La construcción
Definición (La relación de proporcionalidad en \(D \times (D \setminus \{0\})\))
Sea \(D\) un dominio entero y sea \(S = D \times (D \setminus \{0\})\). Defina la relación \(\sim\) en \(S\) tal que
\[(a, b) \sim (c, d) \iff a \cdot d = b \cdot c.\]Usamos la notación \(\frac{a}{b} := [(a, b)]\) para la clase de equivalencia de \((a, b)\).
Lema (La relación de proporcionalidad es de equivalencia)
La relación \(\sim\) es una relación de equivalencia en \(S\).
Prueba: La reflexividad y la simetría son inmediatas de la conmutatividad de \(D\): \(a \cdot b = b \cdot a\) da \((a,b) \sim (a,b)\), y si \(a d = b c\), entonces \(c b = d a\), es decir, \((c, d) \sim (a, b)\).
Para la transitividad usamos que \(D\) es un dominio entero. Suponga que \((a, b) \sim (c, d)\) y \((c, d) \sim (e, f)\), es decir, \(a d = b c\) y \(c f = d e\). Multiplicando la primera igualdad por \(f\) y usando la segunda,
\[a d f = b c f = b d e,\]y reordenando con la conmutatividad, \(d (a f) = d (b e)\), es decir, \(d (a f - b e) = 0\). Como \(d \neq 0\) y \(D\) no tiene divisores de cero, concluimos que \(a f - b e = 0\), o sea \(a f = b e\), que es exactamente \((a, b) \sim (e, f)\).
Definición (El cuerpo de fracciones y sus operaciones)
Sea \(F := \left\{ \frac{a}{b} :\ (a, b) \in S \right\}\). Note que si \(x \in D \setminus \{0\}\), entonces \(\frac{a}{b} = \frac{a \cdot x}{b \cdot x}\). Además, podemos definir operaciones en \(F\) de la siguiente manera:
\[\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a d + b c}{b d}, \qquad \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}.\]Note que los denominadores \(b d\) son no nulos porque \(D\) es un dominio entero, que \(\frac{0}{1}\) es el neutro de \(+\) y que \(\frac{1}{1}\) es el neutro de \(\cdot\). La buena definición de estas operaciones (su independencia de los representantes) se verifica en la prueba del teorema siguiente.
Teorema (El cuerpo de fracciones es un cuerpo)
\((F, +, \cdot, \frac{0}{1}, \frac{1}{1})\) es un anillo conmutativo y, más interesantemente, en realidad es un cuerpo.
Prueba: Buena definición de las operaciones. Suponga que \(\frac{a}{b} = \frac{a'}{b'}\) y \(\frac{c}{d} = \frac{c'}{d'}\), es decir, \(a b' = a' b\) y \(c d' = c' d\). Para la suma hay que ver que \(\frac{a d + b c}{b d} = \frac{a' d' + b' c'}{b' d'}\), o sea, que \((a d + b c) b' d' = (a' d' + b' c') b d\). Usando la conmutatividad y las dos relaciones,
\[(a d + b c)\, b' d' = (a b')\, d d' + (c d')\, b b' = (a' b)\, d d' + (c' d)\, b b' = (a' d' + b' c')\, b d.\]Para el producto, \((a c)(b' d') = (a b')(c d') = (a' b)(c' d) = (a' c')(b d)\), es decir, \(\frac{a c}{b d} = \frac{a' c'}{b' d'}\).
\(F\) es un anillo conmutativo. Los denominadores \(b d\) son no nulos, pues \(D\) es un dominio entero. La asociatividad, la conmutatividad de ambas operaciones y la distributividad se verifican con representantes y se reducen a las propiedades correspondientes de \(D\); el neutro aditivo es \(\frac{0}{1}\), el inverso aditivo de \(\frac{a}{b}\) es \(\frac{-a}{b}\), y el neutro multiplicativo es \(\frac{1}{1}\).
\(F\) es un cuerpo. Note primero que \(1 \neq 0\) en \(D\) (si \(1 = 0\), entonces \(D = \{0\}\) y no habría denominadores disponibles), y entonces \(\frac{1}{1} \neq \frac{0}{1}\) en \(F\), pues \(1 \cdot 1 \neq 0 \cdot 1\). Sea ahora \(\frac{a}{b} \neq \frac{0}{1}\); esto significa que \(a \cdot 1 \neq b \cdot 0\), es decir, \(a \neq 0\). Entonces \(\frac{b}{a} \in F\) (el denominador \(a\) es no nulo) y
\[\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} = \frac{a b}{b a} = \frac{1}{1},\]pues \((a b) \cdot 1 = (b a) \cdot 1\). Es decir, todo elemento no nulo de \(F\) es invertible, y \(F\) es un cuerpo.
Nota (Ejemplos de cuerpos de fracciones)
Escribimos \(F = \operatorname{Frac}(D)\) para el cuerpo de fracciones de \(D\).
- \(\operatorname{Frac}(\mathbb{Z}) \cong \mathbb{Q}\).
- Si \(D\) es un cuerpo, entonces \(\operatorname{Frac}(D) \cong D\).
-
Si \(D = \Bbbk[x_{1}, \dots, x_{n}]\) con \(\Bbbk\) un cuerpo, entonces
\[\operatorname{Frac}(D) = \Bbbk(x_{1}, \dots, x_{n}) = \left\{ \frac{p(x_{1}, \dots, x_{n})}{q(x_{1}, \dots, x_{n})} :\ q \neq 0 \right\},\]el cuerpo de funciones racionales en \(n\) variables.
Nota (El dominio se sumerge en su cuerpo de fracciones)
Podemos suponer que \(D \subseteq \operatorname{Frac}(D)\), pues \(i : D \to \operatorname{Frac}(D)\), \(x \mapsto \frac{x}{1}\), es un homomorfismo inyectivo, por lo que \(D\) se “sumerge” en \(\operatorname{Frac}(D)\); esto es,
\[D \cong \operatorname{Im}(i) = \left\{ \frac{x}{1} :\ x \in D \right\} \subseteq \operatorname{Frac}(D).\]La propiedad universal
Teorema (Propiedad universal del cuerpo de fracciones)
Sea \(D\) un dominio entero, \(K\) un cuerpo y \(f : D \to K\) un homomorfismo inyectivo. Entonces existe un único homomorfismo inyectivo \(\tilde{f} : \operatorname{Frac}(D) \to K\) tal que
\[\tilde{f}\left( \frac{x}{1} \right) = f(x) \quad \text{para todo } x \in D.\]De forma explícita,
\[\tilde{f}\left( \frac{a}{b} \right) = \frac{f(a)}{f(b)} := f(a) \cdot f(b)^{-1} \quad \text{para todos } a, b \in D,\ b \neq 0.\]Prueba: \(\tilde{f}\) está bien definida. Si \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\), entonces \(a d = b c\), y aplicando \(f\) obtenemos \(f(a) \cdot f(d) = f(b) \cdot f(c)\). Note que \(f(b) \neq 0\) y \(f(d) \neq 0\), pues \(b, d \neq 0\) y \(f\) es inyectiva (su núcleo es trivial). Entonces, despejando en el cuerpo \(K\), tenemos que
\[\frac{f(a)}{f(b)} = \frac{f(c)}{f(d)} \in K \implies \tilde{f}\left( \frac{a}{b} \right) = \tilde{f}\left( \frac{c}{d} \right).\]Probar que \(\tilde{f}\) es un homomorfismo inyectivo queda como ejercicio.
Unicidad. Suponga que \(h : \operatorname{Frac}(D) \to K\) es un homomorfismo tal que \(h\left( \frac{x}{1} \right) = f(x)\) para todo \(x \in D\). Sea \(b \neq 0\); como \(\frac{b}{1} \cdot \frac{1}{b} = \frac{b}{b} = \frac{1}{1}\) y los homomorfismos preservan unidades, tenemos que \(h\left( \frac{1}{b} \right) = h\left( \frac{b}{1} \right)^{-1} = f(b)^{-1}\). Entonces
\[h\left( \frac{a}{b} \right) = h\left( \frac{a}{1} \cdot \frac{1}{b} \right) = h\left( \frac{a}{1} \right) \cdot h\left( \frac{1}{b} \right) = f(a) \cdot f(b)^{-1} = \frac{f(a)}{f(b)} = \tilde{f}\left( \frac{a}{b} \right),\]es decir, \(h = \tilde{f}\).
Teorema (El cuerpo primo como cuerpo de fracciones del anillo primo)
Sea \(\Bbbk\) un cuerpo.
- Si \(R\) es el subanillo primo de \(\Bbbk\) y \(F\) es el subcuerpo primo de \(\Bbbk\), entonces \(F \cong \operatorname{Frac}(R)\).
- El subcuerpo primo de \(\Bbbk\) es isomorfo a \(\mathbb{Q}\) o a \(\mathbb{Z}_{p}\) (también denotado \(\mathbb{F}_{p}\)), según \(\operatorname{char}(\Bbbk) = 0\) o \(\operatorname{char}(\Bbbk) = p > 0\).
Prueba: Parte 1. Como todo subcuerpo de \(\Bbbk\) es en particular un subanillo, el subanillo primo \(R\) está contenido en el subcuerpo primo \(F\), y entonces la inclusión \(i : R \to F\), \(x \mapsto x\), es un homomorfismo inyectivo de \(R\) en el cuerpo \(F\). Además, \(R\) es un dominio entero, por ser subanillo de un cuerpo. Por la propiedad universal del cuerpo de fracciones, existe un homomorfismo inyectivo \(\tilde{\imath} : \operatorname{Frac}(R) \to F\) con \(\tilde{\imath}\left(\frac{a}{b}\right) = a b^{-1}\). Sea
\[F_{0} = \operatorname{Im}(\tilde{\imath}) = \{ a b^{-1} :\ a, b \in R,\ b \neq 0 \} \subseteq F.\]Como \(\tilde{\imath}\) es un homomorfismo inyectivo desde un cuerpo, \(F_{0} \cong \operatorname{Frac}(R)\) y \(F_{0}\) es un subcuerpo de \(\Bbbk\): es un subanillo (imagen de un homomorfismo), y el inverso de \(a b^{-1} \neq 0\) es \(b a^{-1} \in F_{0}\). Por la minimalidad del subcuerpo primo, \(F \subseteq F_{0}\); y ya vimos que \(F_{0} \subseteq F\). Concluimos que
\[F = F_{0} \cong \operatorname{Frac}(R).\]Parte 2. Por el teorema del subanillo primo, \(R \cong \mathbb{Z}\) o \(R \cong \mathbb{Z}_{n}\); y como \(\Bbbk\) es un cuerpo, en particular un dominio entero, su característica es \(0\) o un primo \(p\). Si \(\operatorname{char}(\Bbbk) = 0\), entonces \(R \cong \mathbb{Z}\) y, por la parte 1 (un isomorfismo de dominios se extiende a los cuerpos de fracciones vía la propiedad universal),
\[F \cong \operatorname{Frac}(R) \cong \operatorname{Frac}(\mathbb{Z}) \cong \mathbb{Q}.\]Si \(\operatorname{char}(\Bbbk) = p\) primo, entonces \(R \cong \mathbb{Z}_{p}\), que ya es un cuerpo (pues \(p\) es primo), y el cuerpo de fracciones de un cuerpo es él mismo:
\[F \cong \operatorname{Frac}(\mathbb{Z}_{p}) \cong \mathbb{Z}_{p} = \mathbb{F}_{p}.\]