Definiciones y ejemplos
Definición (Límite de una función entre espacios métricos)
Sean \((X, d), (Y, \rho)\) espacios métricos, \(f : X \to Y\), \(a \in X\) y \(\ell \in Y\). Decimos que \(\lim_{z \to a} f(z) = \ell\) si para todo \(\varepsilon > 0\) existe \(\delta > 0\) tal que
\[0 < d(z, a) < \delta \implies \rho(f(z), \ell) < \varepsilon.\]Note que para definir el límite no es necesario que \(f\) esté definida en \(a\).
Definición (Función continua)
La función \(f : X \to Y\) es continua en \(a \in X\) si \(\lim_{z \to a} f(z) = f(a)\). Es decir, para todo \(\varepsilon > 0\) existe \(\delta > 0\) tal que
\[d(z, a) < \delta \implies \rho(f(z), f(a)) < \varepsilon,\]o equivalentemente, \(f(B_{X}(a, \delta)) \subseteq B_{Y}(f(a), \varepsilon)\). Decimos simplemente que \(f\) es continua si lo es en todo punto de \(X\).
Definición (Función Lipschitz)
\(f : X \to Y\) es \(\lambda\)-Lipschitz si para todos \(x, y \in X\),
\[\rho(f(x), f(y)) \leq \lambda\, d(x, y).\]Se dice simplemente que \(f\) es Lipschitz si existe \(\lambda \geq 0\) con tal propiedad.
Ejemplo (La distancia a un punto es \(1\)-Lipschitz)
Sea \((X, d)\) un espacio métrico y \(a \in X\). La función \(f(x) = d(x, a)\) es \(1\)-Lipschitz, ya que de la desigualdad triangular
\[|d(x, a) - d(y, a)| \leq d(x, y),\]| es decir $$ | f(x) - f(y) | \leq d(x, y)\(. En particular\)f$$ es continua. |
Caracterizaciones topológicas de la continuidad
Lema (Continuidad y preimágenes de abiertos)
Si \(f : X \to Y\) es continua y \(G \subseteq Y\) es abierto, entonces \(f^{-1}(G)\) es abierto en \(X\).
Prueba: Sea \(x_{0} \in f^{-1}(G)\) y \(y_{0} = f(x_{0}) \in G\). Como \(G\) es abierto, existe \(\varepsilon > 0\) con \(B_{Y}(y_{0}, \varepsilon) \subseteq G\). Por continuidad de \(f\) en \(x_{0}\), existe \(\delta > 0\) tal que \(f(B_{X}(x_{0}, \delta)) \subseteq B_{Y}(y_{0}, \varepsilon) \subseteq G\), es decir \(B_{X}(x_{0}, \delta) \subseteq f^{-1}(G)\).
Teorema (Caracterizaciones de la continuidad)
Sea \(f : X \to Y\). Son equivalentes:
- \(f\) es continua;
- \(f^{-1}(G)\) es abierto en \(X\) para todo abierto \(G \subseteq Y\);
- \(f^{-1}(F)\) es cerrado en \(X\) para todo cerrado \(F \subseteq Y\);
- \(f(\overline{B}) \subseteq \overline{f(B)}\) para todo \(B \subseteq X\) (clausura en \(X\) a la izquierda, en \(Y\) a la derecha).
Prueba: \((1) \implies (2)\): Demostrado en el lema anterior.
\((2) \implies (1)\): Dado \(\varepsilon > 0\) y \(a \in X\), \(B_{Y}(f(a), \varepsilon)\) es abierto, por lo que \(f^{-1}(B_{Y}(f(a), \varepsilon))\) es abierto. Como \(a \in f^{-1}(B_{Y}(f(a), \varepsilon))\), existe \(\delta > 0\) con \(B_{X}(a, \delta) \subseteq f^{-1}(B_{Y}(f(a), \varepsilon))\), i.e. \(f(B_{X}(a, \delta)) \subseteq B_{Y}(f(a), \varepsilon)\).
\((2) \iff (3)\): Si \(F \subseteq Y\) es cerrado, entonces \(Y \setminus F\) es abierto y \(f^{-1}(Y \setminus F) = X \setminus f^{-1}(F)\). Por tanto \(f^{-1}(F)\) es cerrado si y solo si \(f^{-1}(Y\setminus F)\) es abierto.
\((3) \iff (4)\): \(f(\overline{B}) \subseteq \overline{f(B)}\) para todo \(B\) equivale a \(\overline{B} \subseteq f^{-1}(\overline{f(B)})\) para todo \(B\). Tomando \(B = f^{-1}(F)\) con \(F\) cerrado, se obtiene \(\overline{f^{-1}(F)} \subseteq f^{-1}(F)\), esto es \(f^{-1}(F)\) cerrado, y recíprocamente.
Teorema (Caracterización por sucesiones)
Sea \(f : X \to Y\) y \(a \in X\). Entonces \(f\) es continua en \(a\) si y solo si para toda sucesión \(\{ x_{n}\}_{n \in \mathbb{N}} \subseteq X\) con \(x_{n} \to a\) se cumple \(f(x_{n}) \to f(a)\).
Prueba: \((\implies)\): Si \(x_{n} \to a\) y \(\varepsilon > 0\), por continuidad existe \(\delta > 0\) con \(d(x, a) < \delta \implies \rho(f(x), f(a)) < \varepsilon\). Tome \(n_{0}\) tal que \(n \geq n_{0}\) implique \(d(x_{n}, a) < \delta\); entonces \(\rho(f(x_{n}), f(a)) < \varepsilon\), esto es \(f(x_{n}) \to f(a)\).
\((\impliedby)\): Si \(f\) no fuese continua en \(a\), existiría \(\varepsilon > 0\) tal que para todo \(\delta > 0\) existe \(x_{\delta} \in X\) con \(d(x_{\delta}, a) < \delta\) y \(\rho(f(x_{\delta}), f(a)) \geq \varepsilon\). Tomando \(\delta = 1/n\) se obtiene \(x_{n}\) con \(d(x_{n}, a) < 1/n\) y \(\rho(f(x_{n}), f(a)) \geq \varepsilon\). Así \(x_{n} \to a\) pero \(f(x_{n}) \not\to f(a)\), contradicción.
Homeomorfismos e isometrías
Definición (Homeomorfismo)
Sea \(f : X \to Y\). Decimos que \(f\) es un homeomorfismo si \(f\) es continua, biyectiva y \(f^{-1}\) es continua. En tal caso, \(X\) y \(Y\) se dicen homeomorfos.
Nota (Los homeomorfismos envían abiertos en abiertos)
Si \(f : X \to Y\) es un homeomorfismo y \(A \subseteq X\) es abierto, entonces \(f(A) = (f^{-1})^{-1}(A)\) es abierto en \(Y\).
Ejercicio (Homeomorfismos preservan el interior)
Si \(f : X \to Y\) es un homeomorfismo y \(A \subseteq X\), entonces \(f(A^{\circ}) = (f(A))^{\circ}\).
Definición (Isometría)
Sea \(\phi : (X, d_X) \to (Y, d_Y)\). Decimos que \(\phi\) es una isometría si \(\phi\) es sobreyectiva y preserva la métrica, es decir, si para todos \(x,y \in X\),
\[d_Y(\phi(x), \phi(y)) = d_X(x,y).\]Nota (Toda isometría es biyectiva)
Si \(\phi : (X, d_X) \to (Y, d_Y)\) es una isometría, entonces \(\phi\) es inyectiva, pues si \(\phi(x) = \phi(y)\) entonces \(d_Y(\phi(x),\phi(y))=d_X(x,y) = 0\), de donde tenemos que \(x=y\).