Funciones de variación acotada | Sebastián Fernández Rivera

Motivación: longitud de curvas y masa de un alambre

Dos problemas geométricos muestran la necesidad de ampliar la clase de funciones tratables con la integral de Riemann. Considérese una curva continua $\gamma : [a,b] \to \mathbb{R}^{2}$, $\gamma(t) = (\gamma_{1}(t), \gamma_{2}(t))$. Dada una partición $a = t_{0} < t_{1} < \dots < t_{n} = b$, la poligonal de vértices $\gamma(t_{i})$ aproxima la curva, y su longitud es

\[\sum_{i=0}^{n-1} \|\gamma(t_{i+1}) - \gamma(t_{i})\|.\]

Aproximación poligonal de una curva

Si $\gamma_{1}, \gamma_{2}$ son diferenciables con derivada Riemann-integrable, el teorema del valor medio sugiere que la longitud es $\int_{a}^{b} |\gamma'(t)|\,dt$; pero en general no es claro siquiera que el conjunto de longitudes poligonales sea acotado. Un fenómeno análogo aparece al calcular la masa de un alambre de densidad $\rho$, que se aproxima por sumas $\sum_{i} \rho(t_{i})\, A\, |\gamma(t_{i+1}) - \gamma(t_{i})|$. En ambos casos la cantidad relevante es el supremo de sumas de incrementos $$\sum

f(t_{i+1}) - f(t_{i})

$$ sobre todas las particiones; las funciones para las que ese supremo es finito son el objeto de esta sección.

Definición y primeros ejemplos

Definición (Función de variación acotada y suma de incrementos)

Sea $f : [a,b] \to \mathbb{R}$. Para una partición $\Gamma = \{ a = t_{0} < t_{1} < \dots < t_{n} = b\}$ se define la suma de incrementos

\[S(f, \Gamma) = \sum_{i=0}^{n-1} |f(t_{i+1}) - f(t_{i})|.\]

Decimos que $f$ es de variación acotada si existe $M > 0$ tal que $S(f, \Gamma) \leq M$ para toda partición $\Gamma$; equivalentemente, si

\[\sup_{\Gamma} S(f, \Gamma) < \infty.\]

Ejemplo (Toda función monótona es de variación acotada)

Si $f$ es creciente, los incrementos $f(t_{i+1}) - f(t_{i})$ son no negativos y la suma telescopia:

\[S(f, \Gamma) = \sum_{i=0}^{n-1} \big(f(t_{i+1}) - f(t_{i})\big) = f(b) - f(a).\]

Análogamente, si $f$ es decreciente, $S(f, \Gamma) = f(a) - f(b)$ para toda $\Gamma$. En ambos casos $S(f, \Gamma)$ no depende de $\Gamma$, de modo que $f$ es de variación acotada.

Ejemplo (La indicadora de los irracionales no es de variación acotada)

Sea $\varphi : [0,1] \to \mathbb{R}$ con $\varphi(x) = 0$ si $x \in \mathbb{Q}$ y $\varphi(x) = 1$ si $x \notin \mathbb{Q}$. Dado $n$, escoja una partición $\{x_{k}\}_{k=0}^{2n}$ con $x_{0} = 0$, $x_{2n} = 1$, $x_{2k} \in \mathbb{Q}$ y $x_{2k+1} \notin \mathbb{Q}$. Cada incremento $$

\varphi(x_{k+1}) - \varphi(x_{k})

$vale$1$$, de modo que

\[S(\varphi, \Gamma) = \sum_{k=0}^{2n-1} |\varphi(x_{k+1}) - \varphi(x_{k})| = 2n.\]

Como $n$ es arbitrario, $\sup_{\Gamma} S(\varphi, \Gamma) = \infty$ y $\varphi$ no es de variación acotada.

La variación total

Definición (Variación total)

Si $f : [a,b] \to \mathbb{R}$ es de variación acotada, su variación total sobre $[a,b]$ es

\[\operatorname{Var}(f, [a,b]) = \sup_{\Gamma} S(f, \Gamma).\]

Proposición (Monotonía de la variación sobre subintervalos)

Sea $f : [a,b] \to \mathbb{R}$ de variación acotada y $[a_{1}, b_{1}] \subseteq [a,b]$. Entonces la restricción de $f$ a $[a_{1}, b_{1}]$ es de variación acotada y

\[\operatorname{Var}(f, [a_{1}, b_{1}]) \leq \operatorname{Var}(f, [a,b]).\]

Prueba: Sea $\Gamma_{1}$ una partición de $[a_{1}, b_{1}]$ y considere la partición $\Gamma = \Gamma_{1} \cup \{a, b\}$ de $[a,b]$. Al añadir los extremos sólo se agregan sumandos no negativos, de modo que

\[S(f, \Gamma_{1}) \leq S(f, \Gamma_{1}) + |f(a_{1}) - f(a)| + |f(b) - f(b_{1})| = S(f, \Gamma) \leq \operatorname{Var}(f, [a,b]).\]

Tomando supremo sobre $\Gamma_{1}$ se obtiene $\operatorname{Var}(f, [a_{1}, b_{1}]) \leq \operatorname{Var}(f, [a,b]) < \infty$.

Proposición (Las funciones de variación acotada son acotadas)

Si $f : [a,b] \to \mathbb{R}$ es de variación acotada, entonces para todo $x \in [a,b]$

\[2|f(x)| \leq \operatorname{Var}(f, [a,b]) + |f(a)| + |f(b)|.\]

En particular $f$ es acotada.

Prueba: Para $x \in (a,b)$, la partición $\{a, x, b\}$ da

\[|f(x) - f(a)| + |f(b) - f(x)| \leq \operatorname{Var}(f, [a,b]).\]

Por la desigualdad triangular inversa, $$

f(x)

f(a)

\leq

f(x) - f(a)

$y$

f(x)

f(b)

\leq

f(b) - f(x)

$$. Sumando,

\[2|f(x)| - |f(a)| - |f(b)| \leq \operatorname{Var}(f, [a,b]),\]

que es la desigualdad buscada (trivial en $x = a, b$). Luego $$

f(x)

\leq \tfrac{1}{2}\big(\operatorname{Var}(f,[a,b]) +

f(a)

f(b)

\big)$para todo$x$$.

Lema (Propiedades algebraicas de las funciones de variación acotada)

Sean $f, g : [a,b] \to \mathbb{R}$ de variación acotada. Entonces:

$cf + g$ es de variación acotada para todo $c \in \mathbb{R}$;
$fg$ es de variación acotada;
si existe $\varepsilon > 0$ con $$ g(x) \geq \varepsilon$para todo$x \in [a,b]$, entonces$1/g$$ es de variación acotada;
$f$ y $g$ son acotadas.

Prueba: Ejercicio.

Lema (Aditividad de la variación sobre subintervalos)

Sea $f : [a,b] \to \mathbb{R}$ de variación acotada y $a < c < b$. Entonces

\[\operatorname{Var}(f, [a,b]) = \operatorname{Var}(f, [a,c]) + \operatorname{Var}(f, [c,b]).\]

Prueba: ($\leq$). Sea $\Gamma = \{a = x_{0} < \dots < x_{n} = b\}$ y sea $\Gamma' = \Gamma \cup \{c\}$, con $x_{m_{0}} \leq c < x_{m_{0}+1}$. Refinar añadiendo $c$ no disminuye la suma de incrementos:

\[S(f, \Gamma) \leq S(f, \Gamma') = S(f, \Gamma_{1}) + S(f, \Gamma_{2}),\]

donde $\Gamma_{1} = (\Gamma' \cap [a,c]) \cup \{c\}$ y $\Gamma_{2} = \{c\} \cup (\Gamma' \cap [c,b])$ son particiones de $[a,c]$ y $[c,b]$ respectivamente. Luego $S(f, \Gamma) \leq \operatorname{Var}(f, [a,c]) + \operatorname{Var}(f, [c,b])$, y tomando supremo sobre $\Gamma$,

\[\operatorname{Var}(f, [a,b]) \leq \operatorname{Var}(f, [a,c]) + \operatorname{Var}(f, [c,b]).\]

($\geq$). Si $\Gamma_{1}$ y $\Gamma_{2}$ son particiones de $[a,c]$ y $[c,b]$, entonces $\Gamma = \Gamma_{1} \cup \Gamma_{2}$ es una partición de $[a,b]$ y $S(f, \Gamma_{1}) + S(f, \Gamma_{2}) = S(f, \Gamma) \leq \operatorname{Var}(f, [a,b])$. Tomando supremo primero en $\Gamma_{1}$ y luego en $\Gamma_{2}$,

\[\operatorname{Var}(f, [a,c]) + \operatorname{Var}(f, [c,b]) \leq \operatorname{Var}(f, [a,b]).\]

La descomposición de Jordan

Notación (Parte positiva y negativa; variaciones positiva y negativa)

Para $x \in \mathbb{R}$ se define $x^{+} = \max\{x, 0\}$ y $x^{-} = \max\{-x, 0\}$; ambas son no negativas y

\[x^{+} + x^{-} = |x|, \qquad x^{+} - x^{-} = x.\]

Dada $f : [a,b] \to \mathbb{R}$ y una partición $\Gamma = \{a = t_{0} < \dots < t_{n} = b\}$, se definen

\[P(f, \Gamma) = \sum_{i=0}^{n-1} \big(f(t_{i+1}) - f(t_{i})\big)^{+}, \qquad N(f, \Gamma) = \sum_{i=0}^{n-1} \big(f(t_{i+1}) - f(t_{i})\big)^{-},\]

y las variaciones positiva y negativa $P(f, [a,b]) = \sup_{\Gamma} P(f, \Gamma)$, $N(f, [a,b]) = \sup_{\Gamma} N(f, \Gamma)$.

Lema (Relación entre variación total y variaciones positiva y negativa)

Sea $f : [a,b] \to \mathbb{R}$ de variación acotada. Entonces

\[P(f, [a,b]) - N(f, [a,b]) = f(b) - f(a), \qquad P(f, [a,b]) + N(f, [a,b]) = \operatorname{Var}(f, [a,b]).\]

Equivalentemente,

\[P(f, [a,b]) = \tfrac{1}{2}\big(\operatorname{Var}(f, [a,b]) + f(b) - f(a)\big), \quad N(f, [a,b]) = \tfrac{1}{2}\big(\operatorname{Var}(f, [a,b]) - f(b) + f(a)\big).\]

Prueba: Para cada partición $\Gamma$, usando $$x^{+} + x^{-} =

$y$x^{+} - x^{-} = x$$ sobre cada incremento,

\[P(f, \Gamma) + N(f, \Gamma) = S(f, \Gamma), \qquad P(f, \Gamma) - N(f, \Gamma) = \sum_{i=0}^{n-1}\big(f(t_{i+1}) - f(t_{i})\big) = f(b) - f(a).\]

De la segunda identidad, $f(a) + P(f, \Gamma) = f(b) + N(f, \Gamma)$; como el lado izquierdo y el derecho difieren en la constante $f(b) - f(a)$, tomar supremo en $\Gamma$ da $f(a) + P(f, [a,b]) = f(b) + N(f, [a,b])$, esto es, $P(f, [a,b]) - N(f, [a,b]) = f(b) - f(a)$. Además, de $P(f,\Gamma) - N(f,\Gamma) = f(b) - f(a)$ se obtiene $S(f, \Gamma) = 2P(f, \Gamma) - (f(b) - f(a))$; tomando supremo,

\[\operatorname{Var}(f, [a,b]) = 2P(f, [a,b]) - (f(b) - f(a)),\]

y combinando con $P - N = f(b) - f(a)$ resultan $P + N = \operatorname{Var}(f, [a,b])$ y las fórmulas cerradas para $P$ y $N$.

Teorema (Caracterización de Jordan de la variación acotada)

Una función $f : [a,b] \to \mathbb{R}$ es de variación acotada si y sólo si $f$ es diferencia de dos funciones crecientes. Las funciones pueden tomarse, además, no negativas.

Prueba: ($\Rightarrow$). Defina $P(x) = P(f, [a,x])$ y $N(x) = N(f, [a,x])$ (con $P(a) = N(a) = 0$). Por el lema anterior aplicado a $[a,x]$,

\[f(x) - f(a) = P(x) - N(x), \qquad \text{es decir} \qquad f(x) = \big(f(a) + P(x)\big) - N(x).\]

Por la monotonía de la variación sobre subintervalos, $P$ y $N$ son crecientes y no negativas. Eligiendo una constante $c \geq \max\{0, -f(a)\}$, las funciones $g = c + f(a) + P$ y $h = c + N$ son crecientes, no negativas y $f = g - h$.

($\Leftarrow$). Si $f = g - h$ con $g, h$ crecientes, entonces $g$ y $h$ son de variación acotada (toda función monótona lo es) y, por el lema de propiedades algebraicas, $f = g - h$ también lo es.

Discontinuidades y refinamiento de particiones

Teorema (Las funciones de variación acotada tienen discontinuidades a lo sumo contables)

Sea $f : [a,b] \to \mathbb{R}$ de variación acotada. Entonces $f$ tiene a lo sumo un número contable de discontinuidades, y cada una es de salto o removible (esto es, existen los límites laterales $f(x^{+})$ y $f(x^{-})$ en todo punto).

Prueba: Por la caracterización de Jordan, $f = f_{1} - f_{2}$ con $f_{1}, f_{2}$ crecientes; basta probar el enunciado para una función creciente $g$, pues la unión de dos conjuntos contables es contable y los límites laterales de $g$ existen por monotonía. Para $k \geq 1$ sea

\[D_{k} = \big\{ x \in [a,b] : g(x^{+}) - g(x^{-}) \geq \tfrac{1}{k}\big\}.\]

Si $x_{0} < x_{1} < \dots < x_{m}$ son puntos de $D_{k}$, se pueden intercalar $y_{i}, z_{i}$ con $y_{i} < x_{i} < z_{i} = y_{i+1}$, de modo que los saltos en los $x_{i}$ quedan dominados por incrementos disjuntos de $g$:

\[\frac{m+1}{k} \leq \sum_{i=0}^{m} \big(g(z_{i}) - g(y_{i})\big) \leq g(b) - g(a).\]

Por tanto $D_{k}$ es finito, con a lo sumo $k\,(g(b) - g(a))$ elementos. El conjunto de discontinuidades de $g$ es $\bigcup_{k \geq 1} D_{k}$, unión contable de conjuntos finitos, luego contable.

Teorema (Aproximación de la variación total por particiones finas)

Sea $f : [a,b] \to \mathbb{R}$ continua y de variación acotada, y sea $V = \operatorname{Var}(f, [a,b])$. Para todo $M < V$ existe $\delta > 0$ tal que

\[M < S(f, \Gamma) \leq V \qquad \text{para toda partición } \Gamma \text{ con } |\Gamma| < \delta,\]

donde $$

\Gamma

$denota la norma (mayor longitud de subintervalo) de$\Gamma$$.

Prueba: La cota $S(f, \Gamma) \leq V$ es la definición de $V$. Fije $\mu > 0$ con $M + \mu < V$ y una partición $\Gamma_{1} = \{a = \tilde{x}_{0} < \dots < \tilde{x}_{k} = b\}$ tal que $M + \mu < S(f, \Gamma_{1})$. Como $f$ es uniformemente continua, existe $\delta_{1} > 0$ con

\[|x - y| < \delta_{1} \implies |f(x) - f(y)| < \frac{\mu}{2(k+1)}.\]

Sea $$\gamma = \min_{0 \leq j \leq k-1}

\tilde{x}{j+1} - \tilde{x}{j}

$y tome cualquier$\Gamma$con$

\Gamma

< \min{\delta_{1}, \gamma}$. Entonces cada subintervalo de$\Gamma$contiene a lo sumo un punto de$\Gamma_{1}$. Sea$\Gamma_{2} = \Gamma \cup \Gamma_{1}$; al pasar de$\Gamma$a$\Gamma_{2}$se insertan a lo sumo$k+1$puntos, y cada inserción de un punto$\tilde{x}$en un subintervalo$[x_{j-1}, x_{j}]$reemplaza$

f(x_{j}) - f(x_{j-1})

$por$

f(x_{j}) - f(\tilde{x})

f(\tilde{x}) - f(x_{j-1})

$, aumentando la suma en a lo sumo$2\cdot \frac{\mu}{2(k+1)}$$. Por tanto

\[S(f, \Gamma_{2}) \leq S(f, \Gamma) + (k+1)\cdot \frac{2\mu}{2(k+1)} = S(f, \Gamma) + \mu.\]

Como $\Gamma_{2}$ refina a $\Gamma_{1}$, $S(f, \Gamma_{1}) \leq S(f, \Gamma_{2})$, de donde

\[M < S(f, \Gamma_{1}) - \mu \leq S(f, \Gamma_{2}) - \mu \leq S(f, \Gamma).\]

Corolario (Variación total y derivada)

Sea $f : [a,b] \to \mathbb{R}$ con $f'$ continua en $[a,b]$. Entonces

\[\operatorname{Var}(f, [a,b]) = \int_{a}^{b} |f'(x)|\,dx, \qquad P(f, [a,b]) = \int_{a}^{b} \big(f'(x)\big)^{+} dx, \qquad N(f, [a,b]) = \int_{a}^{b} \big(f'(x)\big)^{-} dx.\]

Prueba: Ejercicio.