La región bajo el gráfico
Definición (Región bajo el gráfico y gráfico de una función)
Sea \(f : E \to \overline{\mathbb{R}}\) medible con \(E \subseteq \mathbb{R}^{d}\) medible y \(f \geq 0\). Definimos la región bajo el gráfico de \(f\) sobre \(E\) como
\[R(f,E) = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^{d+1} :\ x \in E,\ 0 \leq y \leq f(x) \},\]y el gráfico de \(f\) sobre \(E\) como
\[\Gamma(f,E) = \{ (x, f(x)) :\ x \in E \}.\]Surge la pregunta: ¿es \(R(f,E)\) medible?
Ejemplo (La región bajo un múltiplo de una indicadora)
Analicemos el caso
\[f(x) = a \mathbf{1}_{A}(x)\]con \(A \subseteq E\) medible y \(a > 0\). Entonces ocurre que
\[\begin{aligned} R(f,E) &= \{ (x,y) \in \mathbb{R}^{d+1} :\ x \in E,\ 0 \leq y \leq f(x) \} \\ &= \{ (x,y) \in \mathbb{R}^{d+1} :\ x \in A,\ 0 \leq y \leq a \} \cup \{ (x,y) \in \mathbb{R}^{d+1} :\ x \in E \setminus A,\ y = 0 \} \\ &= \big( A \times [0,a] \big) \cup \big( (E \setminus A) \times \{0\} \big). \end{aligned}\]Es decir, la medibilidad de \(R(f,E)\) en este caso se reduce a la medibilidad de productos de la forma \(A \times [0,a]\).
Lema (Medida del producto de un medible por un intervalo)
Sea \(A \subseteq \mathbb{R}^{d}\) medible y \(a \geq 0\). Entonces \(A \times [0,a] \subseteq \mathbb{R}^{d+1}\) es medible y su medida es
\[m(A \times [0,a]) = a\, m(A),\]con la convención \(0 \cdot \infty = 0\).
Prueba: Caso de una caja. Si \(A = [a_{1},b_{1}] \times \dots \times [a_{d},b_{d}]\), entonces \(A \times [0,a]\) es una caja de \(\mathbb{R}^{d+1}\) y el resultado se sigue de la fórmula para el volumen de cajas. Verificar los detalles queda como ejercicio para la persona lectora.
Caso de un abierto con \(m(A) < \infty\). Si \(A\) es abierto, entonces existen cajas \(I_{k}\) en \(d\) dimensiones tales que
\[A = \bigcup_{k=1}^{\infty} I_{k} \quad \text{con } I_{j}^{\circ} \cap I_{k}^{\circ} = \emptyset \text{ si } j \neq k.\]Entonces
\[A \times [0,a] = \bigcup_{k=1}^{\infty} I_{k} \times [0,a]\]es un conjunto medible, por ser unión numerable de cajas. Como
\[(I_{k} \times [0,a])^{\circ} \cap (I_{j} \times [0,a])^{\circ} = \emptyset, \quad k \neq j,\]y la medida de una unión numerable de cajas con interiores disjuntos dos a dos es la suma de sus medidas, tenemos que
\[m(A \times [0,a]) = \sum_{i=1}^{\infty} m(I_{i} \times [0,a]) = a \sum_{i=1}^{\infty} m(I_{i}) = a\, m(A).\]Caso de un \(G_{\delta}\) con \(m(A) < \infty\). Sea ahora
\[A = \bigcap_{j=1}^{\infty} G_{j}\]un \(G_{\delta}\) con cada \(G_{i}\) abierto y \(G_{i+1} \subseteq G_{i}\). Podemos asumir la monotonía porque, reemplazando \(G_{j}\) por \(G_{1} \cap \dots \cap G_{j}\), que sigue siendo abierto, la intersección total no cambia. Además, como \(m(A) < \infty\), por regularidad exterior existe un abierto \(G \supseteq A\) con \(m(G) < \infty\); intersecando cada \(G_{j}\) con \(G\) podemos suponer también que \(m(G_{1}) < \infty\). Luego
\[A \times [0,a] = \bigcap_{j=1}^{\infty} G_{j} \times [0,a],\]con \(G_{i+1} \times [0,a] \subseteq G_{i} \times [0,a]\) medibles y de medida finita, pues \(m(G_{i} \times [0,a]) = a\, m(G_{i}) \leq a\, m(G_{1}) < \infty\) por el caso anterior. Entonces, por continuidad desde arriba de la medida,
\[m(A \times [0,a]) = \lim_{i \to \infty} m(G_{i} \times [0,a]) = \lim_{i \to \infty} a\, m(G_{i}) = a\, m(A).\]Caso medible general con \(m(A) < \infty\). En el caso de que \(A\) sea medible con medida finita, podemos escribir
\[A = H \setminus Z\]con \(H\) un conjunto \(G_{\delta}\) tal que \(A \subseteq H\), \(m(H) = m(A)\), y \(Z = H \setminus A\) de medida cero. Entonces, por el paso anterior, \(H \times [0,a]\) es medible y
\[m(H \times [0,a]) = a\, m(H).\]Se deja de ejercicio probar que
\[m_{e}(Z \times [0,a]) = 0.\]Entonces \(Z \times [0,a]\) es medible con medida cero,
\[A \times [0,a] = (H \times [0,a]) \setminus (Z \times [0,a])\]es medible, y
\[m(A \times [0,a]) = m(H \times [0,a]) = a\, m(H) = a\, m(A).\]Caso \(m(A) = \infty\). Finalmente, si \(m(A) = \infty\), llamemos
\[A_{k} = A \cap B(0,k).\]De esta manera
\[A = \bigcup_{k=1}^{\infty} A_{k},\]con \(A_{k} \subseteq A_{k+1}\) medibles y acotados, en particular de medida finita. Por los argumentos anteriores,
\[A_{k} \times [0,a] \subseteq A_{k+1} \times [0,a]\]son conjuntos medibles tales que
\[m(A_{k} \times [0,a]) = a\, m(A_{k}).\]Entonces \(A \times [0,a] = \bigcup_{k=1}^{\infty} A_{k} \times [0,a]\) es medible y, por continuidad desde abajo,
\[m(A \times [0,a]) = \lim_{k \to \infty} m(A_{k} \times [0,a]) = \lim_{k \to \infty} a\, m(A_{k}) = a\, m(A).\]Ejercicio (El producto de un nulo por un intervalo es nulo)
Sea \(Z \subseteq \mathbb{R}^{d}\) con \(m(Z) = 0\) y \(a \geq 0\). Muestre que \(m_{e}(Z \times [0,a]) = 0\).
El gráfico de una función medible
Lema (El gráfico de una función medible tiene medida cero)
Sea \(f : E \to \mathbb{R}\) medible, con \(E\) medible. Entonces \(m_{e}(\Gamma(f,E)) = 0\).
Prueba: Asumamos primero que \(E\) tiene medida finita. Sea \(\varepsilon > 0\) y, para cada \(k \in \mathbb{Z}\),
\[E_{k} = \{ x \in E :\ k \varepsilon \leq f(x) < (k+1) \varepsilon \}.\]Los \(E_{k}\) son medibles, disjuntos dos a dos, y
\[E = \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} E_{k}.\]Note que
\[\Gamma(f, E_{k}) = \{ (x, f(x)) :\ x \in E_{k} \} \subseteq E_{k} \times [k\varepsilon, (k+1)\varepsilon).\]Por el lema anterior y la invariancia de la medida exterior bajo traslaciones, tenemos que
\[m_{e}(\Gamma(f,E_{k})) \leq m_{e}\big( E_{k} \times [k\varepsilon,(k+1)\varepsilon) \big) \leq \varepsilon\, m(E_{k}).\]Por lo tanto, por subaditividad numerable de la medida exterior, vale que
\[m_{e}(\Gamma(f,E)) = m_{e}\left( \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} \Gamma(f,E_{k}) \right) \leq \sum_{k \in \mathbb{Z}} m_{e}(\Gamma(f,E_{k})) \leq \sum_{k \in \mathbb{Z}} \varepsilon\, m(E_{k}) = \varepsilon\, m(E),\]donde la última igualdad usa que los \(E_{k}\) son disjuntos dos a dos. Como \(\varepsilon > 0\) es arbitrario y \(m(E) < \infty\), concluimos que \(m_{e}(\Gamma(f,E)) = 0\).
Terminar la prueba en el caso \(m(E) = \infty\) queda como ejercicio (véase el ejercicio siguiente).
Ejercicio (El caso de medida infinita del lema del gráfico)
Termine la prueba del lema anterior: muestre que si \(m(E) = \infty\), entonces también \(m_{e}(\Gamma(f,E)) = 0\).
Lema (La región bajo una función simple no negativa es medible)
Sea \(\phi : E \to \mathbb{R}\) simple, medible y no negativa, digamos
\[\phi(x) = \sum_{i=1}^{m} a_{i} \mathbf{1}_{A_{i}},\]con \(a_{i} \neq a_{j}\) y \(A_{i} \cap A_{j} = \emptyset\) para \(i \neq j\), y \(E = \bigcup_{i=1}^{m} A_{i}\). Entonces \(R(\phi,E)\) es medible.
Prueba: Tenemos que
\[R(\phi,E) = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^{d+1} :\ x \in E,\ 0 \leq y \leq \phi(x) \} = \bigcup_{j=1}^{m} \{ (x,y) \in \mathbb{R}^{d+1} :\ x \in A_{j},\ 0 \leq y \leq a_{j} \},\]es decir, \(R(\phi,E) = \bigcup_{j=1}^{m} A_{j} \times [0,a_{j}]\), que es una unión finita de conjuntos medibles por el lema del producto, y por lo tanto es un conjunto medible.
Teorema (La región bajo el gráfico de una función medible no negativa es medible)
Sea \(f : E \to \mathbb{R}\) medible con \(f \geq 0\) y \(E\) medible. Entonces \(R(f,E) \subseteq \mathbb{R}^{d+1}\) es un conjunto medible.
Prueba: Como \(f \geq 0\) es medible, existe una sucesión creciente de funciones simples, medibles y no negativas \(\{\phi_{k}\}_{k=1}^{\infty}\) que satisface
\[\lim_{k \to \infty} \phi_{k}(x) = f(x)\]en \(E\). Luego, si \(0 \leq y < f(x)\), como \(\phi_{k}(x) \to f(x) > y\), existe \(\phi_{k}\) tal que
\[0 \leq y \leq \phi_{k}(x).\]Entonces, separando los puntos con \(y < f(x)\) de aquellos con \(y = f(x)\),
\[R(f,E) = \{ (x,y) :\ x \in E,\ 0 \leq y < f(x) \} \cup \{ (x,y) :\ x \in E,\ f(x) = y \},\]y por lo anterior obtenemos
\[R(f,E) = \bigcup_{k=1}^{\infty} R(\phi_{k},E) \cup \{ (x,y) :\ x \in E,\ f(x) = y,\ y \geq 0 \},\]pues cada \(R(\phi_{k},E) \subseteq R(f,E)\) al ser \(\phi_{k} \leq f\). Ahora, cada \(R(\phi_{k},E)\) es medible por el lema anterior, y el segundo conjunto está contenido en \(\Gamma(f,E)\), que tiene medida exterior cero y es por lo tanto medible. Concluimos que \(R(f,E)\) es medible, por ser unión numerable de medibles.
La definición de la integral
Definición (Integral de Lebesgue de una función medible no negativa)
Dada \(f : E \to \mathbb{R}\) medible tal que \(f \geq 0\), definimos su integral de Lebesgue como
\[\int_{E} f \, dx = m(R(f,E)).\]Proposición (La integral de una función simple no negativa)
Sea \(\phi = \sum_{i=1}^{m} a_{i} \mathbf{1}_{A_{i}}\) simple, medible y no negativa, con los \(A_{i} \subseteq E\) medibles y disjuntos dos a dos. Entonces
\[\int_{E} \phi(x) \, dx = \sum_{i=1}^{m} a_{i}\, m(A_{i}).\]Prueba: Podemos asumir que \(a_{i} \neq 0\) para \(1 \leq i \leq m\), pues los términos con \(a_{i} = 0\) no aportan a ninguno de los dos lados. Entonces
\[\begin{aligned} \int_{E} \phi(x)\, dx &= m\big( R(\phi,E) \big) \\ &= m\big( \{ \phi = 0 \} \times \{0\} \big) + m\left( \bigcup_{i=1}^{m} \{ (x,y) :\ x \in A_{i},\ 0 \leq y \leq a_{i} \} \right) \\ &= 0 + \sum_{i=1}^{m} a_{i}\, m(A_{i}), \end{aligned}\]donde usamos que \(\{\phi = 0\} \times \{0\}\) tiene medida cero, que los conjuntos \(A_{i} \times [0,a_{i}]\) son disjuntos dos a dos porque los \(A_{i}\) lo son, y la fórmula \(m(A_{i} \times [0,a_{i}]) = a_{i}\, m(A_{i})\).
Teorema (Monotonía de la integral respecto al integrando y al dominio)
Sean \(f, g : E \to [0,\infty)\) medibles.
-
Si \(0 \leq g \leq f\), entonces
\[\int_{E} g(x) \, dx \leq \int_{E} f(x) \, dx.\] -
Si \(E_{1} \subseteq E_{2} \subseteq E\) son medibles, entonces
\[\int_{E_{1}} f(x) \, dx \leq \int_{E_{2}} f(x) \, dx.\]
Prueba: Dado que \(0 \leq g \leq f\), tenemos que
\[\{ (x,y) :\ x \in E,\ 0 \leq y \leq g(x) \} \subseteq \{ (x,y) :\ x \in E,\ 0 \leq y \leq f(x) \},\]luego \(R(g,E) \subseteq R(f,E)\), y la parte (i) se sigue de la monotonía de la medida.
Para la segunda parte vamos primero a probar que
\[\int_{E_{1}} f(x) \, dx = \int_{E} \mathbf{1}_{E_{1}} f(x) \, dx\]para \(E_{1} \subseteq E\) medible. Note que
\[\{ (x,y) :\ x \in E,\ 0 \leq y \leq \mathbf{1}_{E_{1}}(x) f(x) \} = \big( (E \setminus E_{1}) \times \{0\} \big) \cup \{ (x,y) :\ x \in E_{1},\ 0 \leq y \leq f(x) \},\]y como \((E \setminus E_{1}) \times \{0\}\) tiene medida cero, entonces
\[m\big( R(\mathbf{1}_{E_{1}} f, E) \big) = m\big( R(f,E_{1}) \big).\]Ahora, si \(E_{1} \subseteq E_{2}\) son medibles, entonces
\[\mathbf{1}_{E_{1}} f \leq \mathbf{1}_{E_{2}} f,\]y por la parte (i) obtenemos
\[\int_{E} \mathbf{1}_{E_{1}} f(x) \, dx \leq \int_{E} \mathbf{1}_{E_{2}} f(x) \, dx.\]Concluimos que
\[\int_{E_{1}} f(x) \, dx \leq \int_{E_{2}} f(x) \, dx.\]