Aplicaciones de la integral de Riemann

En estas notas se presentan aplicaciones de la integral de Riemann

Área bajo la curva

Ejemplo

Hallar el área comprendida entre las curvas \(f(x) = 2x\) + \(g(x) = x^{3}\).

Solución: Primero, debemos graficar las funciones. En particular, debemos hallar los límites de integración. Para ello, igualamos ambas funciones: Note que \(x^{3} = 2x \iff x= \pm \sqrt{ 2 } \quad \lor \quad x=0\). Luego, el área entre las curvas viene dada por

\[\int_{-\sqrt{ 2 }}^{0}( x^{3}-2x) \, dx + \int_{0}^{\sqrt{ 2 }} (2x-x^{3}) \, dx = 2.\]

Ejemplo

Hallar el área entre las curvas \(f(x) = x^{3}, g(x) = 2x\), \(h(x) = x\) para \(0 \leq x \leq \sqrt{ 2 }\).Considere la solución de \(x^{3} = x \iff x=\pm 1 \lor x=0\). Luego, el área viene dada por,

\[\int_{0}^{1} (2x-x) \, dx + \int_{1}^{\sqrt{ 2 }} (2x-x^{3})\, dx.\]

Longitud de una curva

Sea \(f(x) = \sin(x)\). Queremos conocer la longitud de la curva, i.e, cuánto mediría si la estiramos. Podemos aproximar la longitud usando rectángulos y midiendo los segmentos entre los vértices de los rectángulos. La medida de los segmentos viene dada por

\[\sqrt{ (f(a_{i+1})-f(a_{i}))^{2} + (a_{i+1}-a_{i})^{2}}.\]

Además, si \(f\) es derivable, por el teorema del valor medio, existe \(\xi_{i}\) tal que \(f(a_{i+1})-f(a_{i}) = f'(\xi_{i})(a_{i+1}-a_{i})\). Luego, inyectando en la aproximación del segmento, su valor viene dado por

\[(a_{i+1}-a_{i}) \sqrt{ (f'(\xi_{i}))^{2} + 1 }.\]

Sumando todos los intervalos, los segmentos miden

\[\sum_{i=0}^{n-1} (a_{i+1}-a_{i}) \sqrt{ (f'(\xi_{i}))^{2} + 1 } = S(\sqrt{ (f')^{2}+1 }, P, \xi_{1},\dots,\xi_{n}).\]

Si la suma converge, la longitud de la curva es

\[\int_{a}^{b} \sqrt{ (f'(x))^{2} + 1 } \, dx .\]

La suma converge siempre que \(f'\) sea continua.