Teoremas del isomorfismo

Teoremas del Isomorfismo

Teorema (Primer teorema del isomorfismo)

Sean \(G, G'\) grupos y sea \(f:G \to G'\) un homomorfismo y sea \(H = \operatorname{Ker}(f)\). Entonces, \(G / H \cong \operatorname{Im}(f)\).

Prueba: Como \(H \triangleleft G\), \(G / H\) es un grupo. Sea \(f':G / H \to G'\) tal que \(aH \mapsto f(a)\). Probaremos que \(f'\) está bien definida, i.e., que envía miembros de la misma clase de equivalencia a las mismas imágenes. Dados \(a,b \in G\), suponga que \(aH = bH\), i.e., que \(b^{-1}a \in H\). Así,

\[f(b^{-1}a)=1_{G'} \implies (f(b))^{-1} f(a) = 1_{G'}\implies f(b) = f(a) \implies f'(aH) = f'(bH).\]

Probaremos ahora que \(f'\) es un homomorfismo. Dados, \(aH, bH \in G / H\), note que

\[f'(aH \cdot bH) = f'((a \ast b)H)= f(a \ast b) =f(a) \ast_{G'}f(b) = f'(aH)\ast_{G'} f'(bH).\]

Así, \(f\) es homomorfismo. Para la inyectividad, sea \(aH \in \operatorname{Ker}(f')\). Luego,

\[f'(aH) = 1_{G'} \implies f(a) = 1_{G'} \implies a \in \operatorname{Ker}(f) = H \implies aH=H.\]

Finalmente, probaremos que \(f'\) es sobreyectiva, i.e, que \(\operatorname{Im}(f') = \operatorname{Im}(f)\). Note que

\[b \in \operatorname{Im}(f') \iff \exists a \in G (f'(aH)=b) \iff \exists a \in G (f(a)=b) \iff b \in \operatorname{Im}(f).\]

Así, \(f'\) es un isomorfismo, de donde concluimos el resultado.

Teorema (Tercer teorema del isomorfismo)

Sean \(K \leq H \leq G\) grupos tales que \(K \triangleleft G\) y \(H \triangleleft G\). Entonces \(H / K \triangleleft G / K\) y \(G / H \cong (G/K) / (H / K)\).

Prueba: Probaremos primero que \(H / K \triangleleft G / K\). Sea \(aK \in G / K\). Hay que mostrar que \((aK) \cdot H /K \cdot (aK)^{-1} \subseteq H / K\). Sea \(bK \in H / K\), luego

\[(aK) \cdot (bK) \cdot (aK)^{-1} = (aba^{-1})K \in H / K.\]

Concluimos que \(H / K \triangleleft G / K\). Ahora, defina \(f:G/K \to G / H\) tal que \(aK \mapsto aH\). Probaremos que \(f\) está bien definida. Tome \(a,b \in G\) tales \(aK = bK\). Entonces,

\[b^{-1}a \in K \subseteq H \iff b^{-1} a \in H \iff aH = bH \implies f(aK) = f(bK).\]

Probemos que \(f\) es un homomorfismo:

\[f(aK \cdot bK) = f(a \cdot b \cdot K) \quad= ab H = aH \cdot bH =f(aK) \cdot f(bK),\]

de donde concluimos que \(f\) es un homomorfismo. Finalmente, note que

\[aK \in\operatorname{Ker}(f) \iff f(aK) =H \iff aH =H \iff a \in H \iff aK \in H / K,\]

de modo que \(\operatorname{Ker}(f) = H / K\). Finalmente, aplicando el primer teorema del isomorfismo, concluimos el resultado.

Teorema (conmutatividad de subgrupos normales)

Sea \(N,H \leq G\) con \(N \triangleleft G\). Entonces \(NH=HN\).

Prueba: Ejercicio

Teorema (Segundo teorema del isomorfismo)

Sea \((G, \cdot)\) un grupo, \(H \leq G\), \(N \triangleleft G\). Entonces \(N \cap H \triangleleft H\), \(NH \leq G\) y \(H / (N \cap H) \cong NH / N\).

Prueba: Sabemos que \(N \cap H \subseteq H\), \(N \cap H \subseteq N\). Sea \(x \in H\). Entonces \(x \in G\). Hay que mostrar que \(x(N \cap H)x ^{-1} \subseteq N \cap H\). Evidentemente, \(x(N \cap H)x ^{-1} \subseteq H\). Como \(N \triangleleft G\), entonces \(x(N \cap H)x ^{-1} \subseteq x N x ^{-1} \subseteq N\). Así, \(x(N \cap H)x ^{-1} \subseteq N \cap H\) y probamos normalidad de \(N \cap H\). La prueba de \(NH\leq G\) se deja como ejercicio. Finalmente, defina \(f:H \to G / N\) tal que \(h \mapsto h N\). Note que \(f\) es un homomorfismo, pues \(f(g \cdot h) = g h N = (gN)(hN) = f(g) \cdot f(h)\). Además,

\[h \in \operatorname{Ker}(f) \iff f(h) = N \iff hN =N \iff h \in N,\]

por lo que \(\operatorname{Ker}(f) = N \cap H\). Finalmente, probamos que \(\operatorname{Im}(f) = NH /N\). Sea \(gN \in \operatorname{Im}(f)\). Luego, existe \(h \in H\) tal que \(hN = gN\). Luego, \(g \in HN = NH\), entonces \(gN \in NH / N\). Ahora, sea \(g \in HN / N\). Entonces, existe \(x \in HN\) tal que \(g = xN \in HN / N\). Luego, \(x = h_{1} n_{1}\), con \(h_{1} \in H\), \(n_{1} \in N\). Así,

\[g = xN = (h_{1} \cdot n_{1})N = h_{1} N,\]

entonces \(g = f(h_{1}) \in \operatorname{Im}(f)\). El resultado se sigue al aplicar el primer teorema del isomorfismo.

Ejercicio (Imagen inversa de un subgrupo)

Si \(f:G \to G^{\ast}\) es un homomorfismo y \(S^{\ast}\leq G^{\ast}\). Entonces \(f^{-1}(S^{\ast}) = \{ x \in G : f(x)\in S^{\ast} \}\)

Teorema (Correspondencia)

Sea \((G, \cdot)\) un grupo, \(H \triangleleft G\) y \(p:G \to G / H\) tal que \(p(g)=gH\). Entonces \(K \mapsto p(K) = K / H\) es una biyección entre los subgrupos de \(G\) que contienen a \(H\) y los subgrupos de \(G/H\). Además, si \(K\) es tal que \(H\leq K\leq G\) y \(K^{\ast}:=K / H\), tenemos que

1. \(L\leq K \iff L^{\ast} \leq K^{\ast}\) y en este caso \([K:L] =[K^{\ast}:L^{\ast}]\).
2. \(L \triangleleft K \iff L^{\ast} \triangleleft K^{\ast}\), y en este caso, \(K / L \cong K^{\ast} / L^{\ast}\).

Prueba: Sean \(A = \{ L: H\leq L \leq G \}\) y \(B = \{ \tilde{G}: \tilde{G} \leq G / H \}\). Defina \(\Phi:A \to B\) tal que \(\Phi(L) = L / H\). Suponga que \(L,K \in A\) y \(L / H = K /H\). Probaremos que \(L = K\). Sea \(\ell \in L\). Entonces, \(\ell H \in L / H\), i.e., existe \(k \in K\) tal que \(\ell H = k H\). Así, \(\ell ^{-1} k \in H \subseteq K\). Como \(k \in K\) y \(\ell^{-1}k \in K\), tenemos \(\ell = k \cdot (\ell^{-1}k)^{-1} \in K\), de donde \(L \subseteq K\). La otra inclusión es igual. Luego \(\Phi\) es inyectiva. Ahora, sea \(C \in B\), i.e, \(C \leq G / H\). Sea \(K = p ^{-1}(C) \leq G\) y \(\operatorname{Ker}(p) \subseteq K\). Entonces, \(H \subseteq K\). Así, \(\Phi(K)=C\). Concluya que que \(\Phi\) es una biyección. Probaremos ahora los puntos 1 y 2:

1. Es claro que \(L \leq K \iff L ^\ast \leq K^{\ast}\). Para probar que los indices coinciden, basta probar que existe una biyección entre las coclases de \(K/L\) y \(K^\ast/L^{\ast}\). Sea \(f:K/L \to K^{\ast}/L^{\ast}\) tal que \(kL \mapsto p(k)L^{\ast} = kH (L / H)\).

   • Bien-definición de \(f\): Si \(k_{1}, k_{2} \in K\) son tales que \(k_{1}L = k_{2}L\), entonces \(k_{2}^{-1} k_{1} \in L\) y en consecuencia \(k_{2}^{-1} k_{1} H \in L/H = L^{\ast}\), lo que implica que \(f(k_{1}L) = p(k_{1}) L^\ast = p(k_{2}) L^{\ast} = f(k_{2}L)\), y por tanto, \(f\) está bien definida.

   • Inyectividad de \(f\): Sean \(k_{1}, k_{2} \in K\) tales que \(f(k_{1}L) = f(k_{2}L)\). Note que \(f\) es inyectiva, pues

     \[\begin{aligned} p(k_{1})L^{\ast} = p(k_{2}) L^{\ast} &\implies p(k_{2})^{-1} \ast p(k_{1}) \in L^{\ast} \implies p(k_{2}^{-1} k_{1}) \in L^\ast = L/H \\ k_{2}^{-1} k_{1} H \in L / H &\implies k_{2}^{-1} k_{1} \in L \implies k_{1}L = k_{2}L, \end{aligned}\]
   • Sobreyectividad de \(f\): Esto se sigue directamente de la sobreyectividad de \(p\). Así, \([K:L] = [K^{\ast}:L^{\ast}]\).

2. El isomorfismo entre \(K/L\) y \(K^{\ast}/L^{\ast}\) se sigue del tercer teorema del isomorfismo.