Completitud

Sucesiones de Cauchy y espacios completos

Definición (Sucesión de Cauchy)

Una sucesión $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty}$ en $(X, d)$ es de Cauchy si para todo $\varepsilon > 0$ existe $n_{0} \in \mathbb{N}$ tal que

\[n, m \geq n_{0} \implies d(x_{n}, x_{m}) < \varepsilon.\]

A diferencia de la compacidad, este concepto es intrínseco al espacio métrico.

Ejercicio (Recordatorio sobre sucesiones de Cauchy)

Toda sucesión convergente es de Cauchy.
Toda sucesión de Cauchy es acotada.

Definición (Espacio métrico completo)

$(X, d)$ es completo si toda sucesión de Cauchy en $X$ es convergente en $X$.

Ejemplo ($(\mathcal{C}([0,1], \mathbb{R}), d_{\infty})$ es completo)

Sea $\mathcal{C} = \{ f : [0,1] \to \mathbb{R} \;:\; f \text{ continua}\}$ con $$d_{\infty}(f, g) = \sup_{x \in [0,1]}

f(x) - g(x)

$. Sea${f_{n}}_{n=1}^{\infty}$de Cauchy. Para cada$x \in [0,1]$,$

f_{n}(x) - f_{m}(x)

\leq d_{\infty}(f_{n}, f_{m})$, por lo que${f_{n}(x)}{n=1}^{\infty}$es de Cauchy en$\mathbb{R}$. Como$\mathbb{R}$es completo, defina$f(x) = \lim{n \to \infty} f_{n}(x)$$.

Veamos que $f \in \mathcal{C}$. Dado $\varepsilon > 0$, fije $n_{0}$ con $d_{\infty}(f_{n}, f_{m}) < \varepsilon/2$ para $n, m \geq n_{0}$. Para $x \in [0,1]$, existe $m_{1} \geq n_{0}$ con $$

f(x) - f_{m_{1}}(x)

< \varepsilon/2$, luego para$n \geq n_{0}$$,

\[|f(x) - f_{n}(x)| \leq |f(x) - f_{m_{1}}(x)| + d_{\infty}(f_{m_{1}}, f_{n}) < \tfrac{\varepsilon}{2} + \tfrac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.\]

Por tanto $f_{n} \to f$ uniformemente y, como límite uniforme de continuas, $f$ es continua.

Nota (Estrategia para demostrar que una sucesión de Cauchy converge)

Como es usual, para probar que una sucesión de Cauchy converge se empieza encontrando un candidato para el límite y luego se verifica la convergencia hacia él.

Completitud y conjuntos cerrados

Lema (Caracterización de subespacios completos como cerrados)

Sea $(X, d)$ un espacio métrico y $C \subseteq X$. Entonces:

Si $(C, d)$ es completo, entonces $C$ es cerrado en $(X, d)$;
Si $X$ es completo y $C$ es cerrado en $X$, entonces $(C, d)$ es completo.

Prueba: (2): Sea $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty} \subseteq C$ de Cauchy. Como $X$ es completo, existe $x \in X$ con $x_{n} \to x$. Por ser $C$ cerrado, $x \in C$, así $\{x_{n}\}$ converge en $C$.

(1): Sea $x \in \overline{C}$ y tome $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty} \subseteq C$ con $x_{n} \to x$ en $X$. Como $\{x_{n}\}$ es convergente, es de Cauchy en $C$. Por completitud de $C$, existe $x' \in C$ con $x_{n} \to x'$. Por unicidad del límite, $x = x' \in C$, lo que prueba $\overline{C} \subseteq C$.

Lema (Compacto implica completo)

Si $(X, d)$ es compacto, entonces $(X, d)$ es completo.

Prueba: Sea $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty}$ de Cauchy. Por compacidad existe $\{x_{n_{k}}\}$ que converge a $x \in X$. Dado $\varepsilon > 0$, existen $n_{0}, k_{0}$ con $n, m \geq n_{0} \implies d(x_{n}, x_{m}) < \varepsilon/2$ y $k \geq k_{0} \implies d(x, x_{n_{k}}) < \varepsilon/2$. Para $n, k \geq \max\{n_{0}, k_{0}\}$,

\[d(x_{n}, x) \leq d(x_{n}, x_{n_{k}}) + d(x_{n_{k}}, x) < \tfrac{\varepsilon}{2} + \tfrac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.\]

Nota (Completitud no implica compacidad)

La implicación recíproca es falsa: $\mathbb{R}$ es completo pero no compacto.

Conjuntos totalmente acotados

Definición (Espacio totalmente acotado)

$(X, d)$ es totalmente acotado (o paracompacto) si para todo $\varepsilon > 0$ existen $x_{1}, \dots, x_{m} \in X$ tales que

\[X = \bigcup_{i=1}^{m} B(x_{i}, \varepsilon).\]

En particular, todo espacio compacto es totalmente acotado.

Ejemplo (Acotado pero no totalmente acotado)

Considere $\rho : \mathbb{N} \times \mathbb{N} \to \{0, 1\}$ con $\rho(n, m) = 1$ si $n \neq m$ y $\rho(n, n) = 0$. Para cualquier $n$, $\mathbb{N} = B(n, 2)$, así $(\mathbb{N}, \rho)$ es acotado. Sin embargo, $B(n, 1/2) = \{n\}$, por lo que no es posible cubrir $\mathbb{N}$ con una colección finita de bolas de radio $1/2$. Concluimos que $(\mathbb{N}, \rho)$ es acotado pero no totalmente acotado.

Ejercicio (Sucesiones que toman finitos valores admiten subsucesión convergente)

Si el conjunto $\{ x_{n} : n \in \mathbb{N}\}$ es finito, entonces existe una subsucesión $\{x_{n_{k}}\}_{k=1}^{\infty}$ que converge a un punto de la sucesión.

Lema (Caracterización de totalmente acotado por subsucesiones de Cauchy)

$(X, d)$ es totalmente acotado si y solo si toda sucesión $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty} \subseteq X$ posee una subsucesión de Cauchy.

Prueba: $(\implies)$: Por el ejercicio anterior, podemos asumir que la sucesión toma infinitos valores distintos. Como $X$ es totalmente acotado existen $y_{1}, \dots, y_{m}$ con $X \subseteq \bigcup_{i=1}^{m} B(y_{i}, 1)$. Alguno de estos $B(y_{i_{1}}, 1)$ contiene infinitos puntos de $\{x_{n}\}$; sea $\{x_{n_{k,1}}\}_{k=1}^{\infty}$ la subsucesión correspondiente.

Iterando, en el paso $\ell$ existen $\tilde{y}_{\ell}$ y una subsucesión $\{x_{n_{k,\ell}}\}_{k=1}^{\infty} \subseteq B(\tilde{y}_{\ell}, 1/\ell)$ extraída de $\{x_{n_{k,\ell-1}}\}$. Note que $d(x_{n_{k,\ell}}, x_{n_{s,\ell}}) < 2/\ell$ para todos $k, s$. Considere la subsucesión diagonal $\{x_{n_{\ell,\ell}}\}_{\ell=1}^{\infty}$: si $\ell \leq s$, $d(x_{n_{\ell,\ell}}, x_{n_{s,s}}) \leq 2/\ell$, lo cual muestra que es de Cauchy.

$(\impliedby)$: Si $X$ no fuese totalmente acotado, existiría $\varepsilon > 0$ tal que ninguna colección finita de bolas de radio $\varepsilon$ recubre $X$. Construya iterativamente $x_{0} \in X$ y, dado $x_{1}, \dots, x_{n-1}$, $x_{n} \in X \setminus \bigcup_{i=1}^{n-1} B(x_{i}, \varepsilon)$. Entonces $d(x_{i}, x_{j}) \geq \varepsilon$ para $i \neq j$, sucesión sin subsucesiones de Cauchy.

Teorema (Compacto $=$ completo $+$ totalmente acotado)

Un espacio métrico es compacto si y solo si es completo y totalmente acotado.

Prueba: $(\implies)$: Todo compacto es completo (probado anteriormente). Para ver que todo compacto es totalmente acotado, dado $\varepsilon > 0$ la familia $\{ B(x, \varepsilon) : x \in X\}$ es un cubrimiento por abiertos de $X$, así por compacidad existen $x_{1}, \dots, x_{m} \in X$ con $X = \bigcup_{i=1}^{m} B(x_{i}, \varepsilon)$.

$(\impliedby)$: Sea $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty} \subseteq X$. Por ser totalmente acotado, posee una subsucesión $\{x_{n_{k}}\}$ de Cauchy. Por completitud, $\{x_{n_{k}}\}$ converge en $X$. Así $X$ es secuencialmente compacto, equivalentemente compacto.

Compleción de un espacio métrico

Teorema (Existencia de la compleción)

Sea $(X, d)$ un espacio métrico. Entonces:

Existe un espacio métrico completo $(X^{\sharp}, d^{\sharp})$ y una función inyectiva $i : X \to X^{\sharp}$ que preserva distancias, con $i(X)$ denso en $X^{\sharp}$.
Si $(X, d)$ es completo, entonces $(X^{\sharp}, d^{\sharp})$ es isométrico a $(X, d)$.

Prueba: Construcción. Sean $\{x_{n}\}, \{y_{n}\} \subseteq X$ de Cauchy. La desigualdad triangular da

\[|d(x_{m}, y_{m}) - d(x_{n}, y_{n})| \leq d(x_{m}, x_{n}) + d(y_{m}, y_{n}),\]

luego $\{d(x_{m}, y_{m})\}_{m=1}^{\infty}$ es de Cauchy en $\mathbb{R}$. Definimos

\[\tilde{d}(\{x_{n}\}, \{y_{n}\}) = \lim_{m \to \infty} d(x_{m}, y_{m}).\]

Esta $\tilde{d}$ es simétrica y satisface la desigualdad triangular pero puede valer $0$ entre dos sucesiones distintas; es una semimétrica. Definimos $\{x_{n}\} \sim \{y_{n}\}$ cuando $\tilde{d}(\{x_{n}\}, \{y_{n}\}) = 0$ y consideramos

\[X^{\sharp} = \big\{[\{x_{n}\}] \;:\; \{x_{n}\} \subseteq X \text{ de Cauchy}\big\}, \quad d^{\sharp}([\{x_{n}\}], [\{y_{n}\}]) = \tilde{d}(\{x_{n}\}, \{y_{n}\}).\]

$d^{\sharp}$ está bien definida. Si $\{x_{n}\} \sim \{x_{n}'\}$, entonces $d(x_{m}, x_{m}') \to 0$, y dado $\{y_{n}\}$ de Cauchy,

\[d(x_{m}, y_{m}) \leq d(x_{m}, x_{m}') + d(x_{m}', y_{m}),\]

luego $\lim_{m} d(x_{m}, y_{m}) \leq \lim_{m} d(x_{m}', y_{m})$. Recíprocamente, $d(x_{m}', y_{m}) \leq d(x_{m}', x_{m}) + d(x_{m}, y_{m})$ implica $\lim_{m} d(x_{m}', y_{m}) \leq \lim_{m} d(x_{m}, y_{m})$, de donde se sigue la igualdad y por tanto $d^{\sharp}$ no depende de los representantes.

$i$ preserva distancias y $i(X)$ es denso. Para $x \in X$ defina $i(x) = [\{x, x, \dots\}]$. Entonces $d^{\sharp}(i(x), i(y)) = \lim_{m} d(x, y) = d(x, y)$. Dado $[\{x_{n}\}] \in X^{\sharp}$ y $\varepsilon > 0$, existe $n_{0}$ con $d(x_{n}, x_{n_{0}}) < \frac{\varepsilon}{2}$ para $n \geq n_{0}$, así $d^{\sharp}([\{x_{n}\}], i(x_{n_{0}})) = \lim_{m} d(x_{m}, x_{n_{0}}) \leq \frac{\varepsilon}{2} < \varepsilon$.

$X^{\sharp}$ es completo. Sea $\{\underline{x}^{m}\}_{m=1}^{\infty} \subseteq X^{\sharp}$ de Cauchy. Por la densidad de $i(X)$ en $X^{\sharp}$ recién probada, para cada $m \in \mathbb{N}$ existe $y_{m} \in X$ con $d^{\sharp}(\underline{x}^{m}, i(y_{m})) < 1/m$. Entonces

\[d(y_{m}, y_{n}) = d^{\sharp}(i(y_{m}), i(y_{n})) \leq \tfrac{1}{m} + d^{\sharp}(\underline{x}^{m}, \underline{x}^{n}) + \tfrac{1}{n},\]

así $\{y_{n}\}$ es de Cauchy en $X$. Sea $\underline{y} = [\{y_{n}\}] \in X^{\sharp}$. Dado $\varepsilon > 0$, escoja $k_{0}$ con $d(y_{n}, y_{j}) < \varepsilon/2$ para todos $n, j \geq k_{0}$. Para $m \geq k_{0}$,

\[d^{\sharp}(i(y_{m}), \underline{y}) = \lim_{j \to \infty} d(y_{m}, y_{j}) \leq \tfrac{\varepsilon}{2},\]

de donde

\[d^{\sharp}(\underline{x}^{m}, \underline{y}) \leq d^{\sharp}(\underline{x}^{m}, i(y_{m})) + d^{\sharp}(i(y_{m}), \underline{y}) \leq \tfrac{1}{m} + \tfrac{\varepsilon}{2} < \varepsilon\]

para $m$ suficientemente grande. Concluimos $\underline{x}^{m} \to \underline{y}$ en $X^{\sharp}$.

(2): Si $(X, d)$ es completo, dada $\{x_{n}\}$ de Cauchy existe $x \in X$ con $x_{n} \to x$. Entonces $d^{\sharp}([\{x_{n}\}], i(x)) = \lim_{m} d(x_{m}, x) = 0$, así $i(x) = [\{x_{n}\}]$ y $i$ es sobreyectiva, luego una isometría.

Definición (Compleción de un espacio)

Decimos que $X^\ast$ es complecion de $X$ si $X^\ast$ es completo y contiene una copia de $X$, la cual es densa. Es decir, existe una isometría $\phi: X \to \phi(X) \subseteq X^\ast$, con $\overline{\phi(X)} = X^\ast$.

Lema (Propiedad universal de la compleción)

Sea $(Y, \rho)$ un espacio métrico completo y $j : X \to Y$ una función que preserva distancias con $j(X)$ denso en $Y$. Entonces existe $\theta : X^{\sharp} \to Y$, una isometría tal que $\theta \circ i = j$.

Prueba: Ejercicio (extender $\theta$ a partir de $\theta(i(x)) = j(x)$ usando densidad y completitud).