CAPÍTULO 09 · MA-0561

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Grupo cociente

Grupo cociente

Proposición (Grupos normales y operaciones)

Si \(H \triangleleft G\) y \(a,b \in G\), entonces \(aH \cdot bH = (a \ast b) H\)

Prueba: Note que

\[\begin{aligned} aH \cdot bH \end{aligned} = aH \cdot Hb = a Hb = a b H = (a \ast b) H.\]

Teorema (Existencia del grupo cociente)

Sea \(H \triangleleft G\). Entonces \(G / H\) es un grupo bajo la operación \(\cdot\)

\[a H \cdot bH = (a \ast b) H.\]

Prueba: La operación está bien definida y es asociativa (véase proposición anterior).

  1. Pertenencia de la identidad: \(1_{G} \cdot H = H\)
  2. Existencia de inversos: \(aH \cdot a^{-1}H = (a \ast a^{-1}) H = H = id_{G / H }\).

Nota (Independencia del representante)

¿Por qué no depende del representante? Suponga que \(aH = \hat{a}H\) y \(bH = \hat{b}H\). Entonces

\[aH \cdot bH = \hat{a} H \cdot \hat{b}H \iff (a \ast b) H = (\hat{a} \ast \hat{b}) H \iff (a \ast b) \ast (\hat{ a} \ast \hat{b})^{-1} \in H,\]

que es claramente cierto.

Teorema (Todo subgrupo normal es kernel de un homomorfismo)

Sea \(H \triangleleft G\) y considere \(f:G\to G / H\) tal que \(f(a) = a H\). Entonces \(f\) es un epimorfismo y \(\operatorname{Ker}(f) = H\).

Prueba: Probaremos primero que \(f\) es un homomorfismo. Note que \(f(a \ast b) = (a \ast b) H = aH \cdot bH = f(a) \cdot f(b)\). La sobreyectividad se sigue por la definición. Ahora, si \(x \in H\), entonces \(f(x) = xH = H =id_{G / H}\), luego, \(x \in \operatorname{Ker} f\). Si \(x \in \operatorname{Ker} f\), entonces \(f(x) = xH = H\), luego \(x \in H\).

Ejemplo (Cocientes triviales)

  1. Note que \(\{ 1_{G} \} \triangleleft G \implies G / \{ 1_{G} \} = \{ a \cdot \{ 1_{G}: a \in G \} \} = \{ \{ a \}: a \in G \} \cong G\).
  2. \(G \triangleleft G \implies G / G = \{ a \cdot G: a \in G \} = \{ G \} = \{ 1_{G / G} \}\).

Ejemplo (Cocientes en \(\mathbb{Z}\) y en grupo cíclico)

  1. Sea \(G = (\mathbb{Z}, + )\), \(H = 4\mathbb{Z}\). Note que \(H \triangleleft G\) pues \(G\) es abeliano. Note que \(G / H \cong \mathbb{Z}_{4}\), pues \(aH = bH \iff a + (-b) \in 4\mathbb{Z} \iff 4 \mid a-b \iff a \cong b \quad \text{mod }4\).

  2. Sea \(G\) un grupo y sea \(a \in G\) tal que \(\lvert a \rvert = 8\). y \(G=\langle a \rangle\). Sea \(H = \langle a^{4}. \rangle\) Como \(G\) es conmutativo. \(H \triangleleft G\). Tenemos que \(H = \{ 1_{G, }a^{4} \}\) y \(G = \{ 1_{G}, a, a^{2},\dots,a^{7} \}\). ¿Quién es \(G/H\)? Encontremos las coclases:

    1. \[H = a^{4}H\]
    2. \[aH = \{ a, a^{5} \} = a^{5} H\]
    3. \[a^{2}H = \{ a^{2}, a^{6} \} = a^{6}H\]
    4. \(a^{3}H = \{ a^{3},a^{7} \}= a^{7}H\) Así, \(G/H = \{ H, aH, a^{2}H, a^{3}H \}\) y \(G = H \hspace{2mm} \dot{\cup} \hspace{2mm} aH \hspace{2mm} \dot{\cup} \hspace{2mm} a^{2}H \hspace{2mm}\dot{\cup} \hspace{2mm} a^{3}H\).

Definición (Conmutador y subgrupo conmutador)

Sea \((G,\ast)\) un grupo. Sean \(a,b \in G\). Defina el conmutador de \(a,b\) como

\[[a,b] = a \ast b \ast a^{-1} \ast b ^{-1} \in G\]

Defina el subgrupo conmutador de \(G\) como \(G':= \langle [a,b]:a,b \in G \rangle\).

Ejercicio (Caracterización via conjugación)

Sea \(S < G\). Entonces \(S \triangleleft G\) si y solo si \(C_{a}(S) \leq S\) para todo \(a \in G\).

Teorema (Subgrupo conmutador y cocientes abelianos)

Sea \(G\) un grupo y \(G'\) su subgrupo conmutador. Entonces \(G' \triangleleft G\). Además, si \(H \triangleleft G\), entonces \(G/H\) es abeliano si y solo si \(G' \triangleleft H\).

Prueba: Hay que probar que, para todo \(g \in G\), \(gG'g^{-1} \subseteq G'\). Basta mostrar que si \(a, b \in G\), \(g \in G\) , entonces \(g[a,b]g^{-1} \in G'\), ¿por qué? Si \(z = [a_{1} , b_{1}] [a_{2}, b_{2}]\), entonces

\[gzg^{-1} = g [a_{1},b_{1}] [a_{2}, b_{2}] g^{-1} = (g[a_{1},b_{1}]g^{-1})(g [a_{2},b_{2}] g^{-1}),\]

luego, basta probar el resultado para cualquier conmutador y se sigue inmediatamente para todo \(z \in G'\), Sea \([a,b] \in G'\). Entonces,

\[\begin{aligned} g \ast a \ast b \ast a^{-1} \ast b^{-1} \ast g^{-1} \end{aligned}\] \[= (g \ast a \ast g^{-1}) \ast (g \ast b \ast g^{-1}) \ast(g \ast a^{-1} \ast g ^{-1}) \ast (g \ast b ^{-1} \ast g ^{-1}) = [g \ast a \ast g ^{-1},g \ast b \ast g ^{-1} ]\in G'.\]

Suponga ahora que \(G/H\) es abeliano. Entonces para todos \(a,b \in G\), \(aH \cdot b H = b H \cdot a H\), por lo que \((a \ast b) H = (b \ast a)H\). Luego , \((a \ast b) \ast (b \ast a) ^{-1} = a \ast b \ast a^{-1} \ast b ^{-1} = [a,b] \in H\). Así, \(\{ [a,b]: a,b \in G \} \subseteq H \implies G' \subseteq H \implies G' \leq H\). (Escribir la otra dirección).

Ejemplo (\(A_3 \triangleleft S_3\))

Considere \(S_{3} = \{ (1),\begin{pmatrix}1 & 2\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}2 & 3\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 & 3\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 & 2 & 3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}3 & 2 & 1\end{pmatrix} \}\) y \(A_{3} = \{ \sigma \in S_{3}: \sigma \text{ es par} \} = \{ \begin{pmatrix}1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 & 2 & 3\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}3 & 2 & 1\end{pmatrix}\}\). Probaremos que \(A_{3} \triangleleft S_{3}\). Considere \(S = \{ -1,1 \}\). Note que \((S, \cdot) = (\mathbb{Z}_{2}, +)\). Sea \(f:S_{3} \to S\) tal que \(\sigma \mapsto \operatorname{sgn}( \sigma )\). Note que \(f\) es un homomorfismo, pues

\[\begin{aligned} f(\sigma_{1} \circ \sigma_{2}) &= \operatorname{sgn}(\sigma_{1} \circ \sigma_{2} )\\ &= \operatorname{sgn}( \sigma_{1} ) \cdot \operatorname{sgn}( \sigma_{2} )\\ &= f(\sigma_{1}) \cdot f(\sigma_{2}). \end{aligned}\]

Note que \(\operatorname{Ker} f = A_{3}\), de donde concluimos que \(A_{3} \triangleleft S_{3}\). ¿Quién es \(S_{3}/A_{3}\)? Construyamos las coclases

  1. \[A_{3}\]
  2. \(\begin{pmatrix}1 & 2\end{pmatrix} A_{3} = \{ \begin{pmatrix}1 & 2\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}3 & 2\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 & 3\end{pmatrix} \}\).

Así, \(S_{3}/A_{3} = \{ A_{3}, \begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix}A_{3} \} \cong \mathbb{Z}_{2}\).

Ejemplo (\(\langle r_1\rangle \triangleleft D_4\))

Considere \(D_{4} = \{ r_{0},r_{1},r_{2},r_{3},s_{1},s_{2},s_{3},s_{4} \}\) el grupo de simetrías del cuadrado y \(H = \langle r_{1} \rangle = \{ r_{0},r_{1},r_{2},r_{3} \}\). Debemos probar que para todo \(i \in \{ 1,\dots,4 \}\), \(s_{i} H s_{i} ^{-1} \subseteq H\). Note en primer lugar que para todo \(i\), \(s_{i}^{2} = r_{0}\), luego, \(s_{i} = s_{i}^{-1}\). Luego, hay que probar que para todos \(j \in \{ 0,1,2,3 \}, i \in\{ 1,2,3,4 \}\), \(s_{i} r_{j} s_{i} ^{-1} \in H\)