Compacidad

Compacidad secuencial

Definición (Conjunto secuencialmente compacto)

\(C \subseteq X\) es secuencialmente compacto si toda sucesión \(\{ x_{n}\}_{n=1}^{\infty} \subseteq C\) posee una subsucesión convergente a un punto de \(C\).

Lema (Caracterización por intersección de clausuras de colas)

Sea \((X, d)\) un espacio métrico y \(C \subseteq X\). Son equivalentes:

1. \(C\) es secuencialmente compacto;

2. para toda \(\{ x_{n}\}_{n=1}^{\infty} \subseteq C\),

   \[C \cap \left( \bigcap_{k=1}^{\infty} \overline{ \{ x_{m} : m \geq k\}} \right) \neq \emptyset.\]

Prueba: \((1) \implies (2)\): Si \(\{ x_{n_{k}}\}_{k=1}^{\infty}\) es una subsucesión que converge a \(x_{0} \in C\), dado \(\varepsilon > 0\) existe \(k_{0}\) tal que \(k \geq k_{0}\) implica \(d(x_{n_{k}}, x_{0}) < \varepsilon\). Como \(n_{k} \geq k\), se sigue que \(B(x_{0}, \varepsilon) \cap \{ x_{m} : m \geq k\} \neq \emptyset\) para todo \(k \geq 1\), así \(x_{0} \in \overline{ \{ x_{m} : m \geq k\}}\) para todo \(k\).

\((2) \implies (1)\): Sea \(x_{0} \in C \cap \bigcap_{k=1}^{\infty} \overline{ \{ x_{m} : m \geq k\}}\). Construimos iterativamente una subsucesión convergente a \(x_{0}\): tomamos \(x_{n_{1}} \in B(x_{0}, 1) \cap \{ x_{m} : m \geq 1\}\), luego \(x_{n_{2}} \in B(x_{0}, \tfrac{1}{2}) \cap \{ x_{m} : m \geq n_{1} + 1\}\), y en general \(x_{n_{k+1}} \in B(x_{0}, \tfrac{1}{k}) \cap \{ x_{m} : m \geq n_{k} + 1\}\). Entonces \(x_{n_{k}} \to x_{0}\).

Lema (Secuencialmente compacto implica cerrado y acotado)

Sea \(C \subseteq X\) secuencialmente compacto. Entonces \(C\) es cerrado y acotado.

Prueba: Cerrado: Sea \(x \in \overline{C}\). Existe \(\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty} \subseteq C\) con \(x_{n} \to x\). Por compacidad secuencial existe una subsucesión \(\{x_{n_{k}}\}_{k=1}^{\infty}\) que converge a un punto de \(C\). Por unicidad del límite, \(x \in C\), así \(\overline{C} \subseteq C\).

Acotado: Si \(C\) no fuese acotado, fijado \(x_{0} \in X\) podríamos elegir \(x_{n} \in C\) con \(d(x_{0}, x_{n}) \geq n\). Toda subsucesión \(\{x_{n_{k}}\}\) satisfaría \(d(x_{0}, x_{n_{k}}) \to \infty\) y por tanto no podría ser convergente, contradiciendo la compacidad secuencial.

Cubrimientos por abiertos y compacidad

Definición (Recubrimiento por abiertos)

Una colección \(\mathcal{U} = \{ U_{\alpha} : \alpha \in \Lambda\}\) de abiertos es un recubrimiento (o cubrimiento) de \(A \subseteq X\) si

\[A \subseteq \bigcup_{\alpha \in \Lambda} U_{\alpha}.\]

Lema (Lema técnico de cubrimientos para conjuntos secuencialmente compactos (Lebesgue))

Sea \(C \subseteq X\) secuencialmente compacto y \(\mathcal{U}\) un recubrimiento por abiertos de \(C\). Entonces existe \(\varepsilon > 0\) tal que para todo \(x \in C\) existe \(U \in \mathcal{U}\) con \(B(x, \varepsilon) \subseteq U\).

Prueba: Por contradicción: suponga que para todo \(\varepsilon > 0\) existe \(x_{\varepsilon} \in C\) tal que \(B(x_{\varepsilon}, \varepsilon) \not\subseteq U\) para ningún \(U \in \mathcal{U}\). En particular, para \(\varepsilon = 1/n\) existe \(x_{n} \in C\) con \(B(x_{n}, 1/n) \not\subseteq U_{\alpha}\) para todo \(\alpha \in \Lambda\).

Por compacidad secuencial existen \(\{x_{n_{k}}\}_{k=1}^{\infty}\) y \(x_{0} \in C\) tales que \(x_{n_{k}} \to x_{0}\). Como \(\mathcal{U}\) recubre \(C\), existe \(U_{\alpha_{0}} \in \mathcal{U}\) con \(x_{0} \in U_{\alpha_{0}}\) y \(\varepsilon > 0\) tal que \(B(x_{0}, \varepsilon) \subseteq U_{\alpha_{0}}\). Tome \(k_{0}\) tal que \(k \geq k_{0}\) implique \(d(x_{n_{k}}, x_{0}) < \varepsilon/2\) y \(1/n_{k} < \varepsilon/2\). Entonces, para \(y \in B(x_{n_{k}}, 1/n_{k})\),

\[d(y, x_{0}) \leq d(y, x_{n_{k}}) + d(x_{n_{k}}, x_{0}) < \tfrac{1}{n_{k}} + \tfrac{\varepsilon}{2} < \varepsilon,\]

así \(B(x_{n_{k}}, 1/n_{k}) \subseteq B(x_{0}, \varepsilon) \subseteq U_{\alpha_{0}}\), lo cual contradice la construcción.

Definición (Conjunto compacto)

\(C \subseteq X\) es compacto si dado un recubrimiento por abiertos \(\mathcal{U} = \{U_{\alpha} : \alpha \in \Lambda\}\) de \(C\), existen \(U_{\alpha_{1}}, \dots, U_{\alpha_{m}} \in \mathcal{U}\) tales que

\[C \subseteq \bigcup_{k=1}^{m} U_{\alpha_{k}}.\]

Es decir, todo recubrimiento por abiertos admite un subrecubrimiento finito.

Equivalencia entre las dos nociones de compacidad

Lema (Compacidad secuencial equivale a compacidad)

Para \(C \subseteq X\) son equivalentes:

1. \(C\) es secuencialmente compacto;
2. \(C\) es compacto.

Prueba: \((1) \implies (2)\): Sea \(\mathcal{U}\) recubrimiento por abiertos de \(C\). Por el lema técnico anterior existe \(\varepsilon > 0\) tal que para cada \(x \in C\) alguna bola \(B(x, \varepsilon)\) está contenida en algún \(U_{\alpha}\). Tomemos \(x_{1} \in C\) y \(\alpha_{1}\) con \(B(x_{1}, \varepsilon) \subseteq U_{\alpha_{1}}\). Si \(C \subseteq B(x_{1}, \varepsilon)\) ya tenemos un subrecubrimiento finito; si no, escogemos \(x_{2} \in C \setminus B(x_{1}, \varepsilon)\) y \(U_{\alpha_{2}}\) con \(B(x_{2}, \varepsilon) \subseteq U_{\alpha_{2}}\). Iterando, si en algún paso \(C \subseteq \bigcup_{i=1}^{m} B(x_{i}, \varepsilon) \subseteq \bigcup_{i=1}^{m} U_{\alpha_{i}}\), hemos terminado. De lo contrario, obtenemos \(\{x_{k}\}_{k=1}^{\infty} \subseteq C\) con \(d(x_{i}, x_{j}) \geq \varepsilon\) para \(i \neq j\). Esta sucesión no admite subsucesión convergente: toda subsucesión convergente sería de Cauchy, luego sus términos estarían eventualmente a distancia \(< \varepsilon\), contradiciendo \(d(x_{i}, x_{j}) \geq \varepsilon\). Esto contradice la compacidad secuencial.

\((2) \implies (1)\): Sea \(\{x_{m}\}_{m=1}^{\infty} \subseteq C\) y suponga, por contradicción, que no admite subsucesión convergente en \(C\). Defina \(U_{n} = X \setminus \overline{\{x_{m} : m \geq n\}}\). Entonces \(U_{n} \subseteq U_{n+1}\) y \(X \setminus \bigcup_{n=1}^{\infty} U_{n} = \bigcap_{n=1}^{\infty} \overline{\{x_{m} : m \geq n\}}\). Como \(\{x_{m}\}\) no tiene subsucesión convergente en \(C\), \(C \cap \bigcap_{k=1}^{\infty} \overline{\{x_{m} : m \geq k\}} = \emptyset\), así \(C \subseteq \bigcup_{n=1}^{\infty} U_{n}\). Por compacidad existe un subrecubrimiento finito; por monotonía de \(\{U_{n}\}\), existe \(m_{0}\) con \(C \subseteq U_{m_{0}}\). Pero entonces \(\{x_{k} : k \geq m_{0}\} \subseteq C \subseteq X \setminus \overline{\{x_{k} : k \geq m_{0}\}}\), contradicción.

Compacidad y funciones continuas

Lema (La imagen continua de un compacto es compacto)

Sea \(f : X \to Y\) continua y \(K \subseteq X\) compacto. Entonces \(f(K)\) es compacto en \(Y\).

Prueba: Sea \(\mathcal{U} = \{ U_{\alpha} : \alpha \in \Lambda_{1}\}\) un cubrimiento por abiertos de \(f(K)\). Entonces \(K \subseteq f^{-1}\!\left( \bigcup_{\alpha \in \Lambda_{1}} U_{\alpha}\right) = \bigcup_{\alpha \in \Lambda_{1}} f^{-1}(U_{\alpha})\), y cada \(f^{-1}(U_{\alpha})\) es abierto en \(X\). Por compacidad de \(K\), existen \(\alpha_{1}, \dots, \alpha_{m}\) tales que

\[K \subseteq \bigcup_{i=1}^{m} f^{-1}(U_{\alpha_{i}}),\]

de donde \(f(K) \subseteq \bigcup_{i=1}^{m} U_{\alpha_{i}}\).

Teorema (Caracterización por la propiedad de intersección finita)

Sea \((X, d)\) un espacio métrico. Son equivalentes:

1. \(X\) es compacto;
2. si \(\mathcal{F} = \{ F_{\alpha} : \alpha \in \Lambda\}\) es una familia de cerrados tal que \(\bigcap_{\alpha \in A} F_{\alpha} \neq \emptyset\) para todo \(A \subseteq \Lambda\) finito, entonces \(\bigcap_{\alpha \in \Lambda} F_{\alpha} \neq \emptyset\).

Prueba: Para ambas direcciones se usa que \(\bigcap_{\alpha \in \Lambda} F_{\alpha} = \emptyset\) si y solo si \(X = \bigcup_{\alpha \in \Lambda} (X \setminus F_{\alpha})\), esto es, \(\{X \setminus F_{\alpha}\}_{\alpha}\) es un cubrimiento por abiertos de \(X\).

Si \(X\) es compacto y se cumple la propiedad de intersección finita pero \(\bigcap_{\alpha} F_{\alpha} = \emptyset\), existirían \(\alpha_{1}, \dots, \alpha_{m}\) con \(X = \bigcup_{i=1}^{m} (X \setminus F_{\alpha_{i}})\), i.e. \(\bigcap_{i=1}^{m} F_{\alpha_{i}} = \emptyset\), contradicción.

Recíprocamente, dado un cubrimiento por abiertos \(\{ U_{\alpha}\}\) sin subrecubrimiento finito, \(\{X \setminus U_{\alpha}\}\) es una familia de cerrados con la propiedad de intersección finita pero intersección total vacía.

Compacidad en Rd

Nota (Las cajas en \(\mathbb{R}^{d}\) son secuencialmente compactas)

Por el teorema de Bolzano-Weierstrass, \(C = [a_{1}, b_{1}] \times \dots \times [a_{d}, b_{d}]\) con \(a_{i} \leq b_{i}\) es secuencialmente compacto. Además todo compacto es cerrado y acotado.

Teorema (Heine-Borel en \(\mathbb{R}^{d}\))

Sea \(C \subseteq \mathbb{R}^{d}\). Entonces \(C\) es compacto respecto de la norma euclídea si y solo si \(C\) es cerrado y acotado.

Prueba: \((\implies)\): Todo compacto es cerrado y acotado por el lema general.

\((\impliedby)\): Sea \(F \subseteq \mathbb{R}^{d}\) cerrado y acotado. Existe \(n\) tal que \(F \subseteq C_{n} = [-n, n]^{d}\). Sea \(\{x_{m}\}_{m=1}^{\infty} \subseteq F\). Como \(C_{n}\) es secuencialmente compacto, existe \(\{x_{m_{k}}\}_{k=1}^{\infty}\) subsucesión que converge a \(x_{0} \in C_{n}\). Como \(\{x_{m_{k}}\} \subseteq F\) y \(F\) es cerrado, \(x_{0} \in F\). Así \(F\) es secuencialmente compacto y, por la equivalencia, compacto.

Teorema (Valores extremos)

Sean \(K \subseteq X\) compacto y \(f : X \to \mathbb{R}\) continua. Entonces \(f(K)\) es compacto y, en particular, \(f\) alcanza su ínfimo y su supremo en \(K\).

Prueba: \(f(K)\) es compacto, luego cerrado y acotado en \(\mathbb{R}\). Sean \(a = \inf_{x \in K} f(x)\) y \(b = \sup_{x \in K} f(x)\). Para cada \(n \in \mathbb{N}^{\ast}\) existe \(x_{n} \in K\) con \(a \leq f(x_{n}) \leq a + 1/n\). Por compacidad de \(K\), existe una subsucesión \(\{x_{n_{k}}\}\) que converge a \(y_{0} \in K\), y por continuidad \(f(x_{n_{k}}) \to f(y_{0})\); pero \(f(x_{n_{k}}) \to a\), luego \(f(y_{0}) = a\). Análogamente, \(b\) se alcanza.