El subanillo primo y el cuerpo primo
Definición (Cuerpo primo)
Sea \(F\) un cuerpo. Definimos el cuerpo primo de \(F\) como la intersección de todos los subcuerpos de \(F\).
Definición (Subanillo primo)
Sea \(R\) un anillo. El subanillo primo (o anillo primo) de \(R\) es la intersección de todos los subanillos de \(R\); es decir, el subanillo más pequeño de \(R\).
Nota (El anillo primo de un cuerpo vive en su cuerpo primo)
Si \((F, +, \cdot)\) es un cuerpo, entonces es un anillo; como todo subcuerpo de \(F\) es en particular un subanillo, el anillo primo de \(F\) es un subanillo del cuerpo primo de \(F\).
Ejemplo (Subanillos primos conocidos)
Los siguientes ejemplos ilustran la definición:
- \(\mathbb{Z}\) es el subanillo primo de \(\mathbb{Z}\), y \(\mathbb{Z}_{n}\) es el subanillo primo de \(\mathbb{Z}_{n}\).
- Sea \(R\) un anillo y considere \(M_{n \times n}(R)\). Entonces \(\{ z \cdot I_{n} :\ z \in \mathbb{Z} \}\) es el anillo primo de \(M_{n \times n}(R)\).
- Si \(R_{1} \subseteq R_{2}\) son anillos (respectivamente, cuerpos), entonces \(R_{1}\) y \(R_{2}\) tienen el mismo anillo primo (respectivamente, cuerpo primo).
Nota (La cadena de anillos numéricos)
Note que \(\mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Q} \subseteq \mathbb{R} \subseteq \mathbb{C} \subseteq \mathbb{H}\) (como anillos):
- todos tienen el mismo anillo primo, \(\mathbb{Z}\);
- \(\mathbb{Q}\) es el cuerpo primo de \(\mathbb{Q}\), \(\mathbb{R}\) y \(\mathbb{C}\).
La característica
Definición (Característica de un anillo)
Si \(R\) es un anillo y \(R_{0}\) es su anillo primo, definimos
\[\operatorname{char}(R) = \begin{cases} |R_{0}| & \text{si } R_{0} \text{ es finito}, \\ 0 & \text{si no}. \end{cases}\]Teorema (El subanillo primo es \(\mathbb{Z}\) o \(\mathbb{Z}_{n}\))
Sea \(R\) un anillo.
-
El subanillo primo \(R_{0}\) de \(R\) es isomorfo a \(\mathbb{Z}\) o a \(\mathbb{Z}_{n}\), y en tal caso
\[\operatorname{char}(R) = \begin{cases} n & \text{si } R_{0} \cong \mathbb{Z}_{n}, \\ 0 & \text{si } R_{0} \cong \mathbb{Z}. \end{cases}\] -
Si \(D\) es un dominio entero, entonces \(\operatorname{char}(D)\) es \(0\) o un número primo \(p\).
Prueba: Parte 1. Sea \(R_{0}\) el anillo primo de \(R\) y sea \(f_{R} : \mathbb{Z} \longrightarrow R\) tal que \(n \longmapsto n \cdot 1_{R}\), que es un homomorfismo de anillos (de hecho, el único; véase el ejercicio sobre homomorfismos desde \(\mathbb{Z}\)). Afirmamos que \(\operatorname{Im}(f_{R}) = R_{0}\): por una parte, \(\operatorname{Im}(f_{R})\) es un subanillo de \(R\); por otra, todo subanillo \(S\) de \(R\) contiene a \(1_{R}\) y es cerrado bajo sumas y restas, así que contiene a \(n \cdot 1_{R}\) para todo \(n \in \mathbb{Z}\), es decir, \(\operatorname{Im}(f_{R}) \subseteq S\). Entonces \(\operatorname{Im}(f_{R})\) es el subanillo más pequeño de \(R\), o sea, \(\operatorname{Im}(f_{R}) = R_{0}\). Por el primer teorema del isomorfismo,
\[R_{0} = \operatorname{Im}(f_{R}) \cong \mathbb{Z}/\operatorname{Ker}(f_{R}).\]Note que \(\operatorname{Ker}(f_{R})\) es un ideal de \(\mathbb{Z}\), y como \(\mathbb{Z}\) es un DIP, tenemos que \(\operatorname{Ker}(f_{R}) = (n)\) con \(n \in \mathbb{N}\). Si \(n = 0\), entonces \(\operatorname{Ker}(f_{R}) = \{0\}\), de modo que \(R_{0} \cong \mathbb{Z}\), que es infinito, y \(\operatorname{char}(R) = 0\). Si \(n \neq 0\), entonces \(R_{0} \cong \mathbb{Z}/(n) \cong \mathbb{Z}_{n}\), que tiene \(n\) elementos, y \(\operatorname{char}(R) = n\).
Parte 2. Fue probada en la tarea; queda como ejercicio.
El homomorfismo de Frobenius y el pequeño teorema de Fermat
Teorema (Frobenius: elevar a la \(p\) es un homomorfismo)
Sea \(R\) un anillo conmutativo tal que \(\operatorname{char}(R) = p > 0\) con \(p\) primo. Entonces \(\varphi : R \to R\) tal que \(x \mapsto x^{p}\) es un homomorfismo. En particular,
\[(x + y)^{p} = x^{p} + y^{p} \quad \text{para todos } x, y \in R.\]Prueba: Note primero que \(\varphi(1) = 1^{p} = 1\), y que, como \(R\) es conmutativo,
\[\varphi(x \cdot y) = (x y)^{p} = x^{p} y^{p} = \varphi(x) \cdot \varphi(y).\]Falta probar que \(\varphi(x + y) = \varphi(x) + \varphi(y)\), es decir, que \((x + y)^{p} = x^{p} + y^{p}\).
Sean \(a, b \in R\). Por el teorema del binomio de Newton, válido en anillos conmutativos,
\[(a + b)^{p} = \sum_{i=0}^{p} \binom{p}{i} a^{i} b^{p-i},\]donde \(\binom{p}{i} a^{i} b^{p-i}\) denota el múltiplo entero correspondiente. Afirmamos que si \(0 < i < p\), entonces \(\binom{p}{i}\) es múltiplo de \(p\): de la identidad
\[i!\,(p - i)!\, \binom{p}{i} = p!\]vemos que \(p\) divide al lado derecho; pero \(p\) es primo y no divide a \(i!\) ni a \((p-i)!\), pues todos sus factores son menores que \(p\); entonces \(p \mid \binom{p}{i}\). Ahora, como \(\operatorname{char}(R) = p\), tenemos que \(p \cdot 1_{R} = 0\), y si \(\binom{p}{i} = p \cdot t\) con \(t \in \mathbb{Z}\), entonces
\[\binom{p}{i} \cdot a^{i} b^{p-i} = \big( \binom{p}{i} \cdot 1_{R} \big)\, a^{i} b^{p-i} = \big( t \cdot (p \cdot 1_{R}) \big)\, a^{i} b^{p-i} = 0.\]Es decir, en la suma binomial solo sobreviven los términos \(i = 0\) e \(i = p\), de modo que \((a + b)^{p} = a^{p} + b^{p}\).
Nota (Frobenius en cuerpos finitos y sus iteradas)
Tres observaciones sobre el homomorfismo anterior:
- \(\varphi\) es llamado el homomorfismo de Frobenius.
- Si \(R\) es un cuerpo finito, entonces \(\operatorname{Ker}(\varphi) = \{0\}\) (el núcleo es un ideal propio de un cuerpo), de modo que \(\varphi\) es inyectiva. Como \(R\) es finito, \(\varphi\) es también sobreyectiva, y entonces \(\varphi\) es un automorfismo.
-
\(\varphi^{n} : R \to R\), \(x \mapsto x^{p^{n}}\), es un homomorfismo para todo \(n \in \mathbb{N}\), por ser composición de homomorfismos. En particular,
\[(a + b)^{p^{n}} = a^{p^{n}} + b^{p^{n}} \quad \text{para todos } a, b \in R,\ n \in \mathbb{N}.\]
Teorema (Pequeño teorema de Fermat)
Sea \(p\) primo. Entonces \(n^{p} \equiv n \pmod{p}\) para todo \(n > 0\).
Prueba: Procedemos por inducción sobre \(n\). El caso base \(n = 1\) es trivial, pues \(1^{p} = 1\). Ahora, suponga como hipótesis inductiva que \(n^{p} \equiv n \pmod{p}\) para algún \(n \in \mathbb{N}\). El anillo \(\mathbb{Z}_{p}\) es su propio anillo primo, así que \(\operatorname{char}(\mathbb{Z}_{p}) = p\). Usando el homomorfismo de Frobenius en \(\mathbb{Z}_{p}\) y la hipótesis inductiva, tenemos que
\[(n + 1)^{p} = n^{p} + 1^{p} = n + 1 \pmod{p},\]lo que prueba el paso inductivo. Concluya el resultado.