_{0}} \neq \emptyset\).
Veamos que esto descompone \(E_{\alpha_{0}}\) en dos abiertos relativos no vacíos y disjuntos:
-
Cobertura: todo \(z \in E_{\alpha_{0}}\) satisface \(z \in E\), luego (por la descomposición global) \(z \in A'\) o \(z \in B'\). Por tanto
\[E_{\alpha_{0}} \;\subseteq\; (E_{\alpha_{0}} \cap A') \cup (E_{\alpha_{0}} \cap B');\]la inclusión recíproca es inmediata. Concluimos \(E_{\alpha_{0}} = (E_{\alpha_{0}} \cap A') \cup (E_{\alpha_{0}} \cap B')\).
- Disjuntez: \((E_{\alpha_{0}} \cap A') \cap (E_{\alpha_{0}} \cap B') = E_{\alpha_{0}} \cap (A' \cap B') \subseteq E \cap (A' \cap B') = \emptyset\).
- Ambos no vacíos: ya probado arriba.
Esto contradice que \(E_{\alpha_{0}}\) sea conexo.
Componentes conexas
Definición (Componente conexa de un punto)
Sea \((X, d)\) un espacio métrico y \(x \in X\). La componente conexa de \(x\) es
\[C(x) = \bigcup\{ E \subseteq X : E \text{ conexo}, \; x \in E\}.\]Nota (La componente conexa es conexa)
Por el lema de unión de conexos con punto en común, \(C(x)\) es conexo para todo \(x \in X\).
Ejercicio (Las componentes son clases de equivalencia)
Defina la relación \(\mathcal{R}\) en \(X\) por \(x \mathcal{R} y \iff \exists\, C \text{ conexo}\,(x, y \in C)\). Pruebe que \(\mathcal{R}\) es una relación de equivalencia y que \([x] = C(x)\).
Caracterización de los conexos en R
Lema (Un conexo de \(\mathbb{R}\) contiene los segmentos entre sus puntos)
Sea \(E \subseteq \mathbb{R}\) conexo y \(a, b \in E\) con \(a \leq b\). Entonces \([a, b] \subseteq E\).
Prueba: Suponga que existe \(x \in [a, b] \setminus E\). Entonces
\[E = (E \cap (-\infty, x)) \cup (E \cap (x, \infty)),\]descomposición de \(E\) en dos abiertos relativos no vacíos y disjuntos, contradiciendo que \(E\) es conexo.
Teorema (Los conexos de \(\mathbb{R}\) son los intervalos)
\(E \subseteq \mathbb{R}\) es conexo si y solo si \(E\) es un intervalo (acotado o no, abierto, cerrado o semiabierto).
Prueba: \((\impliedby)\): Los intervalos abiertos son conexos por un lema previo, y la unión creciente \(\bigcup_{n} (a + 1/n, b - 1/n)\), \(\bigcup_{n} [a, b - 1/n]\), etc., con intersección no vacía permite obtener todos los demás tipos por aplicación del lema de unión.
\((\implies)\): Si \(E\) es conexo y acotado, defina \(\alpha = \inf E\), \(\beta = \sup E\). Tome \(\{a_{n}\}, \{b_{n}\} \subseteq E\) con \(a_{n} \downarrow \alpha\) y \(b_{n} \uparrow \beta\). Entonces, por el lema anterior, \([a_{n}, b_{n}] \subseteq E\), y por tanto \((\alpha, \beta) = \bigcup_{n} [a_{n}, b_{n}] \subseteq E \subseteq [\alpha, \beta]\). Así \(E\) es uno de \([\alpha, \beta], (\alpha, \beta], [\alpha, \beta), (\alpha, \beta)\), según si \(\alpha, \beta \in E\). Si \(E\) no es acotado superiormente, defina \(\beta = +\infty\) y tome \(b_{n} \in E\) con \(b_{n} \to +\infty\); entonces \((\alpha, +\infty) = \bigcup_{n} [a_{n}, b_{n}] \subseteq E\), así \(E \in \{ (\alpha, +\infty),\; [\alpha, +\infty) \}\). Análogamente para \(E\) no acotado inferiormente, y el caso \(E = \mathbb{R}\) se obtiene combinando ambos.
Ejercicio (Estructura de los abiertos en \(\mathbb{R}\))
Sea \(G \subseteq \mathbb{R}\) abierto. Pruebe que existen intervalos abiertos disjuntos \(\{ (a_{i}, b_{i})\}_{i=1}^{\infty}\) tales que \(G = \bigcup_{i=1}^{\infty} (a_{i}, b_{i})\).
Arcoconexidad
Definición (Conjunto arcoconexo en \(\mathbb{R}^{d}\))
\(E \subseteq \mathbb{R}^{d}\) es arcoconexo si para todos \(x_{0}, x_{1} \in E\) existe una curva \(\gamma : [0, 1] \to \mathbb{R}^{d}\) tal que
- \(\gamma(0) = x_{0}\) y \(\gamma(1) = x_{1}\);
- \(\gamma(t) \in E\) para todo \(t \in [0, 1]\).
Ejemplo (La curva del seno topológico: conexo no arcoconexo)
Considere
\[E = \{(0, 0)\} \cup \left\{ (x, y) : 0 < x \leq 1,\; y = \sin\!\left(\tfrac{1}{x}\right) \right\}.\]\(E\) es conexo. Sean \(A, B\) abiertos con \(A \cap E \neq \emptyset \neq B \cap E\), \(E \subseteq A \cup B\) y \(A \cap B = \emptyset\), y supóngase \((0, 0) \in A\). Para \(n \in \mathbb{N}\) con \(n\) grande, \(x_{n} = (\tfrac{1}{\pi n}, \sin(\pi n)) = (\tfrac{1}{\pi n}, 0) \in A\) (por convergencia a \((0,0)\) y abierto \(A\)). Para cada \(n\),
\[E_{n} = \left\{ (x, y) : \tfrac{1}{n\pi} \leq x \leq 1,\; y = \sin\!\left(\tfrac{1}{x}\right)\right\}\]es la imagen continua del intervalo \([\tfrac{1}{\pi n}, 1]\) y por tanto es conexo. Como \(E_{n} \cap A \neq \emptyset\), \(E_{n} \cap B = \emptyset\), así \(E_{n} \subseteq A\), y tomando uniones \(\{(x, \sin(1/x)) : 0 < x \leq 1\} \subseteq A\). Concluimos \(E \subseteq A\), contradiciendo \(B \cap E \neq \emptyset\).
\(E\) no es arcoconexo. Suponga que existe \(\tilde{\gamma} : [0, 1] \to E\) continua con \(\tilde{\gamma}(0) = (0, 0)\) y \(\tilde{\gamma}(1) = (1/(n_{0}\pi), 0)\). Sea \(t_{0} = \sup\{ t > 0 : \tilde{\gamma}(t) = (0, 0)\}\). Tomando \(\{t_{n}\}\) decreciente con \(t_{n} \to t_{0}\), \(\tilde{\gamma}(t_{n}) \to (0, 0)\), así \(\tilde{\gamma}_{1}(t_{n}) \to 0\) y \(\tilde{\gamma}_{2}(t_{n}) = \sin(1/\tilde{\gamma}_{1}(t_{n}))\) no converge (oscila entre \(-1\) y \(1\) a lo largo de los \(t_{n}\) adecuados), contradiciendo la continuidad de \(\tilde{\gamma}_{2}\) en \(t_{0}\).
Ejercicio (Detalles del contraejemplo de arcoconexidad)
En el ejemplo anterior, pruebe:
- Si \(x_{n} < x_{n+1}\) entonces, para \(x_{n} \leq x \leq x_{n+1}\), \((x, \sin(1/x)) \in \tilde{\gamma}([0,1])\).
- \(B = \{ (x, \sin(1/x)) : 0 < x < 1/(n_{0}\pi)\} \subseteq \tilde{\gamma}([0,1])\).
- \(\tilde{\gamma}([t_{0}, 1]) \setminus B = \{ (0, 0)\}\).
- \(\tilde{\gamma}\) no es continua en \(t_{0}\).
Lema (En abiertos de \(\mathbb{R}^{d}\), conexo equivale a arcoconexo)
Sea \(E \subseteq \mathbb{R}^{d}\) abierto. Entonces \(E\) es conexo si y solo si \(E\) es arcoconexo.
Prueba: \((\impliedby)\): Por el teorema general, todo arcoconexo es conexo.
\((\implies)\): Fije \(x_{0} \in E\) y considere \(A = \{ x \in E : x \text{ se une a } x_{0} \text{ por una curva en } E\}\). Como \(E\) es abierto y unión de curvas con bolas, \(A\) y \(E \setminus A\) son ambos abiertos en \(E\) (alrededor de cualquier \(y \in A\) una bola en \(E\) se une a \(y\) con una recta y por concatenación a \(x_{0}\)). Por conexidad y \(A \neq \emptyset\), \(A = E\). (Detalles: ejercicio.)