El espacio C(K,R)
Definición (Espacio de funciones continuas sobre un compacto)
Sea \((X, d)\) un espacio métrico y \(K \subseteq X\) compacto. Se define
\[\mathcal{C}(K, \mathbb{R}) = \{ f : K \to \mathbb{R} \;:\; f \text{ continua}\}\]y, para \(f, g \in \mathcal{C}(K, \mathbb{R})\),
\[d_{\infty}(f, g) = \sup_{x \in K} |f(x) - g(x)|.\]\((\mathcal{C}(K, \mathbb{R}), d_{\infty})\) es un espacio métrico cuya convergencia coincide con la convergencia uniforme.
Equicontinuidad
Definición (Familia equicontinua)
Sea \(\{f_{\alpha}\}_{\alpha \in \Omega}\) una familia de funciones \(f_{\alpha} : X \to Y\) con \((X, d), (Y, \rho)\) espacios métricos. Decimos que \(\{f_{\alpha}\}_{\alpha \in \Omega}\) es equicontinua en \(x_{0} \in X\) si para todo \(\varepsilon > 0\) existe \(\delta > 0\) tal que
\[d(x_{0}, y) < \delta \implies \rho(f_{\alpha}(y), f_{\alpha}(x_{0})) < \varepsilon \quad \text{para todo } \alpha \in \Omega.\]La familia es equicontinua si lo es en todo punto de \(X\).
Lema (Compactos en \(\mathcal{C}(K, \mathbb{R})\) son equicontinuos)
| Sea \(C \subseteq \mathcal{C}(K, \mathbb{R})\) compacto. Entonces \(C\) es equicontinuo: dados \(\varepsilon > 0\) y \(x_{0} \in K\), existe \(\delta > 0\) tal que para todo \(f \in C\) y todo \(y \in K\) con \(d(x_{0}, y) < \delta\) se cumple $$ | f(y) - f(x_{0}) | < \varepsilon$$. |
| Prueba: Por contradicción: si fallase, existirían \(\varepsilon > 0\) y \(x_{0} \in K\) tales que para todo \(n \in \mathbb{N}\) existen \(y_{n}, k_{n}\) con \(d(x_{0}, y_{n}) < 1/n\) y $$ | f_{k_{n}}(x_{0}) - f_{k_{n}}(y_{n}) | \geq \varepsilon\(, donde\){f_{k_{n}}} \subseteq C\(. Por compacidad existe una subsucesión\){f_{k_{n_{l}}}}{l \geq 1}\(que converge uniformemente a una función continua\)f : K \to \mathbb{R}\(. Para simplificar la notación, escribamos\)\tilde{f}{l} := f_{k_{n_{l}}}\(y\)\tilde{y}{l} := y{n_{l}}\(. Entonces\)\tilde{y}{l} \to x{0}\(y\) | \tilde{f}{l}(x{0}) - \tilde{f}{l}(\tilde{y}{l}) | \geq \varepsilon$$. |
| Como \(\tilde{y}_{l} \to x_{0}\) y \(f\) es continua, existe \(l_{0}\) tal que $$ | f(\tilde{y}{l}) - f(x{0}) | < \varepsilon/3\(para\)l \geq l_{0}\(. Entonces, para\)l$$ grande, |
| contradiciendo que $$ | f_{m_{l}}(y_{l}) - f_{m_{l}}(x_{0}) | \geq \varepsilon$$. |
Lema (Equicontinuidad y convergencia puntual a un continuo dan convergencia uniforme)
Sea \(\{f_{n}\}_{n=1}^{\infty}\) una familia equicontinua de funciones \(f_{n} : X \to Y\) y \(K \subseteq X\) compacto tal que \(\lim_{n \to \infty} f_{n}(x) = f_{0}(x)\) para todo \(x \in K\), con \(f_{0}\) continua en \(K\). Entonces \(\{f_{n}\}\) converge uniformemente a \(f_{0}\) en \(K\).
Prueba: Sea \(\varepsilon > 0\). Por equicontinuidad, para cada \(x \in K\) existe \(\delta_{x} > 0\) tal que \(y \in B(x, \delta_{x})\) implica \(\rho(f_{n}(x), f_{n}(y)) < \varepsilon/3\) para todo \(n \geq 0\). Como \(K\) es compacto, existen \(x_{1}, \dots, x_{m}\) con \(K \subseteq \bigcup_{i=1}^{m} B(x_{i}, \delta_{x_{i}})\). Tome \(n_{0}\) tal que \(\rho(f_{n}(x_{i}), f_{0}(x_{i})) < \varepsilon/3\) para todo \(1 \leq i \leq m\) y todo \(n \geq n_{0}\).
Para \(y \in K\), existe \(i\) con \(y \in B(x_{i}, \delta_{x_{i}})\), así
\[\rho(f_{n}(y), f_{0}(y)) \leq \rho(f_{n}(y), f_{n}(x_{i})) + \rho(f_{n}(x_{i}), f_{0}(x_{i})) + \rho(f_{0}(x_{i}), f_{0}(y)) < \tfrac{\varepsilon}{3} + \tfrac{\varepsilon}{3} + \tfrac{\varepsilon}{3} = \varepsilon\]para \(n \geq n_{0}\).
Lema (Convergencia en denso para familia equicontinua produce continuidad)
Sean \(D \subseteq X\) denso y \(\{f_{n}\}_{n=1}^{\infty}\) una sucesión equicontinua de funciones \(f_{n} : X \to Y\). Suponga que \(\{f_{n}(x)\}_{n=1}^{\infty}\) converge para todo \(x \in D\) y que para cada \(x \in X\) el conjunto \(\overline{\{f_{n}(x)\}_{n=1}^{\infty}}\) es completo (en particular esto se cumple si \(Y\) es completo, o si \(\overline{\{f_{n}(x)\}_{n=1}^{\infty}}\) es compacto). Entonces \(\{f_{n}(x)\}\) converge para todo \(x \in X\) y su límite es continuo.
Prueba: Convergencia. Sea \(x \in X\) y \(\varepsilon > 0\). Por equicontinuidad existe \(\delta > 0\) con
\[d(x, y) < \delta \implies \rho(f_{n}(x), f_{n}(y)) < \varepsilon/3 \quad \text{para todo } n \geq 1.\]Por densidad existe \(y \in B(x, \delta) \cap D\) y, como \(\{f_{n}(y)\}\) converge, existe \(n_{0}\) con \(\rho(f_{n}(y), f_{m}(y)) < \varepsilon/3\) para \(n, m \geq n_{0}\). Entonces
\[\rho(f_{n}(x), f_{m}(x)) \leq \rho(f_{n}(x), f_{n}(y)) + \rho(f_{n}(y), f_{m}(y)) + \rho(f_{m}(y), f_{m}(x)) < \varepsilon,\]así \(\{f_{n}(x)\}\) es de Cauchy. Como \(\{f_{n}(x)\} \subseteq \overline{\{f_{n}(x)\}}\) y este último es completo por hipótesis, \(\{f_{n}(x)\}\) converge en \(\overline{\{f_{n}(x)\}} \subseteq Y\).
Continuidad del límite. Definamos \(f(x) = \lim_{n} f_{n}(x)\). Para \(d(x, y) < \delta\),
\[\rho(f(x), f(y)) = \lim_{n \to \infty} \rho(f_{n}(x), f_{n}(y)) \leq \tfrac{\varepsilon}{3},\]así \(f\) es continua en \(x\).
Nota (Hipótesis suficientes sobre el codominio)
La hipótesis “\(\overline{\{f_{n}(x)\}_{n=1}^{\infty}}\) completo” del lema anterior se satisface, por ejemplo, cuando \(Y\) es completo (todo cerrado de un completo es completo) o cuando \(\overline{\{f_{n}(x)\}_{n=1}^{\infty}}\) es compacto (por compacto \(\Rightarrow\) completo). El segundo caso es el que se usa en el Teorema de Arzelà-Ascoli más adelante.
Lema (Convergencia puntual en compacto bajo equicontinuidad implica uniforme)
Sea \(\{f_{n}\}_{n=1}^{\infty}\) una familia equicontinua, \(f_{n} : X \to Y\), y \(K \subseteq X\) compacto. Si \(\lim_{n \to \infty} f_{n}(x) = f_{0}(x)\) existe en \(Y\) para todo \(x \in K\), entonces \(f_{0}\) es continua y \(f_{n}\) converge uniformemente a \(f_{0}\) en \(K\).
Prueba: Continuidad de \(f_{0}\). Sea \(x \in K\) y \(\varepsilon > 0\). Por equicontinuidad existe \(\delta > 0\) tal que para todo \(n \geq 1\), \(d(x, y) < \delta\) implica \(\rho(f_{n}(x), f_{n}(y)) < \varepsilon/3\). Pasando al límite \(n \to \infty\),
\[\rho(f_{0}(x), f_{0}(y)) = \lim_{n \to \infty} \rho(f_{n}(x), f_{n}(y)) \leq \tfrac{\varepsilon}{3} < \varepsilon\]para \(d(x, y) < \delta\), lo que prueba la continuidad de \(f_{0}\) sin requerir hipótesis adicional sobre \(Y\).
Convergencia uniforme. Aplicando el primer lema de equicontinuidad (Equicontinuidad y convergencia puntual a un continuo dan convergencia uniforme) con el límite continuo \(f_{0}\) recién obtenido, \(f_{n} \to f_{0}\) uniformemente en \(K\).
El teorema
Teorema (Arzelà-Ascoli)
Sean \(X\) separable y \(\{f_{n}\}_{n=1}^{\infty}\) una familia equicontinua de funciones \(f_{n} : X \to Y\). Suponga que \(\overline{\{f_{n}(x)\}_{n=1}^{\infty}}\) es compacto para todo \(x \in X\). Entonces existe una subsucesión de \(\{f_{n}\}\) que converge puntualmente a una función continua \(f : X \to Y\). Además, la convergencia es uniforme en cada compacto \(K \subseteq X\).
Prueba: Sea \(D = \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty} \subseteq X\) denso (existe por separabilidad). Como \(\overline{\{f_{n}(x_{1})\}_{n=1}^{\infty}}\) es compacto, existe una subsucesión \(\{f_{n_{k}}^{1}\}_{k}\) tal que \(\{f_{n_{k}}^{1}(x_{1})\}\) converge. Análogamente \(\overline{\{f_{n_{k}}^{1}(x_{2})\}_{k}}\) es compacto (es un cerrado contenido en el compacto \(\overline{\{f_{n}(x_{2})\}_{n=1}^{\infty}}\), luego compacto), de modo que existe una subsucesión \(\{f_{n_{k}}^{2}\}\) de \(\{f_{n_{k}}^{1}\}\) tal que \(\{f_{n_{k}}^{2}(x_{2})\}\) converge.
Iterando, dado \(\{f_{n_{k}}^{m}\}\) con \(\{f_{n_{k}}^{m}(x_{j})\}\) convergente para \(1 \leq j \leq m\), extraemos \(\{f_{n_{k}}^{m+1}\}\) subsucesión de \(\{f_{n_{k}}^{m}\}\) tal que \(\{f_{n_{k}}^{m+1}(x_{m+1})\}\) converge. Por construcción, \(\{f_{n_{k}}^{m}(x_{j})\}\) converge para \(1 \leq j \leq m\).
Tomamos la subsucesión diagonal \(\{f_{n_{m}}^{m}\}_{m=1}^{\infty}\). Para \(j \leq m\), \(\{f_{n_{m}}^{m}(x_{j})\}_{m \geq j}\) es una subsucesión de \(\{f_{n_{k}}^{j}\}\) y por tanto converge. Así \(\{f_{n_{m}}^{m}\}\) converge puntualmente sobre \(D\) y es equicontinua. Además, para cada \(x \in X\), \(\overline{\{f_{n_{m}}^{m}(x)\}_{m=1}^{\infty}}\) es un cerrado contenido en el compacto \(\overline{\{f_{n}(x)\}_{n=1}^{\infty}}\), luego compacto y en particular completo. Por el lema previo (aplicado con esta condición de completitud sobre las clausuras de los valores), \(\{f_{n_{m}}^{m}\}\) converge en todo \(X\) a una función continua \(f\), y la convergencia es uniforme en compactos.