CAPÍTULO 08 · MA-0561

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Subgrupos normales

Subgrupos normales

Definición (Producto de conjuntos)

Sea \(G\) un grupo y \(S,T \subseteq G\). Defina \(ST = \{ s \ast t: s \in S, t \in T \}\). Note que si \(S = \{ s \}\) y \(T\leq G\), entonces \(sT =ST\), una coclase de \(G\). Note que si \(S,T,U \subseteq G\), . Si \(\mathcal{F} = \{ A:A\subseteq G \}\), entonces \(\cdot\) está definida en \(\mathcal{F}\) y es asociativa.

Definición (Subgrupo normal)

Sea \(H \leq G\). Decimos que \(H\) es un subgrupo normal de \(G\) y escribimos \(H \triangleleft G\) si \(Hx = xH\) para todo \(x \in G\).

Nota (Propiedades de subgrupos normales)

  1. Si \(G\) es abeliano, todo subgrupo es normal.
  2. \(xH = Hx \iff xH x^{-1} = \{ x \ast h \ast x ^{-1}: h \in H \} = H\).
  3. Si \(H \triangleleft G\), esto no implica que para todos \(x \in G\) y \(h \in H\) \(x \ast h = h \ast x\). Lo que sí es cierto es que si \(h \in H\), existe \(h' \in H\) tal que \(x \ast h = h' \ast x\).

  4. Si para todo \(x \in G\), \(x H x ^{-1} \subseteq H\), esto necesariamente implica la igualdad entre ambos conjuntos, y por tanto, que \(H \triangleleft G\). Suponga que \(xHx ^{-1} \subseteq H\) para todo \(x \in G\). Note que, para \(x \in G\).

    \[H = x ^{-1}(\underbrace{ x H x ^{-1} }_{ \in H }) x \subseteq x ^{-1} H x \subseteq H \implies x ^{-1} H x = H.\]
  5. Para todo grupo \(G\), \(\{ 1_{G} \} \triangleleft G\), \(G \triangleleft G\).

Proposición (Subgrupos encadenados)

Sean \(K,H,G\) grupos con \(K\leq H\leq G\). Si \(K \triangleleft G\), entonces \(K \triangleleft H\).

Prueba: El resultado es trivial, pues \(G \subseteq H\).

Teorema (Kernel es subgrupo normal)

Sea \(f:G\to G'\) un homomorfismo de grupos. Entonces, \(\operatorname{Ker}(f) \triangleleft G\).

Prueba: Sea \(H:= \operatorname{Ker}(f)\). Sea \(x \in G\). Hay que mostrar que \(xHx ^{-1} \subseteq H\). Sea \(h \in H\). Entonces, \(f(x \ast h \ast x ^{-1}) = f(x) \ast f(h) \ast f(x ^{-1}) = 1_{G'}\).

Ejemplo (Subgrupo normal en \(S_3\))

Sea \(G = S_{3} = \{ (1), \begin{pmatrix}1 & 2\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 & 3\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}2 & 3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 2 & 3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}3 & 2 & 1\end{pmatrix} \}\). Considere, \(H = \langle \begin{pmatrix}1 & 2 & 3\end{pmatrix} \rangle\). Tenemos que

y así por el resto de ciclos.