Coclases

Coclases

Definición (Coclases)

Sea \(G\) un grupo y \(H \leq G\):

1. Una coclase izquierda (derecha) de \(H\) es \(aH = \{ a \ast h:h \in H \}\) (\(Ha = \{ h \ast a:h \in H \}\)), con \(a \in G\).

Se suele escribir “\(a+H\)” o “\(H+a\)” en grupos aditivos.

Ejemplos (Coclases en \(\mathbb{Z}\) y \(S_3\))

1. Considere \(G = (\mathbb{Z}, +)\) y sea \(n \in \mathbb{Z}\). Tome \(H = \langle n \rangle = n \mathbb{Z}\). Sea \(a \in \mathbb{Z}\). Note que

   \[\begin{aligned} a + H &= \{ a+h:h \in H \} \\ &=\{ a + nk: k \in \mathbb{Z} \} \\ &=\{ t: t \equiv a \quad \mathrm{mod } \hspace{2mm}n \}. \end{aligned}\]

2. Considere \(G = S_{3}\) y \(\tau = \begin{pmatrix}1 & 2\end{pmatrix}\). Tome \(H = \langle \tau \rangle = \{ \mathrm{id}, \tau \}\). Tenemos que

   \[\begin{aligned} H \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} &= \{ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \} \\ &=\{ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 & 3 \end{pmatrix} \},\\ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \cdot H &= \{ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 3 & 1 \end{pmatrix} \},\\ H \cdot \begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} &= \{ \begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 3 \end{pmatrix} \} \end{aligned}\]

Note que \(H \cdot \begin{pmatrix}3 & 2 & 1\end{pmatrix} \quad \cap \quad H \ast \begin{pmatrix}1 & 2 & 3\end{pmatrix} = \emptyset\).

Lema (Criterio de igualdad de coclases)

Sea \(H \leq G\) y \(a,b \in G\). Entonces

\[aH = bH \iff (b^{-1} \ast a) \in H.\]

Prueba: (\(\implies\)): Tenemos que \(a \in bH\). Luego, existe \(h \in H\) tal que \(a = b \ast h \implies b^{-1} \ast a = h \in H\). (\(\impliedby\)): Suponga que \(b ^{-1} \ast a \in H\). Luego, existe \(h_{0} \in H\) tal que \(b ^{-1} \ast a = h_{0}\). Entonces \(a = b \ast h_{0}\), entonces \(a \in bH\). Luego, \(aH \subseteq bH\), pues si \(x \in aH\), tenemos que

\[x = a \ast h = b \ast\underbrace{ h_{0} \ast h }_{ \in H }\in bH\]

La otra inclusión se prueba de manera análoga.

Teorema (Dos cualesquiera coclases son iguales o disjuntas)

Sea \(H\leq G\) y sean \(a,b \in G\). Entonces \(aH = bH\) o \(aH \cap bH = \emptyset\).

Prueba: Suponga que \(aH \cap bH \neq \emptyset\). Sea \(x \in aH \cap bH\). Luego, existen \(h_{1}, h_{2} \in H\) tal que \(x= a \ast h_{1} = b \ast h_{2}\). Entonces, \(b^{-1} \ast x = b^{-1} \ast a \ast h_{1} \in H\) , de modo que \(b ^{-1} \ast a \in H\). Por el lema anterior \(aH = bH\)., de donde concluimos el resultado.

Nota (Coclases como partición)

Esto nos muestra que las coclases forman una partición del grupo. Más aún, si definimos la relación \(\sim\) en \(G\) como \(a \sim b \iff aH = bH\), esta es una relación de equivalencia.

Definición (Conjunto cociente)

Definimos el conjunto cociente de \(G\) sobre \(H\) como \(G/H := \{ aH:a \in G \}\), esto es, el conjunto de representantes de \(G\) cocientado con la clase de equivalencia de coclases de \(H\).

Teorema (Igualdad del número de coclases izquierdas/derechas)

Sea \(H\leq G\). Entonces el número de coclases derechas es igual al número de coclases izquierdas.

Prueba: Sean \(A = \{ aH: a \in G \}\) y \(B = \{ Hb:b \in G \}\). Sea \(f:A\to B\) tal que \(f(aH) = Ha^{-1}\). \(f\) está bien definida: Si \(aH = a'H\), entonces \(H a^{-1} = H(a')^{-1}\). Terminar la prueba (ejercicio).

Proposición (Cardinalidad de subgrupo y coclases)

Si \(H\leq G\) y \(a \in G\), entonces \(\lvert a H \rvert = \lvert H \rvert\) (como cardinalidad pues \(aH\) no es necesariamente un grupo)

Prueba: Defina \(f:H\to aH\) tal que \(h \mapsto a \ast h\). Note que

\[\begin{aligned} f(h_{1}) = f(h_{2}) \implies a \ast h_{1} = a \ast h_{2} \implies a^{-1} \ast a \ast h_{1} = a^{-1} \ast a \ast h_{2} \implies h_{1}=h_{2}. \end{aligned}\]

Definición (Índices)

Sea \(H \leq G\). Definimos el índice de \(H\) en \(G\) como \([G:H] = \lvert G/H \rvert\) es el número de coclases diferentes de \(H\) en \(G\).

Teorema (Lagrange para grupos finitos)

Sea \(G\) un grupo finito y \(H\leq G\). Entonces, \(\lvert G \rvert = [G:H] \cdot \lvert H \rvert\). En particular, \(\lvert H \rvert \Big\lvert \lvert G \rvert\).

Prueba: Sea \(k = [G :H]\). Sean \(a_{1}H, a_{2}H, \dots, a_{k}H\) las coclases diferentes de \(H\) en \(G\). Entonces \(G = \bigcup_{i=1}^{k} a_{i} H\). Como \(a_{1}H, a_{2}H, \dots, a_{k}H\) son disjuntos, entonces \(\lvert G \rvert = \sum_{i=1}^{k} \lvert a_{i} H \rvert = k \lvert H \rvert\).

Corolario (Orden de un elemento divide al orden del grupo)

Sea \(a \in G\). Entonces \(\lvert a \rvert \Big\lvert \lvert G \rvert\).

Prueba: Tome \(H = \langle a \rangle\). Entonces \(\lvert H \rvert = \lvert a \rvert\) y el resultado se sigue del teorema de Lagrange.

Corolario (Multiplicatividad del índice)

Sean \(K,H,G\) grupos tales que \(K \leq H\leq G\). Entonces, \([G:K] = [G:H] [H:K]\).

Prueba: Aplicando el teorema de Lagrange sobre los tres índices:

\[[G:H] \cdot \lvert H \rvert = \lvert G \rvert, \quad [H:K] \cdot \lvert K \rvert = \lvert H \rvert, \quad [G:H] \cdot [H : K] = \lvert G \rvert.\]

Así,

\[[G:H] \cdot [H:K] = \frac{\lvert G \rvert}{\lvert H \rvert } \cdot \frac{\lvert H \rvert}{\lvert K \rvert } = \frac{\lvert G \rvert}{\lvert K \rvert } = [G:K].\]

Proposición (Coclases sobre el kernel de un homomorfismo)

Sean \(G, G'\) y \(f:G \to G'\) un homomorfismo. Sea \(H = \operatorname{Ker}(f) \leq G\). Sea \(a \in G\) y \(a' = f(a)\). Entonces \(aH = \{ x \in G:f(x) = a' \}\).

Prueba: Sea \(x \in aH\), entonces existe \(h \in H\) tal que \(x = a \ast h\). Luego, \(f(x) = f(a) \ast_{G'} f(h) = f(a) = a'\). Luego, \(aH \subseteq \{ x \in G:f(x) = a' \}\). Por otro lado, si \(x \in G\) tal que \(f(x) = a'\), tenemos que

\[f(x) = f(a) \iff \big(f(a)\big)^{-1} \ast_{G'} f(x) = 1_{G'} \iff f(a^{-1} \ast x) = 1_{G'},\]

de donde tenemos que \(a^{-1} \ast x \in H\) y, por el criterio de igualdad de coclases, \(xH = aH\), de donde \(x \in aH\). Así, \(\{ x \in G: f(x) = a' \} \subseteq aH\), y por tanto \(aH \subseteq \{ x \in G:f(x) = a' \}\).