Funciones con valores infinitos
Definición (Integral de una función medible con valores en \([0,\infty]\))
Sea \(f : E \to [0,\infty]\) medible con \(E\) medible y \(f \geq 0\). Tome
\[E_{1} = \{ x \in E :\ f(x) = \infty \}.\]Definimos
\[\begin{aligned} R(f,E) &= \{ (x,y) \in \mathbb{R}^{d+1} :\ x \in E,\ 0 \leq y \leq f(x) \} \\ &= \{ (x,y) \in \mathbb{R}^{d+1} :\ x \in E \setminus E_{1},\ 0 \leq y \leq f(x) \} \cup \big( E_{1} \times [0,\infty) \big), \end{aligned}\]y
\[\Gamma(f,E) = \{ (x,f(x)) \in \mathbb{R}^{d+1} :\ x \in E \setminus E_{1} \}.\]Al igual que se hizo para funciones de valores reales, definimos
\[\int_{E} f \, dx = m\big( R(f,E) \big).\]Nota (La región sigue siendo medible para valores infinitos)
La teoría desarrollada hasta ahora asegura que \(R(f,E)\) es medible siempre que \(f\) y \(E\) sean medibles: la primera parte de la descomposición es la región bajo la restricción de \(f\) al medible \(E \setminus E_{1}\), y
\[E_{1} \times [0,\infty) = \bigcup_{n=1}^{\infty} E_{1} \times [0,n]\]es una unión numerable de conjuntos medibles.
Proposición (Una función con integral finita es finita c.p.d.)
Sea \(f : E \to [0,\infty]\) medible tal que
\[\int_{E} f(x) \, dx < \infty.\]Entonces \(m(\{ x \in E : f(x) = \infty \}) = 0\), es decir, \(f\) es finita casi por doquier.
Prueba: Sea \(E_{1} = \{ f = \infty \}\) y, para cada \(n \in \mathbb{N}\), tome
\[g(x) = n \mathbf{1}_{E_{1}}(x).\]Entonces \(g(x) \leq f(x)\) para \(x \in E\), pues en \(E_{1}\) se tiene \(f = \infty \geq n\) y fuera de \(E_{1}\) se tiene \(g = 0 \leq f\). Luego, por la fórmula para funciones simples y la monotonía de la integral,
\[n\, m(E_{1}) = \int_{E} g(x)\, dx \leq \int_{E} f(x) \, dx < \infty\]para todo \(n \in \mathbb{N}\), y por lo tanto \(m(E_{1}) = 0\).
Descomposición del dominio y el teorema de convergencia monótona
Proposición (Aditividad de la integral respecto al dominio)
Sea \(f : E \to [0,\infty]\) medible. En el caso de que \(E = \bigcup_{i=1}^{\infty} E_{i}\) con los \(E_{i}\) medibles y \(E_{i} \cap E_{j} = \emptyset\) si \(i \neq j\), tenemos que
\[\int_{E} f(x) \, dx = \sum_{k=1}^{\infty} \int_{E_{k}} f(x) \, dx.\]Esta fórmula es válida también para uniones finitas.
Prueba: Como los \(E_{i}\) son disjuntos dos a dos, tenemos que
\[R(f,E) = \bigcup_{k=1}^{\infty} R(f,E_{k}),\]y los \(R(f,E_{k})\) son disjuntos dos a dos, pues sus primeras coordenadas viven en conjuntos disjuntos. De esta manera, por aditividad numerable de la medida,
\[\int_{E} f(x) \, dx = m(R(f,E)) = m\left( \bigcup_{k=1}^{\infty} R(f,E_{k}) \right) = \sum_{k=1}^{\infty} m(R(f,E_{k})) = \sum_{k=1}^{\infty} \int_{E_{k}} f(x) \, dx.\]La fórmula para uniones finitas se obtiene tomando \(E_{k} = \emptyset\) para los índices restantes, pues \(R(f,\emptyset) = \emptyset\).
Teorema (Convergencia monótona para funciones no negativas)
Sea \(\{f_{k}\}_{k=1}^{\infty}\) una sucesión de funciones medibles tales que
\[0 \leq f_{k}(x) \leq f_{k+1}(x)\]para todo \(x \in E\). Si
\[\lim_{k \to \infty} f_{k}(x) = f(x)\]casi por doquier en \(E\), entonces
\[\lim_{k \to \infty} \int_{E} f_{k}(x) \, dx = \int_{E} f(x) \, dx.\]Prueba: Sea \(Z \subseteq E\) el conjunto nulo donde falla la convergencia, y \(\tilde{E} = E \setminus Z\). Para cualquier función medible no negativa \(g\) se tiene \(R(g,Z) \subseteq Z \times [0,\infty) = \bigcup_{n} Z \times [0,n]\), que tiene medida cero; entonces \(\int_{Z} g \, dx = 0\) y, por la aditividad del dominio, las integrales sobre \(E\) y sobre \(\tilde{E}\) coinciden tanto para \(f\) como para cada \(f_{k}\). Podemos entonces suponer que \(f_{k}(x) \to f(x)\) para todo \(x \in E\).
Con el mismo argumento de aproximación usado para la región bajo el gráfico, tenemos que
\[R(f,E) = \Gamma(f,E) \cup \bigcup_{k=1}^{\infty} R(f_{k},E):\]si \(0 \leq y < f(x)\), como \(f_{k}(x) \uparrow f(x)\), existe \(k\) con \(y \leq f_{k}(x)\), es decir \((x,y) \in R(f_{k},E)\); si \(y = f(x) < \infty\), entonces \((x,y) \in \Gamma(f,E)\); y cada \(R(f_{k},E) \subseteq R(f,E)\) porque \(f_{k} \leq f\). Como
\[R(f_{k},E) \subseteq R(f_{k+1},E)\]por la monotonía de la sucesión, y \(m(\Gamma(f,E)) = 0\), la continuidad desde abajo de la medida nos da
\[\int_{E} f(x) \, dx = m(R(f,E)) = m\left( \bigcup_{k=1}^{\infty} R(f_{k},E) \right) = \lim_{k \to \infty} m(R(f_{k},E)) = \lim_{k \to \infty} \int_{E} f_{k}(x) \, dx.\]Una fórmula útil
Notación (Suma inferior asociada a una partición finita del dominio)
Dada \(f : E \to [0,\infty]\) medible y una partición finita \(E = \bigcup_{i=1}^{N} E_{i}\) en medibles disjuntos dos a dos, definimos
\[\sum\big(f, \{E_{i}\}_{i=1}^{N}\big) = \sum_{i=1}^{N} \Big( \inf_{E_{i}} f \Big) \mathbf{1}_{E_{i}} \leq f.\]Teorema (La integral como supremo de sumas inferiores)
Sea \(f : E \to [0,\infty]\) medible, no negativa. Entonces
\[\int_{E} f(x) \, dx = \sup \left\{ \int_{E} \sum\big(f, \{E_{i}\}_{i=1}^{N}\big) \, dx :\ E = \bigcup_{i=1}^{N} E_{i} \ \text{partición finita en medibles disjuntos} \right\}.\]Prueba: Dados \(E_{1}, \dots, E_{N}\) medibles disjuntos dos a dos tales que \(E = \bigcup_{i=1}^{N} E_{i}\), tenemos que
\[\sum\big(f, \{E_{i}\}_{i=1}^{N}\big) \leq f,\]entonces, por monotonía y la fórmula para funciones simples,
\[\sum_{i=1}^{N} \Big( \inf_{E_{i}} f \Big) m(E_{i}) = \int_{E} \sum\big(f, \{E_{i}\}_{i=1}^{N}\big) \, dx \leq \int_{E} f(x) \, dx.\]Es decir, el supremo del enunciado es menor o igual que la integral.
Para la desigualdad recíproca, dados \(k \geq 1\) y \(1 \leq i \leq k 2^{k}\), defina
\[E_{k}^{0} = \{ f \geq k \}, \qquad E_{k}^{i} = \left\{ \frac{i-1}{2^{k}} \leq f(x) < \frac{i}{2^{k}} \right\}.\]Entonces
\[E = \bigcup_{i=0}^{k 2^{k}} E_{k}^{i}\]es una partición finita en medibles disjuntos dos a dos. Tome
\[f_{k}(x) = k \mathbf{1}_{E_{k}^{0}} + \sum_{i=1}^{k 2^{k}} \left( \frac{i-1}{2^{k}} \right) \mathbf{1}_{E_{k}^{i}};\]esta es la aproximación diádica estándar, así que sabemos que
\[f_{k} \leq f_{k+1} \qquad \text{y} \qquad \lim_{k \to \infty} f_{k} = f\]puntualmente en \(E\). Por el teorema de convergencia monótona,
\[\int_{E} f_{k} \, dx \to \int_{E} f \, dx.\]Como en cada pieza de la partición el valor de \(f_{k}\) es menor o igual que el ínfimo de \(f\) en ella, tenemos que
\[f_{k} \leq \sum\big(f, \{E_{k}^{i}\}_{i=0}^{k 2^{k}}\big) \leq f,\]e integrando,
\[\int_{E} f_{k} \, dx \leq \sum_{i=0}^{k 2^{k}} \Big( \inf_{E_{k}^{i}} f \Big) m(E_{k}^{i}) \leq \int_{E} f(x) \, dx.\]El término del medio es una de las sumas inferiores del enunciado, y el lado izquierdo converge a \(\int_{E} f \, dx\); tenemos entonces que
\[\lim_{k \to \infty} \sum_{i=0}^{k 2^{k}} \Big( \inf_{E_{k}^{i}} f \Big) m(E_{k}^{i}) = \int_{E} f(x) \, dx,\]y el supremo del enunciado alcanza a la integral.
Corolario (La integral como supremo sobre funciones simples)
Sea \(f : E \to [0,\infty]\) medible. Entonces
\[\int_{E} f(x) \, dx = \sup \left\{ \int_{E} \phi(x) \, dx :\ \phi\ \text{simple y medible},\ 0 \leq \phi \leq f\ \text{en } E \right\}.\]Prueba: Ejercicio.
Conjuntos nulos, desigualdad de Markov y funciones nulas
Lema (La integral sobre un conjunto de medida cero es nula)
Sea \(f : E \to [0,\infty]\) medible. Si \(m(E) = 0\), entonces
\[\int_{E} f(x) \, dx = 0.\]Prueba: Sean \(f_{k} = \sum_{i=1}^{m} a_{i} \mathbf{1}_{A_{i}}\), con \(A_{i} \cap A_{j} = \emptyset\) si \(i \neq j\), funciones simples no negativas crecientes hacia \(f\), de modo que, por el teorema de convergencia monótona,
\[\lim_{k \to \infty} \int_{E} f_{k} \, dx = \int_{E} f(x) \, dx.\]Note que
\[\int_{E} f_{k}(x) \, dx = \sum_{i=1}^{m} a_{i}\, m(A_{i}).\]Como \(A_{i} \subseteq E\), entonces \(m(A_{i}) = 0\) para \(1 \leq i \leq m\), y cada \(\int_{E} f_{k} \, dx = 0\). Concluimos que \(\int_{E} f \, dx = 0\).
Teorema (La integral respeta desigualdades c.p.d.)
Sean \(f, g : E \to [0,\infty]\) medibles tales que \(g(x) \leq f(x)\) casi por doquier en \(E\). Entonces vale que
\[\int_{E} g(x) \, dx \leq \int_{E} f(x) \, dx.\]En particular, si \(f = g\) c.p.d. en \(E\), entonces
\[\int_{E} g(x) \, dx = \int_{E} f(x) \, dx.\]Prueba: Sea
\[A = \{ x \in E :\ g(x) \leq f(x) \}.\]Entonces \(E = A \cup Z\) con \(Z = E \setminus A\) de medida cero y \(A \cap Z = \emptyset\). Así, por la aditividad del dominio y el lema anterior, tenemos
\[\int_{E} f(x) \, dx = \int_{A} f(x) \, dx + \int_{Z} f(x) \, dx = \int_{A} f(x) \, dx,\] \[\int_{E} g(x) \, dx = \int_{A} g(x) \, dx + \int_{Z} g(x) \, dx = \int_{A} g(x) \, dx.\]Como \(g \leq f\) puntualmente en \(A\), la monotonía de la integral da \(\int_{A} g \, dx \leq \int_{A} f \, dx\), y el resultado se sigue. Si además \(f = g\) c.p.d., ambas desigualdades valen y se obtiene la igualdad.
Proposición (Desigualdad de Markov)
Sean \(f : E \to [0,\infty]\) medible y \(\alpha > 0\). Entonces
\[m(\{ f \geq \alpha \}) \leq \frac{1}{\alpha} \int_{E} f(x) \, dx.\]Prueba: Como \(f \geq 0\), tenemos las desigualdades puntuales
\[\alpha \mathbf{1}_{\{f \geq \alpha\}} \leq f \mathbf{1}_{\{f \geq \alpha\}} \leq f.\]Integrando y usando la fórmula para funciones simples, la identidad \(\int_{E} \mathbf{1}_{E_{1}} f \, dx = \int_{E_{1}} f \, dx\) y la monotonía,
\[\alpha\, m(\{ f \geq \alpha \}) \leq \int_{\{f \geq \alpha\}} f(x) \, dx \leq \int_{E} f(x) \, dx,\]y basta dividir por \(\alpha > 0\).
Corolario (Una función no negativa con integral nula es nula c.p.d.)
Sea \(f : E \to [0,\infty]\) medible tal que \(\int_{E} f(x) \, dx = 0\). Entonces \(f = 0\) casi por doquier.
Prueba: Por la desigualdad de Markov, para todo \(\alpha > 0\) tenemos que
\[m(\{ f \geq \alpha \}) \leq \frac{1}{\alpha} \int_{E} f(x) \, dx = 0.\]Luego
\[\{ f > 0 \} = \bigcup_{k=1}^{\infty} \left\{ f \geq \frac{1}{k} \right\}\]es una unión numerable de conjuntos de medida cero, y por lo tanto es un conjunto de medida cero. Es decir, \(f = 0\) c.p.d.
Linealidad
Teorema (Linealidad de la integral para funciones no negativas)
Sean \(f, g : E \to [0,\infty]\) medibles y \(c \geq 0\). Entonces
\[\int_{E} \big( c f(x) + g(x) \big) \, dx = c \int_{E} f(x) \, dx + \int_{E} g(x) \, dx.\]Prueba: Homogeneidad. Si \(c = 0\), con la convención \(0 \cdot \infty = 0\) tenemos \(cf \equiv 0\) y ambos lados de la homogeneidad son nulos. Sea entonces \(c > 0\); vamos a probar que
\[\int_{E} c f(x) \, dx = c \int_{E} f(x) \, dx.\]Sea \(\{f_{k}\}\) una sucesión de funciones simples no negativas tales que
\[0 \leq f_{k} \leq f_{k+1} \qquad \text{y} \qquad \lim_{k \to \infty} f_{k} = f.\]Si
\[f_{k} = \sum_{i=1}^{m_{k}} a_{i} \mathbf{1}_{A_{i}},\]con los \(A_{i}\) medibles y disjuntos dos a dos, tenemos que
\[\lim_{k \to \infty} c f_{k} = \lim_{k \to \infty} \sum_{i=1}^{m_{k}} c a_{i} \mathbf{1}_{A_{i}} = c f(x), \qquad c f_{k} \leq c f_{k+1}.\]Entonces, aplicando el teorema de convergencia monótona dos veces y la fórmula para simples,
\[\int_{E} c f(x) \, dx = \lim_{k \to \infty} \int_{E} c f_{k}(x) \, dx = \lim_{k \to \infty} \sum_{i=1}^{m_{k}} c a_{i}\, m(A_{i}) = c \lim_{k \to \infty} \sum_{i=1}^{m_{k}} a_{i}\, m(A_{i}) = c \int_{E} f(x) \, dx.\]Aditividad. Falta mostrar la aditividad. Para tal efecto tomemos \(g_{k}\) una sucesión de funciones simples no negativas tales que
\[g_{k} \leq g_{k+1}, \qquad \lim_{k \to \infty} g_{k} = g.\]Entonces se sigue que
\[g_{k} + f_{k} \leq g_{k+1} + f_{k+1}, \qquad \lim_{k \to \infty} (g_{k} + f_{k}) = g + f.\]Vamos a mostrar primero la aditividad para las simples, es decir, que
\[\int_{E} \big( g_{k}(x) + f_{k}(x) \big) \, dx = \int_{E} g_{k}(x) \, dx + \int_{E} f_{k}(x) \, dx.\]Sea
\[g_{k} = \sum_{j=1}^{\ell_{k}} b_{j} \mathbf{1}_{B_{j}}, \quad \text{con } E = \bigcup_{j=1}^{\ell_{k}} B_{j} \text{ disjuntos dos a dos},\]y recordemos que
\[f_{k} = \sum_{i=1}^{m_{k}} a_{i} \mathbf{1}_{A_{i}}, \quad \text{con } E = \bigcup_{i=1}^{m_{k}} A_{i} \text{ disjuntos dos a dos}.\]Note que, al ser ambas familias particiones de \(E\),
\[\mathbf{1}_{A_{i}} = \sum_{j=1}^{\ell_{k}} \mathbf{1}_{B_{j} \cap A_{i}}, \qquad \mathbf{1}_{B_{j}} = \sum_{i=1}^{m_{k}} \mathbf{1}_{B_{j} \cap A_{i}},\]entonces
\[g_{k}(x) + f_{k}(x) = \sum_{j=1}^{\ell_{k}} \sum_{i=1}^{m_{k}} b_{j} \mathbf{1}_{A_{i} \cap B_{j}} + \sum_{i=1}^{m_{k}} \sum_{j=1}^{\ell_{k}} a_{i} \mathbf{1}_{A_{i} \cap B_{j}} = \sum_{j=1}^{\ell_{k}} \sum_{i=1}^{m_{k}} (b_{j} + a_{i}) \mathbf{1}_{A_{i} \cap B_{j}},\]que es una función simple sobre la partición común \(\{A_{i} \cap B_{j}\}\). Ahora, por aditividad finita de la medida,
\[\sum_{i=1}^{m_{k}} m(A_{i} \cap B_{j}) = m\left( B_{j} \cap \bigcup_{i=1}^{m_{k}} A_{i} \right) = m(B_{j} \cap E) = m(B_{j}),\]y de igual forma tenemos
\[\sum_{j=1}^{\ell_{k}} m(A_{i} \cap B_{j}) = m(A_{i}).\]Finalmente,
\[\begin{aligned} \int_{E} \big( f_{k}(x) + g_{k}(x) \big) \, dx &= \sum_{j=1}^{\ell_{k}} \sum_{i=1}^{m_{k}} (a_{i} + b_{j})\, m(A_{i} \cap B_{j}) \\ &= \sum_{j=1}^{\ell_{k}} b_{j} \sum_{i=1}^{m_{k}} m(A_{i} \cap B_{j}) + \sum_{i=1}^{m_{k}} a_{i} \sum_{j=1}^{\ell_{k}} m(A_{i} \cap B_{j}) \\ &= \sum_{j=1}^{\ell_{k}} b_{j}\, m(B_{j}) + \sum_{i=1}^{m_{k}} a_{i}\, m(A_{i}) \\ &= \int_{E} g_{k}(x) \, dx + \int_{E} f_{k}(x) \, dx. \end{aligned}\]Como \(\{f_{k} + g_{k}\}\) es una sucesión creciente de simples que converge a \(f + g\), el teorema de convergencia monótona aplicado tres veces nos da
\[\int_{E} (f + g) \, dx = \lim_{k \to \infty} \int_{E} (f_{k} + g_{k}) \, dx = \lim_{k \to \infty} \left( \int_{E} f_{k} \, dx + \int_{E} g_{k} \, dx \right) = \int_{E} f \, dx + \int_{E} g \, dx.\]Combinando la homogeneidad con la aditividad, aplicadas a \(cf\) y \(g\), se concluye el enunciado.