Cerrados, complementos y la sigma-álgebra de los medibles
Ejercicio (Descomposición de un abierto en cajas casi disjuntas)
Pruebe que todo abierto \(G \subseteq \mathbb{R}^{d}\) se escribe como \(G = \bigcup_{k=1}^{\infty} I_{k}\), con \(I_{k} = [a_{1}^{k}, b_{1}^{k}] \times \dots \times [a_{d}^{k}, b_{d}^{k}]\) cajas cerradas de interiores disjuntos dos a dos.
Teorema (Todo conjunto cerrado es medible)
Sea \(F \subseteq \mathbb{R}^{d}\) cerrado. Entonces \(F\) es medible.
Prueba: Caso compacto. Suponga primero \(F\) compacto, de modo que \(m_{e}(F) < \infty\). Dado \(\varepsilon > 0\), por aproximación existe un abierto \(G \supseteq F\) con \(m_{e}(G) \leq m_{e}(F) + \tfrac{\varepsilon}{2}\). El abierto \(G \setminus F\) se descompone como unión numerable de cajas cerradas \(\{I_{k}\}\) de interiores disjuntos. Para cada \(\ell\), los compactos disjuntos \(F\) y \(\bigcup_{k=1}^{\ell} I_{k}\) están a distancia positiva, luego por aditividad a distancia positiva
\[m_{e}(F) + m_{e}\Big(\bigcup_{k=1}^{\ell} I_{k}\Big) = m_{e}\Big(F \cup \bigcup_{k=1}^{\ell} I_{k}\Big) \leq m_{e}(G),\]de donde \(\sum_{k=1}^{\ell} m_{e}(I_{k}) = m_{e}\big(\bigcup_{k=1}^{\ell} I_{k}\big) \leq m_{e}(G) - m_{e}(F) \leq \tfrac{\varepsilon}{2}\) para todo \(\ell\). Por tanto \(\sum_{k=1}^{\infty} m_{e}(I_{k}) \leq \tfrac{\varepsilon}{2}\) y, por subaditividad, \(m_{e}(G \setminus F) \leq \sum_{k} m_{e}(I_{k}) < \varepsilon\). Así \(F\) es medible.
Caso general. Si \(F\) es cerrado cualquiera, \(F = \bigcup_{k=1}^{\infty} F_{k}\) con \(F_{k} = F \cap \overline{B(0,k)}\) compacto; cada \(F_{k}\) es medible y, por ser unión numerable de medibles, \(F\) es medible.
Teorema (El complemento de un conjunto medible es medible)
Si \(E \subseteq \mathbb{R}^{d}\) es medible, entonces \(E^{c}\) es medible.
Prueba: Para cada \(k \geq 1\) existe un abierto \(G_{k} \supseteq E\) con \(m_{e}(G_{k} \setminus E) < \tfrac{1}{k}\). Cada \(G_{k}^{c}\) es cerrado, luego medible, y \(H = \bigcup_{k} G_{k}^{c}\) es medible con
\[H = \bigcup_{k} G_{k}^{c} = \Big(\bigcap_{k} G_{k}\Big)^{c} \subseteq E^{c}.\]Además \(E^{c} \setminus H \subseteq E^{c} \setminus G_{k}^{c} = E^{c} \cap G_{k} = G_{k} \setminus E\), de modo que \(m_{e}(E^{c} \setminus H) \leq \tfrac{1}{k}\) para todo \(k\); luego \(Z = E^{c} \setminus H\) tiene medida exterior cero (y es medible). Finalmente \(E^{c} = H \cup Z\) es unión de medibles, luego medible.
Definición (\(\sigma\)-álgebra)
Sea \(\Omega\) un conjunto. Una \(\sigma\)-álgebra \(\mathcal{F} \subseteq 2^{\Omega}\) satisface:
- \(\Omega \in \mathcal{F}\);
- si \(E \in \mathcal{F}\), entonces \(E^{c} \in \mathcal{F}\);
- si \(\{F_{k}\}_{k=1}^{\infty} \subseteq \mathcal{F}\), entonces \(\bigcup_{k} F_{k} \in \mathcal{F}\).
Lema (Cerradura de una \(\sigma\)-álgebra bajo intersecciones y diferencias)
Sea \(\mathcal{F}\) una \(\sigma\)-álgebra y \(\{E_{k}\}_{k=1}^{\infty} \subseteq \mathcal{F}\). Entonces \(\bigcap_{k} E_{k} \in \mathcal{F}\), \(E_{1} \setminus E_{2} \in \mathcal{F}\) y \(\emptyset \in \mathcal{F}\).
Prueba: Ejercicio.
Lema (Los conjuntos medibles forman una \(\sigma\)-álgebra)
La familia \(\mathcal{M} = \{E \subseteq \mathbb{R}^{d} : E \text{ medible}\}\) es una \(\sigma\)-álgebra.
Prueba: \(\mathbb{R}^{d}\) es abierto, luego medible. La cerradura bajo complemento y bajo unión numerable son los dos teoremas anteriores. Por tanto \(\mathcal{M}\) satisface las tres condiciones; en particular contiene intersecciones numerables y diferencias \(E_{1} \setminus E_{2} = E_{1} \cap E_{2}^{c}\) de medibles.
Definición (\(\sigma\)-álgebra generada)
Dada \(\mathcal{S} \subseteq 2^{\Omega}\), la \(\sigma\)-álgebra generada por \(\mathcal{S}\) es
\[\sigma(\mathcal{S}) = \bigcap_{\substack{\mathcal{F}\ \sigma\text{-álgebra} \\ \mathcal{S} \subseteq \mathcal{F}}} \mathcal{F},\]la menor \(\sigma\)-álgebra que contiene a \(\mathcal{S}\) (la intersección de \(\sigma\)-álgebras es una \(\sigma\)-álgebra).
Borelianos y caracterización por cerrados
Definición (\(\sigma\)-álgebra de Borel)
La \(\sigma\)-álgebra de Borel \(\mathcal{B}\) es la \(\sigma\)-álgebra generada por los abiertos de \(\mathbb{R}^{d}\). Por ser \(\sigma\)-álgebra, \(\mathcal{B}\) contiene a los cerrados, a los conjuntos \(G_{\delta}\) y \(F_{\sigma}\), y \(\mathcal{B} \subseteq \mathcal{M}\).
Lema (Caracterización de la medibilidad por cerrados interiores)
Sea \(E \subseteq \mathbb{R}^{d}\). Entonces \(E\) es medible si y sólo si para todo \(\varepsilon > 0\) existe un cerrado \(F \subseteq E\) con \(m_{e}(E \setminus F) < \varepsilon\).
Prueba: \(E\) es medible si y sólo si \(E^{c}\) lo es. Dado \(\varepsilon > 0\), si \(E^{c}\) es medible existe un abierto \(G \supseteq E^{c}\) con \(m_{e}(G \setminus E^{c}) < \varepsilon\). Tome \(F = G^{c}\), cerrado y \(F \subseteq E\). Entonces
\[m_{e}(E \setminus F) = m_{e}(E \cap F^{c}) = m_{e}(E \cap G) = m_{e}(G \setminus E^{c}) < \varepsilon.\]Recíprocamente, si existen tales cerrados \(F \subseteq E\), entonces sus complementos abiertos \(F^{c} \supseteq E^{c}\) cumplen \(m_{e}(F^{c} \setminus E^{c}) = m_{e}(E \setminus F) < \varepsilon\), de modo que \(E^{c}\) es medible y por tanto \(E\) también.
sigma-aditividad y continuidad de la medida
Teorema (\(\sigma\)-aditividad de la medida de Lebesgue)
Sea \(\{E_{k}\}_{k=1}^{\infty}\) una familia numerable de conjuntos medibles disjuntos dos a dos. Entonces
\[m\left(\bigcup_{k=1}^{\infty} E_{k}\right) = \sum_{k=1}^{\infty} m(E_{k}).\]Prueba: La desigualdad \(\leq\) es la subaditividad. Para \(\geq\), suponga primero cada \(E_{k}\) acotado. Dado \(\varepsilon > 0\), por la caracterización por cerrados existe un cerrado (y acotado, luego compacto) \(F_{k} \subseteq E_{k}\) con \(m(E_{k} \setminus F_{k}) < \varepsilon/2^{k}\). Los \(F_{k}\) son compactos disjuntos, luego a distancia positiva dos a dos, y por aditividad a distancia positiva (e inducción),
\[\sum_{i=1}^{m} m(F_{i}) = m\Big(\bigcup_{i=1}^{m} F_{i}\Big) \leq m\Big(\bigcup_{i=1}^{\infty} E_{i}\Big) \qquad \text{para todo } m,\]de donde \(\sum_{i=1}^{\infty} m(F_{i}) \leq m\big(\bigcup_{i} E_{i}\big)\). Como \(m(E_{k}) \leq m(F_{k}) + \varepsilon/2^{k}\),
\[\sum_{i=1}^{\infty} m(E_{i}) - \varepsilon \leq \sum_{i=1}^{\infty} m(F_{i}) \leq m\Big(\bigcup_{i} E_{i}\Big),\]y haciendo \(\varepsilon \to 0\) se obtiene \(\sum_{i} m(E_{i}) \leq m\big(\bigcup_{i} E_{i}\big)\). El caso general (conjuntos no acotados) se reduce a este partiendo cada \(E_{k}\) en las coronas \(E_{k} \cap (\overline{B(0,n)} \setminus B(0,n-1))\) y queda como ejercicio.
Nota (Monotonía y resta de medidas)
Si \(E_{1} \subseteq E_{2}\) son medibles, entonces \(m(E_{2}) = m(E_{1}) + m(E_{2} \setminus E_{1})\); en particular \(m(E_{1}) \leq m(E_{2})\), y si \(m(E_{1}) < \infty\),
\[m(E_{2} \setminus E_{1}) = m(E_{2}) - m(E_{1}).\]Teorema (Continuidad de la medida)
Sea \(\{E_{k}\}_{k=1}^{\infty}\) una sucesión de conjuntos medibles.
- Si \(E_{i} \subseteq E_{i+1}\) para todo \(i\), entonces \(\displaystyle m\Big(\bigcup_{i=1}^{\infty} E_{i}\Big) = \lim_{k \to \infty} m(E_{k})\).
- Si \(E_{i+1} \subseteq E_{i}\) para todo \(i\) y existe \(i_{0}\) con \(m(E_{i_{0}}) < \infty\), entonces \(\displaystyle m\Big(\bigcap_{i=1}^{\infty} E_{i}\Big) = \lim_{i \to \infty} m(E_{i})\).
Prueba: (i). Con \(E_{0} = \emptyset\), los conjuntos \(E_{i} \setminus E_{i-1}\) son medibles, disjuntos y \(\bigcup_{i} E_{i} = \bigsqcup_{i} (E_{i} \setminus E_{i-1})\). Por \(\sigma\)-aditividad y telescopaje,
\[m\Big(\bigcup_{i} E_{i}\Big) = \sum_{i=1}^{\infty} m(E_{i} \setminus E_{i-1}) = \lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^{n}\big(m(E_{i}) - m(E_{i-1})\big) = \lim_{n \to \infty} m(E_{n}),\]donde el telescopaje es válido cuando los \(m(E_{i})\) son finitos; si algún \(m(E_{n}) = \infty\), ambos lados valen \(\infty\) por monotonía.
(ii). Descartando los primeros términos se puede suponer \(i_{0} = 1\), de modo que \(m(E_{i}) \leq m(E_{1}) < \infty\) para todo \(i\). Sea \(E = \bigcap_{i} E_{i}\). Entonces \(E_{1} = E \sqcup \bigsqcup_{i \geq 1}(E_{i} \setminus E_{i+1})\), así que
\[m(E_{1}) = m(E) + \sum_{i=1}^{\infty}\big(m(E_{i}) - m(E_{i+1})\big) = m(E) + \lim_{n \to \infty}\big(m(E_{1}) - m(E_{n})\big) = m(E) + m(E_{1}) - \lim_{n} m(E_{n}).\]Como \(m(E_{1}) < \infty\) se cancela, y \(m(E) = \lim_{n} m(E_{n})\).
Ejemplo (La finitud es necesaria en la continuidad por arriba)
La hipótesis \(m(E_{i_{0}}) < \infty\) no puede omitirse: con \(E_{k} = [-k, k]^{c} \subseteq \mathbb{R}\) se tiene \(E_{k+1} \subseteq E_{k}\), \(m(E_{k}) = \infty\) para todo \(k\), pero \(\bigcap_{k} E_{k} = \emptyset\), de modo que \(m\big(\bigcap_{k} E_{k}\big) = 0 \neq \infty = \lim_{k} m(E_{k})\).
Teorema (Continuidad exterior por abajo para conjuntos arbitrarios)
Si \(E_{k} \subseteq E_{k+1} \subseteq \mathbb{R}^{d}\) para todo \(k\) (sin suponerlos medibles), entonces
\[m_{e}\left(\bigcup_{k=1}^{\infty} E_{k}\right) = \lim_{k \to \infty} m_{e}(E_{k}).\]Prueba: Para cada \(k\) tome un conjunto \(G_{\delta}\), \(G_{k} \supseteq E_{k}\), con \(m_{e}(E_{k}) = m(G_{k})\). Los \(G_{k}\) no tienen por qué estar encajados, así que se define \(V_{k} = \bigcap_{j=k}^{\infty} G_{j}\), medible y con \(V_{k} \subseteq V_{k+1}\). Como \(E_{k} \subseteq E_{k+\ell} \subseteq G_{k+\ell}\) para todo \(\ell \geq 0\), resulta \(E_{k} \subseteq \bigcap_{j \geq k} G_{j} = V_{k}\). Por monotonía, \(m_{e}(E_{k}) \leq m(V_{k}) \leq m(G_{k}) = m_{e}(E_{k})\), luego \(m(V_{k}) = m_{e}(E_{k})\). Finalmente, usando \(\bigcup_{k} E_{k} \subseteq \bigcup_{k} V_{k}\) y la continuidad por abajo (para los medibles \(V_{k}\)),
\[m_{e}\Big(\bigcup_{k} E_{k}\Big) \leq m\Big(\bigcup_{k} V_{k}\Big) = \lim_{k \to \infty} m(V_{k}) = \lim_{k \to \infty} m_{e}(E_{k}).\]La desigualdad opuesta es la monotonía: \(m_{e}(E_{m}) \leq m_{e}\big(\bigcup_{k} E_{k}\big)\) para todo \(m\), luego \(\lim_{m} m_{e}(E_{m}) \leq m_{e}\big(\bigcup_{k} E_{k}\big)\).
Caracterizaciones de la medibilidad
Teorema (Caracterización por \(G_{\delta}\) y \(F_{\sigma}\) módulo medida cero)
Sea \(E \subseteq \mathbb{R}^{d}\). Las siguientes condiciones son equivalentes:
- \(E\) es medible;
- \(E = H \setminus Z\), donde \(H\) es de tipo \(G_{\delta}\) y \(m_{e}(Z) = 0\);
- \(E = H \cup Z\), donde \(H\) es de tipo \(F_{\sigma}\) y \(m_{e}(Z) = 0\).
Prueba: \((ii) \Rightarrow (i)\) y \((iii) \Rightarrow (i)\) son inmediatas, pues los conjuntos \(G_{\delta}\) y \(F_{\sigma}\) son medibles y los de medida exterior cero también, y \(\mathcal{M}\) es cerrada bajo diferencias y uniones. Probamos \((i) \Rightarrow (ii)\). Si \(E\) es medible, para cada \(k\) existe un abierto \(G_{k} \supseteq E\) con \(m_{e}(G_{k} \setminus E) < \tfrac{1}{k}\). Sea \(H = \bigcap_{k} G_{k}\), de tipo \(G_{\delta}\) con \(E \subseteq H\). Entonces \(m_{e}(H \setminus E) \leq m_{e}(G_{k} \setminus E) < \tfrac{1}{k}\) para todo \(k\), luego \(m_{e}(H \setminus E) = 0\) y \(E = H \setminus Z\) con \(Z = H \setminus E\). La implicación \((i) \Rightarrow (iii)\) es análoga (usando la caracterización por cerrados interiores) y queda como ejercicio.
Ejercicio (Caracterización por casi-uniones de intervalos)
Sea \(E \subseteq \mathbb{R}^{d}\) con \(m_{e}(E) < \infty\). Pruebe que \(E\) es medible si y sólo si para todo \(\varepsilon > 0\) existen \(\widetilde{S}, N_{1}, N_{2}\) tales que \(E = (\widetilde{S} \cup N_{1}) \setminus N_{2}\), con \(\widetilde{S} = \bigcup_{k} I_{k}\) (\(I_{k} \in S_{d}\)), \(m_{e}(N_{1}) < \varepsilon\) y \(m_{e}(N_{2}) < \varepsilon\).
Teorema (Criterio de Carathéodory)
\(E \subseteq \mathbb{R}^{d}\) es medible si y sólo si para todo \(A \subseteq \mathbb{R}^{d}\)
\[m_{e}(A) = m_{e}(A \cap E) + m_{e}(A \setminus E).\]Prueba: (\(\Rightarrow\)). Sea \(E\) medible y \(A \subseteq \mathbb{R}^{d}\). Tome un \(G_{\delta}\), \(H \supseteq A\), con \(m_{e}(A) = m(H)\). Como \(H\) y \(E\) son medibles, \(H \cap E\) y \(H \setminus E\) son medibles, disjuntos y de unión \(H\), de modo que \(m(H) = m(H \cap E) + m(H \setminus E)\). Usando \(A \cap E \subseteq H \cap E\) y \(A \setminus E \subseteq H \setminus E\),
\[m_{e}(A) = m(H) = m(H \cap E) + m(H \setminus E) \geq m_{e}(A \cap E) + m_{e}(A \setminus E).\]La desigualdad opuesta es la subaditividad, así que hay igualdad.
(\(\Leftarrow\)). Suponga que la identidad vale para todo \(A\). Si \(m_{e}(E) < \infty\), tome un \(G_{\delta}\), \(H \supseteq E\), con \(m(H) = m_{e}(E)\) y aplique la hipótesis a \(A = H\): como \(E \subseteq H\), \(H \cap E = E\) y
\[m_{e}(H) = m_{e}(E) + m_{e}(H \setminus E),\]de donde \(m_{e}(H \setminus E) = 0\). Entonces \(H \setminus E\) es medible y \(E = H \setminus (H \setminus E)\) es medible. Si \(m_{e}(E) = \infty\), sea \(E_{k} = E \cap B(0,k)\) y \(H_{k}\) un \(G_{\delta}\) con \(E_{k} \subseteq H_{k}\), \(m(H_{k}) = m_{e}(E_{k})\). Aplicando la hipótesis a \(A = H_{k}\) y usando \(E_{k} \subseteq H_{k} \cap E\),
\[m_{e}(H_{k}) = m_{e}(H_{k} \cap E) + m_{e}(H_{k} \setminus E) \geq m_{e}(E_{k}) + m_{e}(H_{k} \setminus E),\]y como \(m_{e}(H_{k}) = m_{e}(E_{k})\), resulta \(m_{e}(H_{k} \setminus E) = 0\). Con \(H = \bigcup_{k} H_{k}\) (medible, \(E \subseteq H\)) se tiene \(m_{e}(H \setminus E) \leq \sum_{k} m_{e}(H_{k} \setminus E) = 0\), luego \(E = H \setminus Z\) con \(Z = H \setminus E\) de medida cero, y \(E\) es medible.
Corolario (Aditividad respecto de un conjunto medible)
Sea \(E\) medible con \(E \subseteq A \subseteq \mathbb{R}^{d}\). Entonces \(m_{e}(A) = m(E) + m_{e}(A \setminus E)\). Si además \(m(E) < \infty\), entonces \(m_{e}(A \setminus E) = m_{e}(A) - m(E)\).
Prueba: Por el criterio de Carathéodory aplicado a \(A\) y como \(E \subseteq A\) implica \(A \cap E = E\),
\[m_{e}(A) = m_{e}(A \cap E) + m_{e}(A \setminus E) = m(E) + m_{e}(A \setminus E).\]Si \(m(E) < \infty\) se despeja \(m_{e}(A \setminus E) = m_{e}(A) - m(E)\).
Teorema (Envoltura \(G_{\delta}\) que respeta intersecciones con medibles)
Para todo \(E \subseteq \mathbb{R}^{d}\) existe un conjunto \(G_{\delta}\), \(H \supseteq E\), tal que \(m(H \cap M) = m_{e}(E \cap M)\) para todo conjunto medible \(M\).
Prueba: Caso \(m_{e}(E) < \infty\). Sea \(H\) de tipo \(G_{\delta}\) con \(E \subseteq H\) y \(m(H) = m_{e}(E)\). Para \(M\) medible, por Carathéodory (aplicado a \(H\) y a \(E\) respectivamente),
\[m(H) = m(H \cap M) + m(H \setminus M), \qquad m_{e}(E) = m_{e}(E \cap M) + m_{e}(E \setminus M).\]Como \(E \cap M \subseteq H \cap M\) y \(E \setminus M \subseteq H \setminus M\) dan \(m_{e}(E \cap M) \leq m(H \cap M)\) y \(m_{e}(E \setminus M) \leq m(H \setminus M)\), y \(m(H) = m_{e}(E)\), las dos descomposiciones suman lo mismo con cada término dominado: forzosamente \(m(H \cap M) = m_{e}(E \cap M)\).
Caso general. Sea \(E_{k} = E \cap B(0,k)\) y, por el caso anterior, \(G_{k}\) de tipo \(G_{\delta}\) con \(E_{k} \subseteq G_{k}\) y \(m(G_{k} \cap M) = m_{e}(E_{k} \cap M)\) para todo medible \(M\). Poniendo \(H_{k} = \bigcap_{j \geq k} G_{j}\) se obtiene \(E_{k} \subseteq H_{k}\) y \(m_{e}(E_{k} \cap M) = m_{e}(H_{k} \cap M)\). Como \(E_{k} \cap M \uparrow E \cap M\) y \(H_{k} \cap M \uparrow\), la continuidad por abajo da
\[m_{e}(E \cap M) = \lim_{k} m_{e}(E_{k} \cap M) = \lim_{k} m_{e}(H_{k} \cap M) = m_{e}\Big(\bigcup_{k} H_{k} \cap M\Big).\]El conjunto \(\widetilde{H} = \bigcup_{k} H_{k}\) es medible; escribiéndolo como \(\widetilde{H} = H \setminus Z\) con \(H\) de tipo \(G_{\delta}\) y \(m_{e}(Z) = 0\), se concluye \(m_{e}(E \cap M) = m_{e}(\widetilde{H} \cap M) = m(H \cap M)\).
El conjunto de Cantor
Ejemplo (El conjunto de Cantor: cerrado, no numerable y de medida cero)
Sea \(C_{0} = [0,1]\) y, recursivamente, \(C_{k+1}\) el resultado de quitar a cada intervalo de \(C_{k}\) su tercio central abierto; por ejemplo
\[C_{1} = \Big[0, \tfrac{1}{3}\Big] \cup \Big[\tfrac{2}{3}, 1\Big], \qquad C_{2} = \Big[0, \tfrac{1}{9}\Big] \cup \Big[\tfrac{2}{9}, \tfrac{1}{3}\Big] \cup \Big[\tfrac{2}{3}, \tfrac{7}{9}\Big] \cup \Big[\tfrac{8}{9}, 1\Big].\]El conjunto de Cantor es \(C = \bigcap_{k=1}^{\infty} C_{k}\).
Cada \(C_{k}\) es cerrado, luego \(C\) es cerrado y medible. Como en cada paso se conserva \(\tfrac{2}{3}\) de la longitud, \(m(C_{k}) = (\tfrac{2}{3})^{k}\), y al ser \(C_{k+1} \subseteq C_{k}\) con \(m(C_{1}) < \infty\), la continuidad por arriba da
\[m(C) = \lim_{k \to \infty} m(C_{k}) = \lim_{k \to \infty}\Big(\tfrac{2}{3}\Big)^{k} = 0.\]Ejercicio (Caracterización del conjunto de Cantor en base tres)
Para \(x \in [0,1]\) con expansión \(x = \sum_{i=1}^{\infty} n_{i}/3^{i}\), \(n_{i} \in \{0,1,2\}\) (eligiendo, cuando hay dos expansiones, la que evita el dígito \(1\) terminal), pruebe que \(x \in C_{k}\) si y sólo si \(n_{1}, \dots, n_{k} \in \{0, 2\}\); por tanto \(x \in C\) si y sólo si \(n_{i} \in \{0,2\}\) para todo \(i\).
Ejemplo (La función de Cantor y la no numerabilidad de \(C\))
La función de Cantor \(\Phi : C \to [0,1]\), \(\Phi\big(\sum_{i} n_{i}/3^{i}\big) = \sum_{i} \tfrac{n_{i}}{2}\,\tfrac{1}{2^{i}}\) (con \(n_{i} \in \{0,2\}\)), está bien definida y es sobreyectiva sobre \([0,1]\). Como \([0,1]\) es no numerable, \(C\) también lo es. Así, \(C\) es un conjunto cerrado, no numerable y de medida de Lebesgue cero.
Un conjunto no medible
Lema (Lema de Steinhaus: \(E - E\) contiene un intervalo)
Sea \(E \subseteq \mathbb{R}\) medible con \(m(E) > 0\). Entonces el conjunto \(E - E = \{x - y : x, y \in E\}\) contiene un intervalo abierto centrado en \(0\).
Prueba: Se puede suponer \(m(E) < \infty\) (reemplazando \(E\) por \(E \cap [-R, R]\) con \(R\) grande, de medida positiva). Con \(\varepsilon = \tfrac{1}{3}\), tome un abierto \(G \supseteq E\) con \(m(G) < (1 + \varepsilon)m(E)\) y escriba \(G = \bigcup_{k}[a_{k}, b_{k}]\) con interiores disjuntos. Poniendo \(E_{k} = [a_{k}, b_{k}] \cap E\) se tiene \(m(E) = \sum_{k} m(E_{k})\) y
\[\sum_{k} m([a_{k}, b_{k}]) = m(G) < (1 + \varepsilon)m(E) = (1 + \varepsilon)\sum_{k} m(E_{k}),\]| luego existe \(k_{0}\) con \(m(I) \leq (1 + \varepsilon)\, m(\widetilde{E})\), donde \(I = [a_{k_{0}}, b_{k_{0}}]\) y \(\widetilde{E} = E_{k_{0}}\); en particular \(m(I) \leq \tfrac{4}{3} m(\widetilde{E})\). Afirmamos que si $$ | d | < \tfrac{1}{2} m(I)\(entonces\)(\widetilde{E} - d) \cap \widetilde{E} \neq \emptyset\(. En efecto, si fuera\)(\widetilde{E} - d) \cap \widetilde{E} = \emptyset\(, entonces\)m\big(\widetilde{E} \cup (\widetilde{E} - d)\big) = 2 m(\widetilde{E})\(; pero\)\widetilde{E}\(y\)\widetilde{E} - d\(están ambos contenidos en un intervalo de longitud\)m(I) + | d | < \tfrac{3}{2} m(I)\(, así que\)2 m(\widetilde{E}) < \tfrac{3}{2} m(I)\(, esto es\)m(\widetilde{E}) < \tfrac{3}{4} m(I)\(, contradiciendo\)m(I) \leq \tfrac{4}{3}m(\widetilde{E})\(. Por tanto, para\) | d | < \tfrac{1}{2}m(I)\(existen\)x, y \in \widetilde{E}\(con\)x - d = y\(, es decir\)d \in \widetilde{E} - \widetilde{E} \subseteq E - E\(. Luego\)\big(-\tfrac{1}{2}m(I), \tfrac{1}{2}m(I)\big) \subseteq E - E$$. |
Nota (Invariancia por traslaciones de la medida exterior)
De la definición, \(m_{e}\) es invariante por traslaciones: \(m_{e}(E + t) = m_{e}(E)\) para todo \(t\), pues trasladar un cubrimiento por cajas produce un cubrimiento por cajas del mismo volumen.
Ejemplo (El conjunto de Vitali es no medible)
Defina sobre \(\mathbb{R}\) la relación de equivalencia \(x \sim y \iff x - y \in \mathbb{Q}\). La clase de \(x\) es \(\{x + r : r \in \mathbb{Q}\}\), numerable; por tanto hay una cantidad no numerable de clases. El conjunto de Vitali \(E\) se obtiene escogiendo un representante de cada clase. Entonces \(E\) es no numerable y \((E - E) \cap \mathbb{Q} = \{0\}\), pues dos elementos distintos de \(E\) no son equivalentes y su diferencia es irracional. Si \(E\) fuese medible: caso \(m(E) > 0\) es imposible, porque por el lema de Steinhaus \(E - E\) contendría un intervalo alrededor de \(0\) y por ende racionales no nulos, contra \((E - E) \cap \mathbb{Q} = \{0\}\); luego \(m(E) = 0\). Pero \(\mathbb{R} = \bigcup_{r \in \mathbb{Q}}(E + r)\), y por invariancia por traslaciones y subaditividad
\[m_{e}(\mathbb{R}) \leq \sum_{r \in \mathbb{Q}} m_{e}(E + r) = \sum_{r \in \mathbb{Q}} m_{e}(E) = 0,\]absurdo. Por tanto \(E\) no es medible.
Corolario (Todo conjunto de medida exterior positiva contiene un no medible)
Sea \(A \subseteq \mathbb{R}\) con \(m_{e}(A) > 0\). Entonces existe \(E \subseteq A\) no medible.
Prueba: Con \(E\) el conjunto de Vitali, \(\mathbb{R} = \bigsqcup_{r \in \mathbb{Q}}(E + r)\), de modo que \(A = \bigcup_{r \in \mathbb{Q}} A_{r}\) con \(A_{r} = A \cap (E + r)\). Cada \(A_{r} - A_{r} \subseteq (E + r) - (E + r) = E - E\), luego \((A_{r} - A_{r}) \cap \mathbb{Q} = \{0\}\); por el lema de Steinhaus, si \(A_{r}\) fuera medible no podría tener medida positiva, así que \(m(A_{r}) = 0\). Si todos los \(A_{r}\) fueran medibles, por subaditividad \(m_{e}(A) \leq \sum_{r} m_{e}(A_{r}) = 0\), contradiciendo \(m_{e}(A) > 0\). Por tanto algún \(A_{r} \subseteq A\) es no medible.