Integración en Rn

La noción general de la integral de Riemann en una variable es aproximar el área bajo el gráfico mediante el cálculo de áreas rectangulares entre particiones. ¿Cómo podemos trasladar esta idea a funciones de varias variables?

Introducción

Sea \(f:D \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\), con \(f\) acotada y \(D\) acotado. Si \(f: D \subseteq \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}\), con \(f(x,y)>0\), buscamos que \(\int \int_{D} f(x,y) dx dy\) represente el volumen bajo \(f\).

Definición (Caja en \(\mathbb{R}^{n}\))

Definimos una caja como \(C:[a_{1},b_{1}] \times [a_{2},b_{2}] \times...\times[a_{n}, b_{n}] \subseteq \mathbb{R}^n\).

1. El volumen de \(C\) viene dado por \(V(C) = \prod_{i=1}^{n} (b_{i}-a_{i})\).
2. Las caras de la caja vienen dadas por los conjuntos de la forma

\[[a_{1},b_{1}] \times \dots \times [a_{i-1}, b_{i-1}] \times \{ a_{i} \} \times [a_{i+1}, b_{i+1}] \times \dots \times [a_{n}, b_{n}]\] \[[a_{1},b_{1}] \times \dots \times [a_{i-1}, b_{i-1}] \times \{ b_{i} \} \times [a_{i+1}, b_{i+1}] \times \dots \times [a_{n}, b_{n}]\]

para \(i \in \{ 1,\dots,n \}\).

1. \(D \subseteq \mathbb{R}^n\) tiene volumen cero si para todo \(\varepsilon>0\) existe una colección finita de cajas\(\{ C_{i} \}_{i=1}^{k}\) tales que \(D \subseteq \bigcup_{i=1}^{k} C_{i}\) y \(\sum_{i=1}^{k} V(C_{i}) < \varepsilon\). La idea es primero definir \(\int_{C} f(x)\) sobre cajas.

Ejemplo

Para \(n=2\), sea \(f:[a_{1}, b_{1}]\to \mathbb{R}\) continua. Defina \(G_{f} = \{ (x, f(x)): x \in [a_{1}, b_{1}] \}\subseteq R_{2}\). Probaremos que \(G_{f}\) tiene volumen cero. Sea \(\varepsilon>0\). Como \(f\) es continua en \(G_{f}\) y \(G_{f}\) es compacto, \(f\) es uniformemente continua. Luego, existe \(\delta>0\) tal que para todos \(x,y \in D\), si \(\lVert x-y \rVert<\delta \implies \lvert f(x) - f(y) \rvert < \frac{\varepsilon}{b-a}\). Particione el intervalo \([a_{1},b_{1}]\) en \(m \in \mathbb{N}\) intervalos iguales (\(a=x_{0}<x_{1}< \dots < x_{m} = b\)), de manera que \(\frac{b-a}{m} < \delta\). Explícitamente, definimos \(x_{i} = a + i \frac{b-a}{m}\) para \(i \in \{ 0,\dots,m \}\). Es posible cubrir \(G_{f}\) por cajas de la forma \(C_{i} = [x_{i-1}, x_{i}] \times J_{i}\), con \(J_{i} = \left( \underset{x \in [x_{i-1}, x_{i}] }{\min f(x)}, \underset{x \in [x_{i-1}, x_{i}] }{\min f(x)}+ \frac{\varepsilon}{b-a} \right)\). Así, \(G_{f} \subseteq \bigcup_{i=1}^{m} C_{i}\) y

\[V(C_{i}) = \frac{b-a}{m} \frac{\varepsilon}{b-a} = \frac{\varepsilon}{m} \implies \sum_{i=1}^{m} V(C_{i}) = m \frac{\varepsilon}{m} = \varepsilon.\]

Ejercicio

Para \(f:D =[a_{1}, b_{1}] \times [a_{2}, b_{2}] \to \mathbb{R}\), defina \(G_{f} = \{ (x,y,f(x,y)):(x,y) \in D \} \subseteq \mathbb{R}^{3}\). Mostrar que \(V(G_{f}) = 0\).

Definición (Partición de una caja)

Dada una caja \(C\), una partición de \(C\) es una colección finita de subcajas \(\{ C_{i} \}_{i=1}^{m}\) obtenida a partir de particiones \(P_{i}\) de \([a_{i},b_{i}]\). Es decir, si \(C= \prod_{i=1}^{n} [a_{i}, b_{i}]\), tomamos para cada \(i\) una partición \(P_{i} = \{ a_{i} = x_{0}^{i} < \dots < x_{\ell_{i}}^{i} = b_{i}\}\), definiendo las subcajas \(\prod_{i=1}^{n} [x_{m_{i}}^{i}, x_{m_{i}+1}^{i}]\).

Definición (Refinamiento)

Dada \(C\) una caja, \(P, Q\) particiones de \(C\). Decimos que \(P\) es un refinamiento de \(Q\) (\(P\) es más fina que \(Q\)) y escribimos \(P \leq Q\) si cada subcaja de \(Q\) es la unión finita de subcajas de \(P\).

Nota

Dadas \(P = \{ C_{1},\dots,C_{m} \}\), \(Q=\{ D_{1},\dots, D_{n} \}\), aún si no existe relación de refinamiento entre ellas, se puede construir un refinamiento \(R = \{ C_{i} \cap D_{j}, 1\leq i\leq m, 1\leq j\leq n \}\), con \(R\leq P\) y \(R \leq Q\).

Definición (Conjunto de Jordan)

Sea \(K \subseteq \mathbb{R}^n\). Decimos que \(K\) es un conjunto de Jordan si \(K\) es acotado y \(V(\partial K) = 0\).

Ejemplo

Toda caja es de Jordan.

Ejemplo

Dada una caja \(C \subseteq \mathbb{R}^n\), \(f,g: C \to \mathbb{R}\) continuas,

\[K = \{ (x, x_{n+1}) \in \mathbb{R}^{n+1}: f(x) \leq x_{n+1} \leq g(x) \}\]

es de Jordan. Nos interesa porque es el volumen entre dos funciones.

Definición (Volumen respecto a una partición)

Sean \(K \subseteq \mathbb{R}^n\) de Jordan, \(K \subseteq C\), \(C\) caja. Dada \(P = \{ C_{1}, \dots, C_{m} \}\) partición de \(C_{1}\) se define el volumen \(K\) cono respecto a \(P\) como

\[v(K,P) = \sum_{C_{j}\cap \bar{K}\neq \emptyset} v(C_{j}).\]

Se toma \(v(\emptyset, P) = 0\).

Ejercicio

Para cualesquiera particiones \(P\) y \(Q\) con \(Q\) más fina que \(P\), dado un conjunto \(K\) de Jordan, se cumple que

\[v(K,Q) \leq V(K,P).\]

Definición (Volumen de un conjunto)

Dado \(K\) un conjunto de Jordan y \(C\) una caja, el volumen de \(K\) es

\[v(K) = \inf \{ v(K,P): \quad P \text{ patición de } C\}.\]

Si \(K\) es una caja, el volumen coincide con la definición de volumen de una caja.

Lema (Independencia del volumen)

El volumen de \(K\) es el mismo independientemente de la caja que se escoja.

Prueba: Sean \(C,D\) cajas que contienen a \(K\). Basta considerar el caso en que \(K \subseteq C \subseteq D\), (pues \(C \cap D\) es una caja). Defina

\[\begin{aligned} v_{C}(K) &= \inf \{ v(K,P): \quad P \text{ patición de } C\},\\ v_{D}(K) &=\inf \{ v(K,P): \quad P \text{ patición de } D\}. \end{aligned}\]

Como \(C \subseteq D\), toda partición de \(C\) se puede completar a una partición de \(D\). Así,

\[v_{D}(K) \leq v_{C}(K).\]

Tome \(P = \{ C_{1}, \dots, C_{m} \}\) partición de \(D\). Al intersecar las cajas en \(P\) con \(C\), se obtiene un refinamiento \(Q = \{ D_{1}, \dots, D_{\ell} \}\) de \(P\). Sean \(Q_{C}\) las subcajas que intersecan a \(C\). Luego,

\[\begin{aligned} v(K,P) &= {\sum_{C_{j} \in P, \, C_{j} \cap \bar{K} \neq \emptyset}} v(C_{j}) \quad \geq \quad \sum_{D_{j} \in Q, \, D_{j} \cap \bar{K} \neq \emptyset} v(D_{j})\\ &= v(K, Q) = v(K, Q_{c}) \geq v_{c}(K). \end{aligned}\]

Al tomar \(\inf\) sobre \(P\), tenemos que \(v_{D}(K) \geq v_{C}(K)\). Así, se concluye que \(v_{D}(K) = v_{C}(K)\).

Ejemplo

Dada \(f:[a,b]\to \mathbb{R}^{+}\) continua. Sean \(B=\{ (x,y)\in \mathbb{R}^{2}, a\leq x\leq b, 0\leq y\leq f(x)\}\). Veamos que \(\int_{a}^{b} f(x) \, dx = v(B)\).

Prueba: Sea \(M>0\) tal que \(B \subseteq [a,b] \times [0,M]\). Sea \(\varepsilon>0\). Como \(f\) es uniformemente continua, tome \(\delta>0\) tal que

\[\forall x,y \in [a,b], \lvert x-y \rvert < \delta \implies \lvert f(x) - f(y) \rvert < \varepsilon.\]

Tome \(m > \frac{b-a}{\delta}\) y considere la partición \(P_{x} = \{ a=x_{0} < x_{1} < \dots < x_{m} = b\}\).= con \(x_{i+1} - x_{i} < \delta\) . Luego, el gráfico de \(f\) está cubierto por cajas \(C_{i} = [x_{i-1},x_{i}] \times J_{i}\) con \(\lvert J_{i} \rvert < \varepsilon\) para \(i \in \{ 1,\dots,m \}\). Además, \(J_{i} \subseteq [0, M+\varepsilon]\). Tome

\[Q = \{ \underbrace{ D_{1},\dots,D_{r} }_{ \text{cubrir gráfico} }, \underbrace{ E_{1},\dots, E_{p} }_{ \text{debajo del gráfico} }, \underbrace{ F_{1},\dots,F_{n} }_{ \text{encima del gráfico} } \}.\]

Así

\[\begin{aligned} \sum_{k=1}^{p} v(E_{k}) \leq \int_{a}^{b} f(x) \, dx &\leq \sum_{k=1}^{p} v(E_{k})+ \sum_{k=1}^{r} v(D_{k}) = v(B,Q) = \sum_{C_{i} \cap \bar{K} \neq \emptyset} v(C_{i}) \\ \implies v(B,Q) - \int_{a}^{b} f(x) \, dx & \leq v(B,Q) - \sum_{k=1}^{p} v(D_{k}) = \sum_{k=1}^{r} v(D_{k}) \\ &= \sum_{i=1}^{m} v(C_{i}) = \sum_{i=1}^{m} (x_{i}-x_{i-1})\lvert J_{i} \rvert \\ &= \sum_{i=1}^{m} \frac{b-a}{m} \lvert J_{i} \rvert < \sum_{i=1}^{m} \frac{b-a}{m} \lvert \varepsilon \rvert = \varepsilon(b-a). \end{aligned}\]

Así, para todo \(\varepsilon>0\) existe una partición \(Q\) de \([a,b] \times [0, M+\varepsilon]\) tal que

\[\int_{a}^{b} f(x) \, dx \leq v(B, Q) \leq \int_{a}^{b} f(x) \, dx + \varepsilon(b-a).\]

Tomando ínfimo sobre \(Q\), tenemos que \(\int_{a}^{b} f(x) \, dx = v(B)\).

Lema (Unión e intersección de conjuntos de Jordan)

Sean \(K_{1}, K_{2}\) de Jordan en \(\mathbb{R}^n\). Entonces:

1. \(K_{1} \cup K_{2}\) y \(K_{1} \cap K_{2}\) son de Jordan.
2. \(v(K_{1} \cup K_{2}) = v(K_{1}) + v(K_{2}) - v(K_{1} \cap K_{2})\).

Prueba: Para 1, note que \(K_{1} \cap K_{2}\) y \(K_{1} \cup K_{2}\) son acotados. Además, como \(\partial (K_{1} \cup K_{2}) \subseteq \partial K_{1} \cup \partial K_{2}\) y \(\partial (K_{1} \cap K_{2}) \subseteq \partial K_{1} \cup \partial K_{2}\), entonces \(K_{1} \cup K_{2}\), \(K_{1} \cap K_{2}\) son de Jordan.

Definición (Suma de Riemann)

Dada \(f: C \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) con \(C\) caja. Sea \(P = \{ C_{1},\dots, C_{k} \}\) una partición de \(C\). Se define una suma de Riemann de \(f\) con respecto a \(P\) como una suma de la forma

\[S(f,P, \xi_{1},\dots,\xi_{k}) = \sum_{i=1}^{k} f(\xi_{i}) V(C_{i}), \quad \text{con }\xi_{i} \in C_{i}.\]

Usualmente escribimos \(S(f,P, \xi_{1},\dots,\xi_{k}) = S(f,P)\) por conveniencia.

Nota

1. Si \(f(\xi_{i}) = \underset{x \in C_{i}}{\sup} f(x)\), se obtiene una suma superior, y si \(f(\xi_{i}) = \underset{x \in C_{i}}{\inf} f(x)\).
2. Si \(f\) es acotada (\(\forall x \in C (m \leq f(x) \leq M)\)), \(m v(C) \leq S(f, P) \leq Mv(C)\) para cualquier escogencia de \(\{ \xi_{i} \}_{i=1}^{n}\).

Definición (Riemann-integrabilidad)

Decimos que \(f:C \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) es Riemann-integrable si existe \(I \in \mathbb{R}\) tal que para todo \(\varepsilon > 0\) existe \(P_{\varepsilon}\) una partición de \(C\) tal que para toda partición \(P = \{ C_{1},\dots,C_{k} \} \leq P_{\varepsilon}\) cualquier escogencia de \(\{ \xi_{i} \}_{i=1}^{n}\), se cumple que

\[\lvert S(f, P, \xi_{1}, \dots, \xi_{k}) - I \rvert < \varepsilon.\]

Escribimos que \(\int_{C} f = I\). (Para \(n=2,3\), podemos escribir integrales dobles, triples).

Nota

1. \(I\) es único, pues si existen \(I_{1}, I_{2}\) que satisfacen la definición,

\[\lvert I_{1} - I_{2} \rvert \leq \lvert I_{1} - S \rvert + \lvert I_{2} - S \rvert < 2\varepsilon\]

1. \(C = \prod_{i=1}^{n} [a_{i}, b_{i}]\). Si existe \(i\) tal que \((a_{i}=b_{i})\), entonces \(V(C) = \prod_{i=1}^{n} (b_{i}-a_{i}) = 0\), de donde concluimos que \(\int_{C} f = 0\).

Teorema (Cauchy)

Sea \(f:C\subseteq \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}\) con \(C\) caja. Entonces \(f\) es Riemann-integrable en \(C\) si y solo si para todo \(\varepsilon>0\) existe \(P_{\varepsilon}\) partición de de \(C\) tal que para todas particiones \(P,Q\) más finas que \(P_{\varepsilon}\), se tiene que \(\lvert S(f,P) - S(f,Q) \rvert < \varepsilon\) para cualquier escogencia de los \(\xi_{i}\).

Prueba: (\(\implies\)): Suponga que \(f\) es Riemann-integrable. Entonces

\[\lvert S(f,P) - S(f,Q) \rvert \leq \lvert S(f,P)-I \rvert + \lvert S(f,Q) - I \rvert < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.\]

(\(\impliedby\)) : Suponga la hipótesis. Para \(\varepsilon = 1\), defina \(Q_{1} = P_{1}\). Para \(n \in \mathbb{N}\), tome \(P_{\frac{1}{n}}\) como la partición proveniente de la hipótesis para \(\varepsilon = \frac{1}{n}\) y defina inductivamente \(Q_{n}\) como un refinamiento de \(P_{\frac{1}{n}}\) y \(Q_{n-1}\). Así, para todo \(n < m\),

\[\lvert S(f,Q_{n}) -S(f,Q_{m}) \rvert < \frac{1}{n}.\]

Para cada \(n\), fije \(\{ \xi_{i} \}\) (nodos “interiores izquierdos”). Sean \(S_{n} = S(f,Q_{n}, \{ \xi_{i} \})\). Así, la sucesión \((S_{n})_{n \in \mathbb{N}}\) es de Cauchy y por tanto converge a un valor \(I \in \mathbb{R}\). Sea \(\varepsilon>0\). Tome \(N \in \mathbb{N}\) tal que \(\frac{1}{N} < \frac{\varepsilon}{3}\) y tal que \(\lvert S_{n} - I \rvert < \frac{\varepsilon}{3}\). Sea \(Q_{\varepsilon}\) la partición de unir \(P_{\varepsilon}\) y \(Q_{n}\). Si \(P\) es más fina que \(Q_{\varepsilon}\), entonces,

\[\begin{aligned} \lvert S(f,P) - I \rvert &\leq \lvert S(f,P) - S(f, Q_{\varepsilon}) \rvert + \lvert S(f, Q_{\varepsilon}) - S_{n} \rvert + \lvert S_{n}-I \rvert \\ & \leq \frac{1}{n} + \frac{1}{n} + \frac{\varepsilon}{3} < \varepsilon, \end{aligned}\]

pues \(P \geq Q_{\varepsilon} \geq P_{\varepsilon}\) y \(Q_{n} \geq P_{\varepsilon}\).

Lema (Acotación de sumas y particiones)

Sean \(f:C \subseteq \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}\), \(P = \{ C_{1},\dots C_{m} \}\) partición de \(C\). Sea \(Q = \{ D_{1},\dots,D_{p} \}\) partición de \(C\) más fina que \(P\). Entonces,

\[\lvert S(f, Q, \{ \xi_{j} \}) - S(f, P, \{ \eta_{k} \}) \rvert \leq \sum_{i=1}^{m} (M_{i}-m_{i})v(C_{i})\]

para cualquier escogencia de \(\{ \xi_{j} \}, \{ \eta_{k} \}\) de \(P\) con

\[M_{i} = \sup \{ f(x):x \in C_{i} \}, \quad m_{i} = \inf \{ f(x): x \in C_{i} \}.\]

Prueba: Como \(Q\) es más fina que \(P\), para todo \(i \in \{ 1,\dots, m \}\), se tiene que \(C_{i} = D_{i_{1}} \cup \dots \cup D_{i_{\ell}}\). Así, \(\xi_{i_{1}}, \dots, \xi_{i_{\ell}} \in C_{i}\). Para \(\eta_{i} \in C_{i}\), se tiene que

\[\begin{aligned} \left\lvert f(\eta_{i}) v(C_{i}) - \sum_{r=1}^{\ell} f(\xi_{i_{r}}) v(D_{i_{r}}) \right\rvert &= \left\lvert \sum_{r=1}^{\ell} (f(\eta_{i}) - f(\xi_{irr})) v(D_{i_{r}}) \right\rvert \\ & \leq \sum_{r=1}^{\ell} \lvert f(\eta_{i}) - f(\xi_{i_{r}})\rvert v(D_{i_{r}}) \\ & \leq \lvert M_{i} - m_{i} \rvert \sum_{r=1}^{\ell} v(D_{i_{r}}) \\ &=(M_{i}-m_{i}) v(C_{i}). \end{aligned}\]

Así, \(\lvert S(f, Q, \{ \xi_{j} \}) - S(f, P, \{ \eta_{k} \}) \rvert \leq \sum_{i=1}^{m} (M_{i}-m_{i})v(C_{i}) < \varepsilon\).

Teorema (Riemann)

Dada \(f:C \subseteq \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}\) acotada, con \(C\) caja, es Riemann integrable si y solo si para todo \(\varepsilon>0\) existe \(P_{\varepsilon}\) partición de \(C\) tal que si \(P = \{ C_{1},..,C_{m} \}\) es refinamiento de \(P_{\varepsilon}\), entonces \(\sum_{i=1}^{m}(M_{i}-m_{i})v(C_{i}) < \varepsilon\).

Prueba: (\(\implies\)) Sea \(\varepsilon>0\). Tome \(P_{\varepsilon}\) una partición con \(\lvert S(f,P, \xi_{1}, \dots, \xi_{k}) \rvert < \varepsilon\) para toda partición \(P = \{ C_{1}, \dots, C_{m} \}\) más fina que \(P_{\varepsilon}\) y toda elección de \(\xi_{i} \in C_{i}\). Elija \(z_{i}\), \(y_{i} \in C_{i}\) tales que \(M_{i} - \varepsilon < f(y_{i})\) y \(f(z_{i}) < m_{i} + \varepsilon\). Así, \(M_{i}-m_{i} < f(y_{i}) - f(z_{i}) + 2\varepsilon\) para todo \(1 \leq i \leq m\). Luego,

\[\begin{aligned} \sum_{i=1}^{m} (M_{i}-m_{i}) v(C_{i}) &\leq \left( \sum_{i=1}^{m} f(y_{i}) v(C_{i}) - I \right) - \left( \sum_{i=1}^{m} f(z_{i}) v(C_{i}) - I \right) + 2\varepsilon v(C_{i}) \\ & < 2\varepsilon + 2\varepsilon v(C) = \varepsilon(1 + 2 v(C)). \end{aligned}\]

\((\impliedby):\) Sea \(\varepsilon>0\) y \(P_{\varepsilon} = \{ C_{1},\dots,C_{m} \}\) como en la hipótesis. Como \(P_{\varepsilon}\) es un refinamiento de sí misma, entonces,

\[\sum_{i=1}^{m} (M_{i}-m_{i})v(C_{i}) < \varepsilon.\]

Si \(P,Q\) son más finas que \(P_{\varepsilon}\), entonces, por el lema anterior,

\[\begin{aligned} \lvert S(f,P) - S(f,Q) \rvert &\leq \lvert S(f,P) - S(f, P_{\varepsilon}) \rvert + \lvert S(f,P_{\varepsilon}) - S(f,Q) \rvert \\ &\leq 2 \sum_{i=1}^{m} (M_{i}-m_{i}) v(C_{i}) < 2\varepsilon. \end{aligned}\]

Teorema (Continuidad impica Riemann-integrabilidad)

Si \(f:C \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) es continua en \(C\), entonces es Riemann-integrable en \(C\).

Prueba: Como \(C\) es compacto, \(f\) es uniformemente continua. Sea \(\varepsilon>0\). Existe \(\delta>0\) tal que para \(x,y \in C\) con \(\lVert x-y \rVert < \delta\), se tiene que \(\lvert f(x) - f(y) \rvert < \frac{\varepsilon}{v(C)}\). Sea \(P_{\varepsilon}\) partición de \(C\) tal que para todos \(x,y\) en cada subcaja se tiene que \(\lVert x-y \rVert<\delta\). Si \(P = \{ C_{1},\dots,C_{m} \}\) es más fina que \(P_{\varepsilon}\), se tiene que \(M_{i}-m_{i} < \frac{\varepsilon}{v(C)}\) para todo \(1\leq i\leq m\), y así, \(\sum_{i=1}^{m} (M_{i}-m_{i})v(C_{i}) < \varepsilon v(C)\).

Lema (Discontinuidad en conjunto de volumen cero)

Sea \(f:C \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) acotada en caja \(C\), continua en \(C \setminus D\), con \(D \subseteq C\) un conjunto de volumen cero. Entonces \(f\) es Riemann-integrable en \(C\).

Prueba: Sea \(\varepsilon>0\). Como \(v(D) = 0\), existen \(C_{1}, \dots, C_{m} \subseteq C\) con \(D \subseteq \bigcup_{i=1}^{m} C_{i}\) y \(\sum_{i=1}^{m} v(C_{i}) < \varepsilon\). Complete \(\{ C_{1},\dots, C_{m} \}\) a una partición \(\{ C_{1}, \dots, C_{m} \}\) a una partición \(\{C_{1},\dots,C_{m},\dots,C_{p}\}\) de \(C\). Por continuidad, \(f\) es integrable en \(C_{m+1},\dots,C_{p}\). Para \(j \in \{ m+1,\dots,p \}\), por Riemann-integrabilidad, existen \(P_{\varepsilon}^{j}\) que satisfacen la definición para \(\frac{\varepsilon}{p-m}>0\).

Sea \(P_{\varepsilon}\) una partición de \(C\) tal que las subcajas de \(P_{\varepsilon}\) que están en \(C_{j} \ (j=m+1,\dots,p)\) forman una partición más fina que \(P_{\varepsilon}^{j}\). Sin pérdida de generalidad, tome \(P_{\varepsilon}\) tal que \(C_{j} \, (j=m+1,\dots,p)\) es una unión finita de cajas de \(P_{\varepsilon}\).

Dada una partición \(Q = \{ D_{1},\dots,D_{q} \}\) más fina que \(P_{\varepsilon}\), suponga que existe \(r \in \mathbb{N}\) tal que \(Q_{D} = \{D_{1},\dots,D_{r}\} \subseteq \{ C_{1},\dots, C_{m} \}\) y \(Q_{C} = \{ D_{r+1},\dots,D_{q} \} \subseteq \{ C_{m+1},\dots,C_{p} \}\). Así,

\[\begin{aligned} \left\lvert S(f,Q, \xi_{1},\dots,\xi_{q}) - \sum_{j=m+1}^{p} \int_{C_{j}} f \,\right\rvert &\leq \lvert S(f,Q_{D}, \xi_{1},\dots,\xi_{r}) \rvert + \left\lvert S(f,Q_{C}, \xi_{r+1},\dots,\xi_{q}) - \sum_{j=m+1}^{p} \int_{C_{j}} f \right\rvert \\ &\leq \sum_{j=1}^{r} \lvert f(\xi_{j}) \rvert v(D_{j}) + \sum_{j=m+1}^{p} \left\lvert S(f,C_{j}) - \int_{C_{j}}f \right\rvert \\ &\leq M \varepsilon + (p-m) \frac{\varepsilon}{p-m}. \end{aligned}\]

Definición (Riemann-integrabilidad en conjuntos de Jordan)

Sea \(f:K \subseteq \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}\) con \(K\) de Jordan. Sea \(C\) una caja con \(C \supseteq K\). Definimos la extensión por cero de \(f\) en \(C\) como

\[f^{C}(x) = \begin{cases} f(x), \quad \text{si } x \in K \\ 0, \quad \text{si } x \not\in K. \\ \end{cases}\]

Se dice que \(f\) es Riemann-integrable en \(K\) si \(f^{C}\) es Riemann-integrable en \(C\). Se escribe \(\int_{K} f = \int_{T} f^{c}\).

Nota

La definición es independiente de \(C\), pues \(\int_{C_{1}} f^{C_{1}} = \int_{C_{2}} f^{C_{2}}\) para cajas \(C_{1} \supseteq K\), \(C_{2} \supseteq K\).

Prueba: Dado \(\varepsilon>0\), tome \(P_{\varepsilon}, Q_{\varepsilon}\) particiones cde \(C_{1}\) y \(C_{2}\) que cumplen la definición de Riemann integrabilidad para \(f^{C_{1}}\) y \(f^{C_{2}}\) respectivamente. Sin pérdida de generalidad, suponga que cada subcaja de \(Q_{\varepsilon}\) es una subcaja de \(P_{\varepsilon}\). Así,

\[\begin{aligned} \left\lvert \int_{C_{1}} f^{C_{1}} - \int_{C_{2}} f^{C_{2}} \right\rvert &\leq \left\lvert S(f^{C_{1}}, P\varepsilon) - \int_{C_{1}} f^{C_{1}} \right\rvert + \left\lvert S(f^{C_{1}}, P\varepsilon) - \int_{C_{2}} f^{C_{2}} \right\rvert \\ &< \varepsilon + \left\lvert S(f^{C_{1}}, P\varepsilon) - \int_{C_{2}} f^{C_{2}} \right\rvert < 2\varepsilon. \end{aligned}\]

Definición (Función característica)

Sea \(A \subseteq \mathbb{R}^n\). Se obtiene la función característica de \(A\) como \(1_{A}: \mathbb{R}^n\to \{ 0,1 \}\) con

\[1_{A}(x) = \begin{cases} 1, \quad \text{si }x \in A,\\ 0, \quad \text{si }x \not\in A. \end{cases}\]

Nota

\(1_{A \cup B} = 1_{A} + 1_{B} - 1_{A \cap B}\). Se puede probar por casos.

Lema (Volumen como integral)

Sea \(K \subseteq \mathbb{R}^n\) de Jordan. Entonces, \(\int_{K} 1 = v(K)\).

Prueba: Sea \(C\) una caja con \(K \subseteq C\) y co\(1_{C}\) la extensión por cero a \(C\). Note que \(1_{C}\) es Riemann integrable pues \(v(\partial K) = 0\). Queremos probar que

\[\int_{C} 1_{C} = \inf \{ v(K, P): P \text{ partición de }C \}.\]

Sea \(\varepsilon>0\). Como \(v(\partial K) = 0\), existen \(C_{1},\dots, C_{m}\) con \(\partial K \subseteq \bigcup_{i=1}^{m} C_{i}\) tales que \(\sum_{i=1}^{m}v(C_{i}) < \varepsilon\). De la definición de ínfimo, tome \(Q_{\varepsilon}\) una partición de \(C\) tal que

\[v(K) \leq v(K, Q_{\varepsilon}) < v(K) + \varepsilon.\]

Sea \(P_{\varepsilon}\) partición de \(C\) que satisface la definición de ser Riemann integrable para \(1_{C}\). Sin pérdida de generalidad, \(Q_{\varepsilon}=P_{\varepsilon}\) y \(C_{i}\) son subcajas de \(P_{\varepsilon} = \{ C_{1},\dots,C_{m}, C_{m+1},\dots, C_{p} \}\), con \(\{ C_{m+1},\dots, C_{n} \} \subseteq K^{\circ}\) para \(n < p\). Así,

\[\begin{aligned} \left\lvert \int_{K} 1 - v(K) \right\rvert &\leq \left\lvert \int_{K}1-v(K, P_{\varepsilon}) \right\rvert + \lvert v(K, P_{\varepsilon}) - v(K) \rvert \\ &< \left\lvert \int_{K} 1 - \sum_{i=1}^{n} v(C_{i}) \right\rvert + \varepsilon\\ &= \left\lvert \int_{C} 1_{C} - \sum_{i=1}^{n} v(C_{i}) \right\rvert + \varepsilon < 2\varepsilon, \end{aligned}\]

pues \(\sum_{i=1}^{n} v(C_{i})\) es una suma de Riemann para \(1_{C}\) sobre \(P_{\varepsilon}\).

Lema (Igualdad de funciones excepto en un conjunto de volumen cero)

Sean \(f,g: C \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) funciones definidas en la caja \(C\) tales que \(f\) es Riemann integrable y \(g\) es acotada en \(C\). Si \(g(x) = f(x)\) para todo \(x \in C \setminus D\), donde \(D \subseteq C\) es de volumen cero, entonces \(g\) es integrable en \(C\) y \(\int_{C}f = \int_{C} g\).

Prueba: Pendiente

Corolario

Si \(f:K\subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) es acotada y \(v(K)=0\), entonces \(f\) es Riemann integrable en \(K\) y \(\int_{K} f = 0\).

Prueba: Si \(C\) es una caja con \(K \subseteq C\), entonces \(f_{C}(x) = 1_{K}(x) = 0\) para todo \(x \in C \setminus K\). Luego, aplicando el lema,

\[\int_{K} f = \int_{C} f_{C} = \int_{C} 1_{K} = \int_{K} 1 = v(K) = 0.\]

Propiedades de la integral de Riemann

Teorema (Linealidad)

Sean \(f,g:K \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\), con \(K\) de Jordan, y \(f,g\) Riemann-integrables. Entonces, dado \(c \in \mathbb{R}\), \(f+cg\) es Riemann-integrable y

\[\int_{K} f+cg = \int_{K} f + c \int_{K} g.\]

Prueba: Sin pérdida de generalidad, suponga que \(K\) es una caja. Dado \(\varepsilon > 0\), tome \(P_{\varepsilon}, Q_{\varepsilon}\) que satisfacen la definición de Riemann-integrabilidad para \(f\) y \(g\) respectivamente. Sin pérdida de generalidad, suponga que \(P_{\varepsilon} = Q_{\varepsilon}\). Luego, para \(P \leq P\varepsilon\)

\[\begin{aligned} S(f+cg, P) &= \sum_{i=1}^{m} (f+cg)(\xi_{i}) v(C_{i}) \\ &=S(f,P) + cS()g,P \\ \end{aligned}\]

Así,

\[\begin{aligned} \left\lvert S(f+cg),P - \int_{K}f -c \int_{K} g\right\rvert & \leq \left\lvert S(f,P) - \int_{K} f \right\rvert + \lvert c \rvert \left\lvert S(g,P) - \int_{K} g \right\rvert \\ & <\varepsilon + \lvert c \rvert \varepsilon = \varepsilon(1 + \lvert c \rvert ). \end{aligned}\]

Teorema (Separabilidad en conjuntos)

Sean \(A,B\) de Jordan en \(\mathbb{R}^n\), \(f:A \cup B \to \mathbb{R}\) tal que \(f \mid_{A}\) y \(f \mid_{B}\) son R.I. en \(A\) y \(B\) respectivamente. Entonces

1. \(f\) es R.I. en \(A \cup B\).
2. \(\int_{A \cup B} f = \int_{A} f + \int_{B}f - \int_{A \cap B} f\).

Prueba: Se puede verificar que \(A \cap B\) es de Jordan y que \(f\) es Riemman integrable en \(A \cap B\) (pues \(A \cap B \subseteq A\)). Luego,

\[\begin{aligned} \int_{A} f + \int_{B} f - \int_{A \cap B} f &= \int_{A \cup B} 1_{A} f + \int_{A \cup B} 1_{B} f - \int_{A \cup B} 1_{A \cap B} f \\ &= \int_{A \cup B} 1_{A}f + 1_{B} f - 1_{A \cap B} f \\ &= \int_{A \cup B} 1_{A \cup B} f = \int_{A \cup B} f. \end{aligned}\]

Teorema (Construcción de funciones Riemann-integrables)

Sean \(f,g: K \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\), con \(K\) de Jordan. Suponga que ambas son Riemann-integrables en \(K\). Entonces

1. \(\lvert f \rvert\) es Riemann-integrable en \(K\)
2. Para todo \(n \in \mathbb{N}\), \(f^{n}\) es Riemann-integrable en \(K\).
3. Si existe \(\varepsilon>0\) tal que para todo \(x \in K\), \(f(x)\geq \varepsilon\), entonces \(\frac{1}{f}\) es Riemann-integrable en \(K\).
4. \(fg\) es Riemann-integrable en \(K\). (Truco: \(fg = \frac{(f+g)^{2}-f^{2}-g^{2}}{2}\)).

Teorema (Composición y Riemann-Integrabilidad)

Sea \(f:K \subseteq \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}\) Riemann-integrable en \(K\) y \(g:[c,d]\to \mathbb{R}\) continua con \(f(K) \subseteq [c,d]\). Entonces, \(g \circ f\) es Riemann-integrable en \(K\).

Integrales iteradas

Nos centraremos ahora en calcular \(\int_{K} f\) para regiones \(K\) generales.

Lema (Continuidad de integral interior)

Si \(f:[a,b] \times [c,d] \to \mathbb{R}\) es continua, entonces \(F:[c,d]\to \mathbb{R}\) dada por

\[F(y) = \int_{a}^{b} f(x,y) \, dx\]

es continua.

Prueba: Sea \(\varepsilon>0\). Por continuidad uniforme, existe \(\delta>0\) tal que para todo \(x \in [a,b]\) y para todos \(y,y_{0} \in [c,d]\), si \(\lvert y-y_{0} \rvert<\delta\) entonces \(\lvert f(x,y)-f(x,y_{0}) \rvert < \varepsilon\). Entonces,

\[\begin{aligned} \lvert F(y)-F(y_{0}) \rvert &= \left\lvert \int_{a}^{b} f(x,y) \, dx - \int_{a}^{b} f(x,y_{0}) \, dx \right\rvert\\ & \leq \int_{a}^{b} \lvert f(x,y) - f(x,y_{0}) \rvert \, dx = \varepsilon(b-a), \end{aligned}\]

de donde concluimos continuidad de \(F\).

Nota

\(G(x) = \int_{c}^{d} f(x,y) \, dy\) es continua por el mismo argumento.

Teorema (Fubini)

Sea \(f:\underbrace{ [a,b] \times [c,d] }_{ C } \to \mathbb{R}\), con \(f\) continua. Entonces

\[\int_{C} f = \int_{a}^{b} \left( \underbrace{ \int_{c}^{d} f(x,y) \, dy }_{ G(x) } \right) \, dx = \int_{c}^{d} \left( \underbrace{ \int_{a}^{b} f(x,y) \, dx }_{ F(y) } \right) \, dy.\]

Prueba: Sabemos que las 3 integrales existen porque \(f\) es continua. Además, como \(f\) es uniformemente continua en \([a,b] \times [c , d]\), dado \(\varepsilon>0\) existe \(\delta>0\) tal que \(\lvert f(x_{1},y_{1}) - f(x_{2},y_{2})\rvert < \varepsilon\) siempre que \(\lVert (x_{1}-x_{2},y_{1}-y_{2}) \rVert < \delta\). Particione \([a,b]\) en \(\{ a=x_{0}<x_{1}< \dots < x_{m} = b \}\) y \([c,d]\) en \(\{ c = y_{0} < y_{1} < \dots < y_{n} = d \}\) tal que \(\lvert x_{i+1} - x_{i} \rvert < \frac{\delta}{\sqrt{ 2 }}\) y \(\lvert y_{j+1}-y_{j} \rvert < \frac{\delta}{\sqrt{ 2 }}\) para todos \(i,j\). Como \(f\) es Riemann integrable en \(C\), sin pérdida de generalidad suponga que \(P_{\varepsilon}\) coincide con las particiones generadas para \([a,b]\) y \([c,d]\). Se tiene que

\[\begin{aligned} I_{2}:=\int_{a}^{b} \left( \int_{c}^{d} f(x,y) \, dy \right) \, dx &= \int_{a}^{b} \left( \sum_{j=1}^{n} \int_{y_{j-1}}^{y_{j}} f(x,y) \, dy \right) \, dx \\ &= \underbrace{ \int_{a}^{b} \left( \sum_{j=1}^{n} f(x,t_{j}) \cdot (y_{j}-y_{j-1}) \right) \, dx }_{ \text{por TVM para integrales con } t_{j} \in [y_{j-1}, y_{j}] } \\ &= \sum_{j=1}^{n} (y_{j}-y_{j-1}) \int_{a}^{b} f(x,t_{j}) \, dx \\ &\underset{\text{TVM}}{=} \sum_{j=1}^{n} (y_{j} - y_{j-1}) \sum_{i=1}^{m} \int_{x_{i-1}}^{x_{i}} f(x,t_{j}) \, dx \\ &= \sum_{j=1}^{n} \sum_{i=1}^{m} (y_{j}-y_{j-1}) (x_{i}- x_{i-1}) f(s_{i}, t_{j}) \\ &= S(f, P_{\varepsilon}, \{ (s_{i},t_{j}) \}). \end{aligned}\]

De manera análoga, existen \(p_{i} \in [x_{i-1}, x_{i}]\) y \(q_{j} \in [y_{j-1}, y_{j}]\) tales que

\[I_{3}:= \int_{c}^{d} \left( \int_{a}^{b} f(x,y) \, dx \right) \, dy = S(f, P_{\varepsilon}, \{ (p_{i}, q_{j}) \}).\]

Así,

\[\begin{aligned} \lvert I_{2}-I_{3} \rvert & \leq \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} (y_{j} - y_{j-1})(x_{i}-x_{i-1}) \lvert f(s_{i},t_{j}) - f(p_{i}, q_{j}) \rvert \\ & < \varepsilon(b-a)(d-c) \end{aligned}\]

pues \(\lVert (s_{i},t_{j}) - (p_{i}, q_{i}) \rVert = \sqrt{ (s_{i}-p_{i})^{2} +(t_{j}-q_{j})^{2}} \leq \sqrt{ \frac{\delta^{2}}{2} + \frac{\delta^{2}}{2} } = \delta\). De esta manera, \(I_{2} = I_{3}\). Finalmente,

\[\left\lvert \int_{C} f - I_{2}\right\rvert = \left\lvert \int_{C} f - S(f,P_{\varepsilon}, \{ (s_{i},t_{j}) \}) \right\rvert < \varepsilon\]

por definición de Riemann integrabilidad.

Nota (Integrales triples)

Si \(f:[a,b]\times[c,d] \times[e,f]\to \mathbb{R}\) continua, podemos generalizar Fubini para cualquier orden de integración, y el desarrollo de la prueba es análogo. Lo mismo para cualquier reordenamiento de funciones de \(\mathbb{R}^n\) a \(\mathbb{R}\).

Teorema (Fubini con discontinuidades)

Sea \(f:[a,b] \times [c,d] \to \mathbb{R}\) una función Riemann integrable tal que para todo \(y \in [c,d]\), la función \(f(\cdot,y):[a,b] \to \mathbb{R}\) posee una cantidad finita de discontinuidades. Entonces,

\[F:[c,d]\to \mathbb{R}, \quad F(y) = \int_{a}^{b} f(x,y) \, dy\]

es integrable y

\[\int_{[a,b] \times [c,d]} f = \int_{c}^{d} \left( \int_{a}^{b} f(x,y) \, dx \right) \, dy.\]

Prueba: Se tiene que \(F(y)\) está bien definida, pues por por hipótesis \(f(\cdot,y)\) tiene una cantidad finita de discontinuidades. Dado \(\varepsilon>0\), tome \(P_{\varepsilon}\) de la definición de Riemann integrabilidad. Sean \(\{ x_{0},\dots, x_{n} \}, \{ y_{0},\dots,y_{m} \}\) particiones de \([a,b]\) y \([c,d]\), respectivamente, generadas por \(P_{\varepsilon}\). Se tiene

\[\begin{aligned} S(F, \{ y_{j} \}, \{ \xi_{j} \}) &= \sum_{j=1}^{m} F(\xi_{j})(y_{j}-y_{j-1}) \\ &= \sum_{j=1}^{m} \int_{a}^{b} f(x, \xi_{j})(y_{j}-y_{j-1}) \, dx \end{aligned}\]

para cualquier selección de \(\{ \xi_{1},\dots,\xi_{m} \}\) con \(x_{j-1} < \xi_{j} < x_{j}\). Como \(f(\cdot, \xi_{j})\) es Riemann integrable en \([a,b]\), existe una suma de Riemann \(S(f(\cdot, \xi_{j}))\) sobre una partición \(Q\) de \([a,b]\) más fina que \(\{ x_{j} \}_{j=0}^{n}\) tal que

\[\left\lvert \int_{a}^{b} f(x, \xi_{j}) \,dx - S(f(\cdot, \xi_{j})) \right\rvert < \varepsilon.\]

Note que la partición generada por \(Q\) y \(\{ y_{0},\dots, y_{m} \}\) de \([a,b] \times [c,d]\) es más fina que \(P_{\varepsilon}\) y

\[\sum_{j=1}^{m} S(f(\cdot, \xi_{i}))(y_{j}-y_{j-1})\]

es una suma de Riemann para \(f\) sobre esa partición. Así

\[\begin{aligned} \left\lvert \int_{C} f - S(F, \{ y_{j} \}, \{ \xi_{j} \} ) \right\rvert &\leq \left\lvert \int_{C} f - \sum_{j=1}^{m} S(f(\cdot, \xi_{i}))(y_{j}-y_{j-1}) \right\rvert \\ &\quad + \left\lvert \sum_{j=1}^{m} S(f(\cdot, \xi_{i}))(y_{j}-y_{j-1}) - \sum_{j=1}^{m} \int_{a}^{b} f(x, \xi_{j})(i_{j}-y_{j-1}) \, dx \right\rvert \\ & <\varepsilon + \sum_{j=1}^{m} \left\lvert S(f(\cdot, \xi_{i})) - \int_{a}^{b} f(x, \xi_{j}) \, dx \right\rvert (y_{j}-y_{j-1}) \\ & < \varepsilon(1+d-c), \end{aligned}\]

de donde concluimos que \(F\) es Riemann integrable en \([c,d]\) y \(\int_{C} = \int_{c}^{d} F(y) \, dy\).

Lema (área entre gráficos)

Sean \(\phi, \psi:[a,b]\to \mathbb{R}\) continuas, con \(\phi(x) \leq \psi(x)\) para todo \(x \in [a,b]\). Defina

\[A = \{ (x,y): a\leq x\leq b, \phi(x) \leq y \leq \psi(x) \}.\]

Si \(f:A\to \mathbb{R}\) es continua, entonces \(\int_{A} f = \int_{a}^{b}\left( \int_{\phi(x)}^{\psi(x)}f(x,y) \, dy \right) \, dx\).

Prueba: Sabemos que \(A\) es de Jordan y \(f\) es continua. Por tanto, \(f\) es Riemann integrable en \(A\). Por definición de \(\int_{A} f\), ocupo una caja \(C \supseteq A\). Defina

\[f^{C}(x) = \begin{cases} f(x), \quad x \in A \\ 0, \quad x \in C \setminus A \end{cases}\]

Así, \(\int_{A} f = \int_{C} f^{C} = \int_{c}^{d} \int_{e}^{\text{f}} f^{C}(x,y) \, dy \, dx = \int_{a}^{b} \int_{e}^{f} f^{C}(x,y)\, dy \, dx\). Desarrollando:

\[\begin{aligned} \int_{a}^{b} \int_{e}^{\text{f}} f^{C}(x,y)\, dy \, dx &= \int_{a}^{b} \left( \underbrace{ \int_{e}^{\phi(x)} f^{C} \, dy }_{ 0 } + \int_{\phi(x)}^{\psi(x)} f^{C} \, dy + \underbrace{ \int_{\phi(x)}^{\text{f}} f^{c} \, dy }_{ 0 } \right) \, dx \\ &= \int_{a}^{b} \int_{\phi(x)}^{\psi(x)} f(x,y) \, dy \, dx. \end{aligned}\]

Ejemplo

Calcule el volumen de la región limitada por \(x^{2}+y^{2}\leq 9\), \(y^{2}-x^{2} \leq 1\). Desarrollando algebraicamente

\[y^{2}-x^{2} = 1 \implies y = \pm \sqrt{ 1+x^{2} }.\]

Note que en esta relación, \(\lvert y \rvert\geq1\) y \(y=x\) para todo \((x,y) \in A\). Encontremos las intersecciones entre ambas relaciones:

\[\begin{aligned} x^{2}+y^{2}&=9\\ y^{2}-x^{2}&=1\\ \implies 2y^{2} &= 10, \end{aligned}\]

de donde obtenemos que \(y = \pm \sqrt{ 5 }, x = \pm 2\). Ocupo

\[v(A) = \int_{A} 1 = \int_{?} \int_{?} \, dy \, dx = \int_{?} \int_{?}\, dx \, dy.\]

Para calcular los límites de integración, es útil ayudarse con los dibujos. Calculemos primero integrando primero sobre \(y\) y luego sobre \(x\) (“tipo 1”).

\[\begin{aligned} v(A) &= \underbrace{ \int_{-3}^{-2} \int_{-\sqrt{ 9-x^{2} }}^{\sqrt{ 9-x^{2} }} 1 \, dy \, dx }_{ I_{1} }+ \int_{-2}^{2} \int_{-\sqrt{ 1+x^{2} }}^{\sqrt{ 1+x^{2} }} 1 \, dy \, dx + \int_{2}^{3} \int_{-\sqrt{ 9-x^{2} }}^{\sqrt{ 9-x^{2} }} \, dy \, dx \\ &= \end{aligned}\]

Si integramos primero sobre \(x\) y luego sobre \(y\) (“tipo 2”)

\[\begin{aligned} v(A) &= \int_{-1}^{1} \int_{-\sqrt{ 9-y^{2} }}^{\sqrt{ 9-y^{2} }} 1 \, dx \, dy +\int_{1}^{\sqrt{ 5 }} \int_{-\sqrt{ 9-y^{2} }}^{-\sqrt{ y^{2}-1 }} 1\, dx \, dy + \int_{1}^{\sqrt{ 5 }} \int_{\sqrt{ 9-y^{2} }}^{\sqrt{ y^{2}-1 }} \, 1 dx \, dy \\ & \quad + \int_{-1}^{\sqrt{ -5 }} \int_{-\sqrt{ 9-y^{2} }}^{-\sqrt{ y^{2}-1 }} \, 1 dx \, dy + \int_{-1}^{\sqrt{ -5 }} \int_{\sqrt{ 9-y^{2} }}^{\sqrt{ y^{2}-1 }} \, 1 dx \, dy \end{aligned}\]

Teorema (Integración con finitud de discontinuidades)

Sea \(f:[a,b] \times [c,d] \to \mathbb{R}\) tal que para todo \(y \in [c,d]\), la función \(f(\cdot, y):[a,b] \to \mathbb{R}\) tiene una cantidad finita de discontinuidades. Entonces:

1. \(F:[c,d] \to \mathbb{R}\), \(F(y) = \int_{a}^{b} f(x,y) \, dx\) es R.I.
2. \(\int_{[a,b]\times[c,d]}f = \int_{c}^{d} F(y) dy = \int_{c}^{d} \left( \int_{a}^{b} f(x,y) \, dx \right) \, dy\).

Idea

En 2 dimensiones, \(\int_{K} f = \int_{a}^{b} \int_{\psi(X)}^{\phi(x)} f \, dy \, dx\)

Ejemplo

Calcule el volumen de una esfera de radio \(r\):

\[K = \{ (x,y,z):x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq r \}.\]

Tenemos que el volumen de la esfera viene dado por

\[\int_{-r}^{r} \int_{-\sqrt{ r^{2}-x^{2} }}^{\sqrt{ r^{2}-x^{2} }} \int_{-\sqrt{ r^{2}-x^{2}-y^{2}}}^{\sqrt{ r^{2}-x^{2}-y^{2}}} 1 \, dx \, dy \, dx\]

Ejemplo

Calcule el volumen en el primer octante limitado por el plano \(2x+3y+z=6\). Tenemos que

\[V = \int_{0}^{2} \int_{0}^{(6-3y)/2} \int_{0}^{6-2x-3y} \, dz \, dx \, dy = \int_{0}^{6} \int_{0}^{(6-z)/3} \int_{0}^{(6-z-3y)/2} \, dx \, dy \, dz.\]

Para el primer orden, analizamos primero sobre el plano \(xy\), y para el segundo sobre el plano \(yz\).

Ejemplo

Calcule \(\int \int \int_{K} f \,dz \,dy \,dx\), con \(K\) en el primer octante limitado por

\[\begin{aligned} P_{1}&: x=0 \\ P_{2}&: y=0 \\ P_{3}&: z=0 \\ \pi_{1}&: 2x+4y+3z = 36 \\ \pi_{2}&: x+y+z = 11 \\ \pi_{3}&: 2x+3z = 24. \end{aligned}\]

Cambio de variable

En una dimensión, tenemos que si \(f\) es continua y \(g:[a,b]\to \mathbb{R}\) es una función derivable con primera derivada continua, entonces

\[\int_{g(a)}^{g(b)} f(x) \, dx = \int_{a}^{b} f(g(t)) g'(t) \, dt.\]

Además, esto se puede relajar a \(f\) integrable en \(g([a,b])\) y \(g\) monótona en \([a,b]\), en cuyo caso se usa \(\lvert g'(t) \rvert\) en la integral

Teorema (Cambio de variable)

Generalización de Integral de Riemann (MA0350, sustitución en una variable). Usa Determinantes (MA0360). Sea \(A \subseteq \mathbb{R}^n\) un conjunto abierto, \(g:A\to \mathbb{R}^n\) inyectiva y continuamente diferenciable en \(A\) con \(\det J_{g}(x) \neq 0\) para todo \(x \in A\). Si \(K\) es de Jordan, \(\bar{K} \subseteq A\), entonces

\[\int_{g(K)} f = \int_{K} (f \circ g) \lvert \det J_{g} \rvert. \ \tag{*}\]

Lema (Imagen de una caja bajo \(g\) es de Jordan)

1. Si \(K \subseteq A\) es de Jordan entonces \(g(K)\) es de Jordan
2. Si \(v(K) = 0\) entonces \(v(g(K)) = 0\)

Lema (Volumen bajo transformaciones)

Sea \(C \subseteq \mathbb{R}^n\) una caja, \(g:C\to \mathbb{R}^n\) lineal e inyectiva. Entonces,

\[v(g(C)) = \int_{g(C)} 1 = \int_{C} \lvert \det J_{g} \rvert\]

Lema (Composición de cambios de variable)

Si \((*)\) es válido para \(g:A\to \mathbb{R}^n\), \(h:B\to \mathbb{R}^n\) con \(g(A) \subseteq B\), entonces es válido para \(h \circ g: A \to \mathbb{R}^n\).

Lema

Si \((*)\) es válido para \(f \equiv 1\), entonces es válido para cualquier función.

Ejemplos de cambios de variable

1. Coordenadas elípticas: Para elipses de la forma

\[\left( \frac{x}{a} \right)^{2} + \left( \frac{y}{b} \right)^{2} = 1,\]

hacer el cambio de variable \(x = a r \cos \theta, y = br \sin \theta\), con \(r \in [0,1]\) y \(\theta \in [0,2\pi]\), entonces \(\lvert \det J_{g} \rvert = abr \neq 0\) para todo \(r \neq 0\).