Funciones medibles

Definición y equivalencias

Definición (Función medible)

Sea \(f : E \to \overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{\pm\infty\}\). Decimos que \(f\) es medible si para todo \(a \in \mathbb{R}\)

\[\{f > a\} := \{x \in E : f(x) > a\} \in \mathcal{M}.\]

Como \(E = \bigcup_{k=1}^{\infty}\{f > -k\} \cup \{f = -\infty\}\), si \(f\) es medible entonces \(E\) es medible si y sólo si \(\{f = -\infty\}\) es medible. En lo que sigue se supone que \(E\) es medible.

Ejemplo (Funciones continuas e indicadoras)

1. Si \(f : \mathbb{R}^{d} \to \mathbb{R}\) es continua, \(\{f > a\} = f^{-1}((a, \infty))\) es abierto, luego medible; toda función continua es medible.
2. Si \(f = \mathbf{1}_{A}\) con \(A\) medible, entonces \(\{f > a\}\) vale \(E\) si \(a < 0\), \(A\) si \(0 \leq a < 1\) y \(\emptyset\) si \(a \geq 1\); en todos los casos es medible.

Teorema (Condiciones equivalentes de medibilidad)

Sea \(f : E \to \overline{\mathbb{R}}\) con \(E\) medible. Las siguientes condiciones, para todo \(a \in \mathbb{R}\), son equivalentes:

\[\text{(i) } \{f > a\} \in \mathcal{M}, \quad \text{(ii) } \{f < a\} \in \mathcal{M}, \quad \text{(iii) } \{f \leq a\} \in \mathcal{M}, \quad \text{(iv) } \{f \geq a\} \in \mathcal{M}.\]

Prueba: \(\{f \leq a\} = \{f > a\}^{c}\) y \(\{f < a\} = \{f \geq a\}^{c}\), de modo que (i)\(\Leftrightarrow\)(iii) y (ii)\(\Leftrightarrow\)(iv) por cerradura bajo complementos. Además

\[\{f \geq a\} = \bigcap_{n=1}^{\infty}\Big\{f > a - \tfrac{1}{n}\Big\}, \qquad \{f > a\} = \bigcup_{n=1}^{\infty}\Big\{f \geq a + \tfrac{1}{n}\Big\},\]

lo que muestra (i)\(\Rightarrow\)(iv) y (iv)\(\Rightarrow\)(i) por cerradura bajo intersecciones y uniones numerables. Las cuatro condiciones son, pues, equivalentes.

Nota (Otros conjuntos medibles asociados a \(f\))

Si \(f : E \to \overline{\mathbb{R}}\) es medible, son medibles

\[\{f > -\infty\} = \bigcup_{k}\{f > -k\}, \quad \{f < \infty\} = \bigcup_{k}\{f \leq k\}, \quad \{f = \infty\}, \quad \{a \leq f \leq b\}, \quad \{a \leq f < b\},\]

por ser intersecciones y uniones numerables de los conjuntos \(\{f > a\}\), \(\{f \leq a\}\), etc.

Definición (Función Borel medible)

\(f : E \to \mathbb{R}\) es Borel medible si \(E \in \mathcal{B}\) y \(\{f > a\} \in \mathcal{B}\) para todo \(a \in \mathbb{R}\).

Teorema (Medibilidad por preimágenes de abiertos)

Sea \(f : E \to \mathbb{R}\). Entonces \(f\) es medible si y sólo si \(f^{-1}(G)\) es medible para todo abierto \(G \subseteq \mathbb{R}\).

Prueba: Si las preimágenes de abiertos son medibles, tomando \(G = (a, \infty)\) se obtiene \(\{f > a\} = f^{-1}(G)\) medible, luego \(f\) es medible. Recíprocamente, sea \(f\) medible y \(G \subseteq \mathbb{R}\) abierto; escriba \(G = \bigcup_{k}(a_{k}, b_{k})\). Como

\[f^{-1}\big((a_{k}, b_{k})\big) = \{a_{k} < f\} \cap \{f < b_{k}\}\]

es medible, \(f^{-1}(G) = \bigcup_{k} f^{-1}\big((a_{k}, b_{k})\big)\) es unión numerable de medibles, luego medible.

Composición, igualdad casi por doquier y operaciones

Lema (Composición de una medible con una continua)

Sea \(f : E \to \mathbb{R}\) medible y \(\phi : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) continua. Entonces \(\phi \circ f\) es medible.

Prueba: Sea \(G \subseteq \mathbb{R}\) abierto. Entonces \((\phi \circ f)^{-1}(G) = f^{-1}\big(\phi^{-1}(G)\big)\). Como \(\phi\) es continua, \(\phi^{-1}(G)\) es abierto, y como \(f\) es medible, \(f^{-1}\big(\phi^{-1}(G)\big)\) es medible. Por el teorema anterior, \(\phi \circ f\) es medible.

Nota (Consecuencias inmediatas)

Si \(f\) es medible, entonces $$

f

\(,\)

f

^{p}\((\)p > 0\(),\)e^{cf}\((\)c \in \mathbb{R}$$) y las partes positiva y negativa

\[f^{+} = \max\{f, 0\}, \qquad f^{-} = \max\{-f, 0\}\]

son medibles. (Aquí \(f^{+}, f^{-} \geq 0\), \(f = f^{+} - f^{-}\) y $$

f

= f^{+} + f^{-}$$, en concordancia con la notación de partes positiva y negativa de un número real.)

Definición (Casi por doquier)

Una propiedad se cumple casi por doquier (c.p.d.) si se cumple salvo en un conjunto de medida cero.

Lema (La igualdad casi por doquier preserva la medibilidad)

Sean \(f, g : E \to \mathbb{R}\) con \(f\) medible y \(g = f\) casi por doquier. Entonces \(g\) es medible.

Prueba: Sea \(a \in \mathbb{R}\). Descomponiendo según donde \(f\) y \(g\) coinciden,

\[\{g > a\} = \big(\{g > a\} \cap \{f = g\}\big) \cup \big(\{g > a\} \cap \{f \neq g\}\big).\]

El primer conjunto es \(\{f > a\} \cap \{f = g\}\), medible (intersección de medibles, salvo el conjunto \(\{f \neq g\}\) de medida cero que es medible). El segundo está contenido en \(\{f \neq g\}\), de medida cero, luego medible. Por tanto \(\{g > a\}\) es unión de medibles y \(g\) es medible.

Lema (Composición con una continua para funciones finitas c.p.d.)

Sea \(f : E \to \overline{\mathbb{R}}\) medible con \(m(\{f = \infty\}) = m(\{f = -\infty\}) = 0\). Entonces \(\phi \circ f\) es medible para toda \(\phi : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) continua.

Prueba: Sea \(F = \{x \in E : f(x) \in \mathbb{R}\}\) y defina \(f_{1} = f\) en \(F\) y \(f_{1} = 0\) en \(E \setminus F\). Como \(E \setminus F = \{f = \infty\} \cup \{f = -\infty\}\) tiene medida cero, \(f_{1}\) es medible y \(f_{1} = f\) casi por doquier. Por el lema de composición, \(\phi \circ f_{1}\) es medible, y como \(\phi \circ f_{1} = \phi \circ f\) c.p.d., el lema anterior da que \(\phi \circ f\) es medible.

Lema (El conjunto donde una medible supera a otra es medible)

Sean \(f, g : E \to \mathbb{R}\) medibles. Entonces \(\{f > g\}\) es medible.

Prueba: Sea \(\{q_{n}\}_{n=1}^{\infty}\) una enumeración de \(\mathbb{Q}\). Como \(f(x) > g(x)\) si y sólo si existe un racional estrictamente entre \(g(x)\) y \(f(x)\),

\[\{f > g\} = \bigcup_{n=1}^{\infty}\big(\{f > q_{n}\} \cap \{q_{n} > g\}\big),\]

unión numerable de intersecciones de medibles, luego medible.

Lema (Estructura de espacio vectorial de las funciones medibles)

Sean \(f, g : E \to \mathbb{R}\) medibles. Entonces:

1. \(f + \lambda\) y \(\lambda f\) son medibles para todo \(\lambda \in \mathbb{R}\);
2. \(f + g\) es medible.

Prueba: El inciso (i) queda como ejercicio (directo desde la definición: \(\{f + \lambda > a\} = \{f > a - \lambda\}\) y, para \(\lambda > 0\), \(\{\lambda f > a\} = \{f > a/\lambda\}\), etc.). Para (ii), \(g\) y \(\lambda - g\) son medibles por (i), y por el lema anterior aplicado a \(f\) y \(\lambda - g\),

\[\{f + g > \lambda\} = \{f > \lambda - g\}\]

es medible para todo \(\lambda \in \mathbb{R}\), luego \(f + g\) es medible.

Ejercicio (El caso de valores infinitos en la suma)

El lema anterior sigue valiendo para \(f, g : E \to \overline{\mathbb{R}}\) siempre que \(f + g\) esté bien definida (es decir, evitando la indeterminación \(\infty - \infty\)). Pruebe esta variante.

Corolario (Producto y cociente de funciones medibles)

Sean \(f, g : E \to \overline{\mathbb{R}}\) medibles. Entonces \(fg\) es medible (con la convención \(0 \cdot (\pm\infty) = 0\), de modo que el producto siempre está definido), y \(f/g\) es medible si \(g \neq 0\).

Prueba: Sea \(F = \{f \in \mathbb{R}\} \cap \{g \in \mathbb{R}\}\). Para \(a \geq 0\),

\[\{fg > a\} = \big(\{fg > a\} \cap F\big) \cup \big(\{f = \infty\} \cap \{g > 0\}\big) \cup \big(\{g = \infty\} \cap \{f > 0\}\big) \cup \big(\{f = -\infty\} \cap \{g < 0\}\big) \cup \big(\{g = -\infty\} \cap \{f < 0\}\big),\]

y todos los conjuntos del lado derecho son medibles salvo, a priori, el primero. En \(F\) vale la identidad de polarización

\[fg = \tfrac{1}{4}\big((f + g)^{2} - (f - g)^{2}\big);\]

como \(f + g\) y \(f - g\) son medibles (lema anterior) y el cuadrado es composición con la continua \(t \mapsto t^{2}\), \(fg\) es medible en \(F\), de modo que \(\{fg > a\} \cap F\) es medible. El tratamiento de \(a < 0\) y del cociente \(f/g\) (componiendo con \(t \mapsto 1/t\) donde \(g \neq 0\)) queda como ejercicio.

Sucesiones de funciones medibles y funciones simples

Teorema (Sup, inf, límite superior e inferior de funciones medibles)

Sea \(\{f_{k}\}_{k=1}^{\infty}\) una sucesión de funciones medibles \(E \to \overline{\mathbb{R}}\). Entonces \(\sup_{k} f_{k}\), \(\inf_{k} f_{k}\), \(\limsup_{k} f_{k}\) y \(\liminf_{k} f_{k}\) son medibles.

Prueba: Para todo \(a \in \mathbb{R}\),

\[\Big\{\sup_{k \geq 1} f_{k} > a\Big\} = \bigcup_{k=1}^{\infty}\{f_{k} > a\}\]

es medible, luego \(\sup_{k} f_{k}\) es medible. Las restantes se reducen a esta:

\[\inf_{k} f_{k} = -\sup_{k}(-f_{k}), \qquad \limsup_{k} f_{k} = \inf_{k \geq 1}\sup_{\ell \geq k} f_{\ell}, \qquad \liminf_{k} f_{k} = \sup_{k \geq 1}\inf_{\ell \geq k} f_{\ell}.\]

Definición (Función simple)

Una función \(\phi\) es simple si existen conjuntos medibles \(A_{1}, \dots, A_{m}\) y reales \(a_{1}, \dots, a_{m}\) con

\[\phi = \sum_{k=1}^{m} a_{k}\, \mathbf{1}_{A_{k}}.\]

Ejercicio (Forma canónica de una función simple)

Pruebe que toda función simple \(\phi\) admite una representación \(\phi = \sum_{k=1}^{\ell} b_{k}\, \mathbf{1}_{B_{k}}\) con \(B_{1}, \dots, B_{\ell}\) medibles disjuntos dos a dos y \(b_{1}, \dots, b_{\ell}\) distintos dos a dos.

Nota (Aproximación diádica de una función no negativa)

Sea \(f : E \to [0, \infty]\). Para \(k \in \mathbb{N}\) defina

\[f_{k} = k\,\mathbf{1}_{B_{k}} + \sum_{j=1}^{k 2^{k}} \frac{j-1}{2^{k}}\,\mathbf{1}_{A_{k}^{j}}, \qquad B_{k} = f^{-1}\big([k, \infty]\big), \quad A_{k}^{j} = f^{-1}\Big(\Big[\tfrac{j-1}{2^{k}}, \tfrac{j}{2^{k}}\Big)\Big),\]

es decir, \(f_{k}(x) = \tfrac{j-1}{2^{k}}\) si \(\tfrac{j-1}{2^{k}} \leq f(x) < \tfrac{j}{2^{k}}\) y \(f_{k}(x) = k\) si \(f(x) \geq k\). Si \(0 \leq f(x) < k\), entonces \(0 \leq f(x) - f_{k}(x) < \tfrac{1}{2^{k}}\), de modo que \(f_{k}(x) \to f(x)\) cuando \(f(x) < \infty\); y si \(f(x) = \infty\), \(f_{k}(x) = k \to \infty\). Además \(f_{k} \leq f_{k+1}\): al pasar de \(k\) a \(k+1\) cada intervalo diádico se parte en dos, y el valor de \(f_{k+1}\) es igual o una unidad diádica mayor que el de \(f_{k}\). Si \(f\) es medible, los \(A_{k}^{j}\) y \(B_{k}\) son medibles y cada \(f_{k}\) es simple y medible.

Teorema (Aproximación por funciones simples)

Sea \(f : E \to \overline{\mathbb{R}}\). Entonces existe una sucesión de funciones simples \(\psi_{k}\) con \(\psi_{k} \to f\) puntualmente. Si \(f \geq 0\), la sucesión puede tomarse creciente; si \(f\) es medible, los \(\psi_{k}\) pueden tomarse medibles.

Prueba: Para \(f \geq 0\) la sucesión diádica \(\psi_{k} = f_{k}\) de la nota anterior es simple, creciente y converge puntualmente a \(f\) (y medible si \(f\) lo es). Para \(f\) de signo arbitrario se aplica lo anterior a \(f^{+}\) y \(f^{-}\) y se toma \(\psi_{k} = (f^{+})_{k} - (f^{-})_{k}\); los detalles de este caso quedan como ejercicio.