Interior de un conjunto
Definición (Punto interior e interior de un conjunto)
Sea \((E, d)\) un espacio métrico y \(A \subseteq E\). Decimos que \(x_{0} \in A\) es un punto interior de \(A\) si existe \(r > 0\) con \(B(x_{0}, r) \subseteq A\). El interior de \(A\), denotado \(A^{\circ}\), es el conjunto de los puntos interiores de \(A\).
Lema (\(A^{\circ}\) es el mayor abierto contenido en \(A\))
Sea \(G \subseteq A\) con \(G\) abierto. Entonces \(G \subseteq A^{\circ}\). En particular, \(A^{\circ}\) es el abierto más grande contenido en \(A\).
Prueba: Si \(x_{0} \in G\), como \(G\) es abierto existe \(r > 0\) con \(B(x_{0}, r) \subseteq G \subseteq A\), por lo que \(x_{0} \in A^{\circ}\). Concluimos que \(G \subseteq A^{\circ}\).
Ejercicio (\(A^{\circ}\) es abierto)
Pruebe que para todo \(A \subseteq E\), \(A^{\circ}\) es un conjunto abierto.
Lema (Interior de la intersección)
Sean \(A_{1}, A_{2} \subseteq E\). Entonces \((A_{1} \cap A_{2})^{\circ} = A_{1}^{\circ} \cap A_{2}^{\circ}\).
Prueba: Como \(A_{1}^{\circ} \cap A_{2}^{\circ}\) es abierto y está contenido en \(A_{1} \cap A_{2}\), por el lema previo \(A_{1}^{\circ} \cap A_{2}^{\circ} \subseteq (A_{1} \cap A_{2})^{\circ}\).
Recíprocamente, si \(x \in (A_{1} \cap A_{2})^{\circ}\), existe \(r > 0\) con \(B(x, r) \subseteq A_{1} \cap A_{2}\). Entonces \(B(x, r) \subseteq A_{1}\) y \(B(x, r) \subseteq A_{2}\), lo que implica \(x \in A_{1}^{\circ} \cap A_{2}^{\circ}\).
Ejercicio (Monotonía del interior)
Si \(A \subseteq B\) entonces \(A^{\circ} \subseteq B^{\circ}\). Sugerencia: use el lema \(G \subseteq A^{\circ}\) siempre que \(G\) sea abierto y \(G \subseteq A\).
Ejercicio (Caracterización de abierto por interior)
Dado \(B \subseteq E\), \(B\) es abierto si y solo si \(B = B^{\circ}\).
Convergencia de sucesiones y distancia entre conjuntos
Definición (Convergencia de sucesiones)
Una sucesión \(\{ x_{n} \}_{n=1}^{\infty} \subseteq E\) converge a \(x \in E\) si para todo \(\varepsilon > 0\) existe \(n_{0} \in \mathbb{N}\) tal que \(n \geq n_{0}\) implica \(d(x_{n}, x) < \varepsilon\). Se escribe \(x_{n} \to x\) cuando \(n \to \infty\).
Definición (Distancia entre conjuntos)
Dados \(A, B \subseteq E\), se define
\[d(A, B) = \inf \{ d(x, y) : (x, y) \in A \times B \}.\]En particular, para \(x \in E\) y \(A \subseteq E\), \(d(x, A) = \inf\{ d(x,a) : a \in A\}\).
Ejercicio (La distancia a un conjunto es \(1\)-Lipschitz)
| Para todo \(A \subseteq E\) y \(x, y \in E\), $$ | d(x, A) - d(y, A) | \leq d(x, y)$$. |
Clausura de un conjunto
Lema (Caracterización de la clausura por sucesiones y por distancia)
Dados \(x \in E\) y \(A \subseteq E\), son equivalentes:
- \(d(x, A) = 0\);
- existe \(\{ x_{n} \}_{n=1}^{\infty} \subseteq A\) tal que \(x_{n} \to x\) cuando \(n \to \infty\).
Prueba: \((1) \implies (2)\): Si \(d(x, A) = 0\), para cada \(n \in \mathbb{N}\) existe \(x_{n} \in A\) con \(d(x, x_{n}) < 1/n\), por lo que \(\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty} \subseteq A\) y \(x_{n} \to x\).
\((2) \implies (1)\): Si \(\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty} \subseteq A\) y \(x_{n} \to x\), entonces \(d(x, A) \leq d(x, x_{n}) \to 0\), de donde \(d(x, A) = 0\).
Definición (Clausura y puntos de adherencia)
Dado \(A \subseteq E\), la clausura de \(A\) es
\[\overline{A} = \{ x \in E : d(x, A) = 0\}.\]Sus elementos se llaman puntos de adherencia de \(A\). Inmediatamente \(A \subseteq \overline{A}\).
Proposición (Monotonía de la clausura)
Si \(A \subseteq B \subseteq E\), entonces \(\overline{A} \subseteq \overline{B}\).
Prueba: Para \(x \in E\),
\[\inf_{b \in B} d(x, b) \leq \inf_{a \in A} d(x, a),\]i.e. \(d(x, B) \leq d(x, A)\). Así, \(d(x, A) = 0\) implica \(d(x, B) = 0\).
Ejemplo (Distancia cero entre dos cerrados disjuntos)
Sean \(A = \{ n + \tfrac{1}{n} \}_{n=1}^{\infty}\) y \(B = \mathbb{Z}\). Ambos son cerrados (por ejemplo \(\mathbb{R} \setminus B = \bigcup_{n \in \mathbb{Z}} (n, n+1)\) es abierto). Sin embargo,
\[d\!\left(n + \tfrac{1}{n}, n\right) = \tfrac{1}{n} \to 0,\]de modo que \(d(A, B) = 0\).
Lema (Cerrado equivale a igual a su clausura)
Sea \(A \subseteq E\). Entonces \(A\) es cerrado si y solo si \(A = \overline{A}\).
Prueba: \((\impliedby)\): Si \(A = \overline{A}\) y \(x \notin A\), entonces \(d(x, A) > 0\). Existe \(r > 0\) con \(r \leq d(x, A)\) y entonces \(B(x, r) \cap A = \emptyset\), i.e. \(B(x, r) \subseteq E \setminus A\). Así \(E\setminus A\) es abierto y \(A\) es cerrado.
\((\implies)\): Supongamos \(A\) cerrado y tomemos \(x \in E \setminus A\). Como \(E\setminus A\) es abierto, existe \(r_{1} > 0\) con \(B(x, r_{1}) \subseteq E \setminus A\), por lo que \(B(x, r_{1}) \cap A = \emptyset\) y \(d(x, A) \geq r_{1} > 0\). Por tanto \(x \notin \overline{A}\), lo cual prueba \(\overline{A} \subseteq A\). La inclusión \(A \subseteq \overline{A}\) es inmediata.
Proposición (La clausura es un conjunto cerrado)
Para todo \(A \subseteq E\), \(\overline{A}\) es cerrado.
Prueba: Sea \(z \notin \overline{A}\), es decir \(d(z, A) = r > 0\). Veremos que \(B(z, r/2) \subseteq E \setminus \overline{A}\). Si \(w \in B(z, r/2)\) y \(a \in A\), entonces
\[r \leq d(z, a) \leq d(z, w) + d(w, a) < \tfrac{r}{2} + d(w, a),\]por lo que \(d(w, a) > r/2\) y, tomando ínfimo, \(d(w, A) \geq r/2 > 0\), i.e. \(w \notin \overline{A}\).
Ejercicio (Propiedades de la clausura sobre uniones e intersecciones)
Para \(A, B \subseteq E\):
- \(\overline{A \cup B} = \overline{A} \cup \overline{B}\);
- \(\overline{A \cap B} \subseteq \overline{A} \cap \overline{B}\).
Acumulación y frontera
Definición (Punto de acumulación)
Un punto \(x_{0} \in E\) es un punto de acumulación de \(A \subseteq E\) si para todo \(r > 0\),
\[\big(B(x_{0}, r) \setminus \{ x_{0}\}\big) \cap A \neq \emptyset.\]Es decir, toda bola centrada en \(x_{0}\) contiene puntos de \(A\) distintos de \(x_{0}\).
Ejercicio (Caracterización de los puntos de acumulación por sucesiones)
\(x_{0}\) es punto de acumulación de \(A\) si y solo si existe una sucesión \(\{ x_{n}\}_{n=1}^{\infty} \subseteq A \setminus \{x_{0}\}\) tal que \(x_{n} \to x_{0}\).
Ejemplo (Punto de acumulación único de \(\{1/n\}\))
Sea \(A = \{ 1/n : n \geq 1\}\). Entonces \(\overline{A} = A \cup \{ 0\}\) y \(0\) es el único punto de acumulación de \(A\), pues
\[B\!\left(\tfrac{1}{n}, \tfrac{1}{(n+1)^{2}}\right) \cap A = \left\{ \tfrac{1}{n}\right\} \quad \text{si } n \geq 1.\]Definición (Punto frontera y frontera de un conjunto)
Dado \(A \subseteq E\) y \(x \in E\), decimos que \(x\) es punto frontera de \(A\) si para todo \(r > 0\),
\[B(x, r) \cap A \neq \emptyset \quad\text{y}\quad B(x, r) \cap (E \setminus A) \neq \emptyset.\]Equivalentemente, \(d(x, A) = d(x, E \setminus A) = 0\).
Notación (Frontera)
La frontera de \(A\) se denota
\[\partial A = \{\text{puntos frontera de } A\} = \{ x \in E : d(x, A) = d(x, E \setminus A) = 0\} = \overline{A} \cap \overline{E \setminus A}.\]Observe que \(\partial A \subseteq \overline{A}\).
Vecindarios y densidad
Definición (Vecindario de un punto)
Dado \(x \in E\), \(V \subseteq E\) es un vecindario de \(x\) si existe \(r > 0\) tal que \(B(x, r) \subseteq V\).
Nota (Abiertos como vecindarios)
Si \(V\) es abierto, \(V\) es vecindario de cada uno de sus puntos.
Definición (Vecindario \(r\) de un conjunto)
Dado \(A \subseteq E\) y \(r > 0\), se define
\[V_{r}(A) = \{ x \in E : d(x, A) < r\}.\]En particular \(A \subseteq \overline{A} \subseteq V_{r}(A)\).
Ejercicio (Las bolas centradas en \(A\) están contenidas en \(V_{r}(A)\))
Sea \(x \notin \overline{A}\) con \(x \in V_{r}(A)\). Si \(0 < r_{1} < r - d(x, A)\), muestre que
\[B(x, r_{1}) \subseteq V_{r}(A).\]Lema (\(V_{r}(A)\) es abierto)
Si \(A \subseteq E\) y \(r > 0\), entonces \(V_{r}(A)\) es abierto.
Prueba: Sea \(x \in V_{r}(A)\) y tome \(a \in A\) con \(d(x, a) < r\). Defina \(r_{1} = r - d(x, a) > 0\). Para \(y \in B(x, r_{1})\) se tiene
\[d(y, A) \leq d(y, a) \leq d(y, x) + d(x, a) < r_{1} + d(x, a) = r,\]es decir \(y \in V_{r}(A)\). Así \(B(x, r_{1}) \subseteq V_{r}(A)\).
Proposición (La clausura es intersección de vecindarios)
Para todo \(A \subseteq E\),
\[\overline{A} = \bigcap_{r > 0} V_{r}(A).\]En particular, \(\overline{A}\) es intersección numerable de abiertos.
Prueba: Si \(x \in \overline{A}\) entonces \(d(x, A) = 0 < r\) para todo \(r > 0\), así \(x \in V_{r}(A)\). Recíprocamente, si \(x \in \bigcap_{r > 0} V_{r}(A)\) entonces \(d(x, A) < r\) para todo \(r > 0\), por lo que \(d(x, A) = 0\) y \(x \in \overline{A}\).
Definición (Conjunto denso y espacio separable)
\(A \subseteq E\) es denso en \(E\) si \(\overline{A} = E\). Un espacio métrico \((E, d)\) es separable si posee un conjunto denso y numerable.
Ejemplo (\(\mathbb{R}\) y \(\mathbb{R}^{d}\) son separables)
| $$(\mathbb{R}, | \cdot | )\(es separable pues\)\mathbb{Q}\(es denso en\)\mathbb{R}\(. En general\)(\mathbb{R}^{d}, |\cdot|)\(es separable porque\)\mathbb{Q}^{d}\(es denso en\)\mathbb{R}^{d}$$. |