Definición y relación con la convergencia c.p.d.
Definición (Convergencia en medida)
Sean \(f, f_{n} : E \to \overline{\mathbb{R}}\) medibles y finitas casi por doquier. Decimos que \(f_{n}\) converge a \(f\) en medida si, para todo \(\varepsilon > 0\),
\[\lim_{n \to \infty} m\{ |f_{n} - f| > \varepsilon \} = 0.\]Denotamos \(f_{n} \xrightarrow{m} f\).
Nota (La convergencia en medida es la más débil del curso)
Esta convergencia es la convergencia más débil que veremos en el curso: la convergencia uniforme implica la convergencia puntual, la puntual implica la convergencia c.p.d., y sobre conjuntos de medida finita la convergencia c.p.d. implica la convergencia en medida, como muestra el teorema siguiente. Ninguna de las implicaciones recíprocas vale en general.
Teorema (En medida finita, la convergencia c.p.d. implica convergencia en medida)
Sean \(f, f_{n} : E \to \overline{\mathbb{R}}\) medibles y finitas casi por doquier. Si
\[\lim_{n \to \infty} f_{n} = f\]casi por doquier en \(E\) y \(m(E) < \infty\), entonces \(f_{n} \xrightarrow{m} f\) en \(E\).
Prueba: Sean \(\eta > 0\) y \(\varepsilon > 0\); hay que mostrar que existe \(n_{0}\) tal que
\[m\{ |f_{n} - f| > \varepsilon \} < \eta\]cuando \(n \geq n_{0}\). Como \(m(E) < \infty\), por el teorema de Egorov existe \(F \subseteq E\) cerrado tal que
\[m(E \setminus F) < \eta\]y \(f_{n} \to f\) uniformemente en \(F\). Entonces existe \(n_{0}\) tal que
\[|f_{n}(x) - f(x)| < \varepsilon \quad \text{para todo } n \geq n_{0} \text{ y } x \in F.\]Luego
\[\{ x \in E :\ |f_{n}(x) - f(x)| > \varepsilon \} \subseteq E \setminus F\]cuando \(n \geq n_{0}\), y por monotonía de la medida,
\[m\{ x \in E :\ |f_{n}(x) - f(x)| > \varepsilon \} \leq m(E \setminus F) < \eta.\]Ejemplo (La máquina de escribir: convergencia en medida sin convergencia puntual)
Considere la sucesión de indicadoras de intervalos diádicos de \([0,1]\):
\[\begin{gathered} I_{0} = \mathbf{1}_{[0,1]}, \\ I_{1,1} = \mathbf{1}_{[0,\frac{1}{2}]}, \quad I_{1,2} = \mathbf{1}_{[\frac{1}{2},1]}, \\ I_{2,i} = \mathbf{1}_{[\frac{i-1}{2^{2}},\frac{i}{2^{2}}]}, \quad 1 \leq i \leq 4. \end{gathered}\]En general, \(I_{n,i} = \mathbf{1}_{[\frac{i-1}{2^{n}},\frac{i}{2^{n}}]}\) con \(1 \leq i \leq 2^{n}\). Para obtener una sucesión ordenamos los índices lexicográficamente:
\[(m,i) \leq (n,j) \iff (m < n) \lor \big( (m = n) \land i \leq j \big).\]Esta sucesión converge a cero en medida, pues para \(0 < \varepsilon < 1\) el conjunto \(\{ I_{n,i} > \varepsilon \}\) es un intervalo de medida \(2^{-n}\), y \(n \to \infty\) a lo largo de la sucesión. Sin embargo, no converge en ningún punto: para cada \(x \in [0,1]\) y cada \(n\) existe algún \(i\) con \(x \in [\frac{i-1}{2^{n}},\frac{i}{2^{n}}]\), de modo que la sucesión toma los valores \(1\) y \(0\) infinitas veces en \(x\).
Teorema (Toda sucesión convergente en medida tiene una subsucesión convergente c.p.d.)
Sea \(f_{n} \xrightarrow{m} f\) en \(E\). Entonces existen índices \(n_{1} < n_{2} < \dots\) de manera que
\[f_{n_{j}} \to f\]casi por doquier en \(E\).
Prueba: Dado \(j \geq 1\), por la convergencia en medida existe \(n_{j}\) tal que
\[m\left\{ |f_{n} - f| > \frac{1}{j} \right\} \leq \frac{1}{2^{j}} \quad \text{si } n \geq n_{j}.\]Sin pérdida de generalidad podemos suponer \(n_{j} < n_{j+1}\), escogiendo los índices de manera creciente. Entonces
\[m\left\{ |f_{n_{j}} - f| > \frac{1}{j} \right\} \leq \frac{1}{2^{j}}.\]Tome
\[H_{m} = \bigcup_{j \geq m} \left\{ |f_{n_{j}} - f| > \frac{1}{j} \right\}.\]Entonces \(H_{m+1} \subseteq H_{m}\) y, por subaditividad numerable,
\[m(H_{m}) \leq \sum_{j \geq m} m\left\{ |f_{n_{j}} - f| > \frac{1}{j} \right\} \leq \sum_{j \geq m} \frac{1}{2^{j}} = \frac{1}{2^{m-1}}.\]Considere
\[Z = \bigcap_{m \in \mathbb{N}} H_{m}.\]Como \(Z \subseteq H_{m}\) para todo \(m\), tenemos que \(m(Z) \leq 2^{-(m-1)}\) para todo \(m\), y entonces \(Z\) tiene medida cero. Además, si
\[x \in E \setminus Z = \bigcup_{m \in \mathbb{N}} (E \setminus H_{m}),\]entonces existe \(m_{0}\) tal que \(x \in E \setminus H_{m_{0}}\). Como
\[E \setminus H_{m_{0}} = E \setminus \bigcup_{j \geq m_{0}} \left\{ |f_{n_{j}} - f| > \frac{1}{j} \right\} = \bigcap_{j \geq m_{0}} \left\{ |f_{n_{j}} - f| \leq \frac{1}{j} \right\},\]obtenemos que, dado \(x \in E \setminus Z\), existe \(m_{0}\) tal que
\[|f_{n_{j}}(x) - f(x)| \leq \frac{1}{j} \quad \text{para } j \geq m_{0}.\]Finalmente, dado \(\varepsilon > 0\), existe \(j_{0}\) tal que \(\tfrac{1}{j_{0}} < \varepsilon\), y entonces
\[|f_{n_{j}}(x) - f(x)| \leq \frac{1}{j} \leq \frac{1}{j_{0}} < \varepsilon\]para \(j \geq \max(j_{0}, m_{0})\). Es decir, \(f_{n_{j}}(x) \to f(x)\) para todo \(x\) fuera del conjunto nulo \(Z\).
Sucesiones de Cauchy en medida
Definición (Sucesión de Cauchy en medida)
Decimos que \((f_{n})_{n \in \mathbb{N}}\) es de Cauchy en medida si para todos \(\varepsilon, \eta > 0\) existe \(N \in \mathbb{N}\) tal que
\[m\{ |f_{n} - f_{m}| > \varepsilon \} < \eta\]para \(n, m \geq N\).
Lema (Toda sucesión de Cauchy en medida converge en medida)
Una sucesión de Cauchy en medida es convergente en medida.
Prueba: Ejercicio.