Traslación y conjugación

Traslación y conjugación

Definición (Traslación)

Sea \((G, \ast)\) un grupo y sea \(a \in G\). La traslación izquierda (dercha) de \(a\) es \(T_{a}:G\to G\) tal que \(x \mapsto a \ast x\) (\(x \mapsto x \ast a\)).

Nota (Traslación es biyectiva)

1. \(T_{a}\) es inyectiva pues \(T_{a}(x)=T_{a}(y) \iff a \ast x = a \ast y \iff x = y\).
2. \(T_{a}\) es sobreyectiva, pues si \(y \in G\), \(T_{a}(a^{-1} \ast y) = y\).

Luego, \(T_{a}\) es biyectiva. Concluya que \(T_{a} \in S_{G} = \{ \sigma:G\to G \text{ biyectiva}\}\).

Teorema (Traslaciones de \(G\) son un monomorfismo)

Sea \(f:G\to S_{G}\) tal que \(f(a) = T_{a}\). Entonces \(f\) es un monomorfismo.

Prueba: Probaremos primero que \(f\) es un homomorfismo, i.e., que \(f(a \ast b) = T_{a \ast b} = T_{a} \ast T_{b}\). Sea \(x \in G\). Tenemos que

\[\begin{aligned} (T_{a} \circ T_{b})(x) = T_{a}(T_{b}(x)) &= T_{a} (b \ast x)\\ &= a \ast (b \ast x) \\ &=(a \ast b) \ast x \\ &= T_{a \ast b} (x) \end{aligned},\]

de donde tenemos que \(f\) es un homomorfismo. Probaremos que \(f\) es inyectiva. Sea \(a \in \operatorname{Ker}(f)\). Sea \(a \in G\) tal que \(f(a) = T_{a} = \mathrm{id}_{G}\). Luego,

\[\forall x \in G \quad(T_{a}(x)= x) \implies \forall x \in G \quad(a \ast x = x) \implies a = 1_{G}.\]

Así, \(\operatorname{Ker}(f) = \{ \mathrm{id_{G}} \}\). Concluimos que \(f\) es un monomorfismo.

Definición (Conjugación)

Sea \(G\) un grupo y \(a \in G\). Defina la conjugación por \(a\) \(C_{a}: G\to G\) tal que \(x \mapsto a \ast x \ast a^{-1}\).

Teorema (Conjugación en el automorfismo)

Sea \(G\) un grupo y \(a \in G\). Entonces \(C_{a} \in \mathrm{Aut}(G)\).

Prueba: Note que \(C_{a}(x \ast y) = C_{a}(x) \ast C_{a}(y)\) (ejercicio), por lo que \(C_{a}\) es homomorfismo. Para probar que es inyectiva, tome \(x \in \operatorname{Ker}(C_{a})\). Luego

\[C_{a}(x) = 1_{G} \implies a \ast x \ast a ^{-1} = 1_{G} \implies x = 1_{G}\]

Para probar que es sobreyectiva, sea \(x \in G\). Note que \(C_{a}(a^{-1} \ast x \ast a) = x\), de donde concluimos sobreyectividad.

Teorema (Conjugaciones de \(G\) son un homomorfismo)

Sea \(f:G\to \mathrm{Aut}(G) \leq S_{G}\) tal que \(f(a) = C_{a}\). Entonces \(f\) es un homomorfismo.

Prueba: Sea \(x \in G\). Entonces

\[\begin{aligned} (C_{a} \circ C_{b})(x) &= C_{a} (C_{b}(x))\\ &=C_{a} ( b \ast x \ast b^{-1})\\ &=a \ast ( b \ast x \ast b^{-1}) \ast a ^{-1} \\ &=(a \ast b) \ast x \ast (a \ast b) ^{-1} \\ &=C_{a \ast b}(x). \end{aligned}\]