Acciones de grupo

Definiciones y propiedades elementales

Definición (Acción de Grupos)

Sea \((G, \cdot)\) un grupo y sea \(X\) un conjunto. Decimos que \(G\) actúa sobre \(X\) (o que \(X\) es un \(G\)-conjunto) si existe una función \(\alpha: G \times X \to X\) tal que

1. \(\forall g,h \in G \quad\forall x \in X \quad \Big( \alpha\big(g, \alpha(h,x)\big) = \alpha(g \cdot h, x)\Big)\),
2. \(\forall x \in X \quad\Big( \alpha(1_{G}, x) = x \Big)\).

Notación (Acción de un elemento)

Si \(G\) actúa sobre \(X\), dado \(g \in G\), denotamos \(\alpha_{g}:X \to X\) tal que \(x \mapsto \alpha(g,x)\). Si conocemos la acción específica, es común escribir \(g \cdot x\).

Nota (Propiedades inmediatas)

1. Para todos \(g,h \in G\) y para todo \(x \in X\), tenemos que \(\alpha_{g}(\alpha_{h}(x)) = \alpha_{g \cdot h}(x)\).
2. \[\alpha_{1_{G}} = \mathrm{id}_{X}\]

Ejemplos (Acciones usuales)

1. Sea \(n \in \mathbb{N}\). Considere \(G = S_{n}\) y \(X = \{ 1,\dots,n \}\). Defina \(\alpha: S_{n} \times X \to X\) tal que \((\sigma, i) \mapsto \sigma(i)\). Note que si \(\gamma,\sigma \in S_{n}\), dado \(i \in X\),

   \[\alpha_{\sigma}(\alpha_{\gamma}(i)) = \alpha_{\sigma}(\gamma(i)) = (\sigma \circ \gamma)(i) = \alpha_{\sigma \circ \gamma} (i).\]

Además, \(\alpha_{\mathrm{id}}(i) = \mathrm{id}(i) = i\). Por tanto, \(\alpha\) es una acción de grupos y \(S_{n}\) actúa sobre \(X\).

1. Sean \(G = (\mathbb{Z}, +)\) y \(X = \mathbb{R}\). Defina \(\tau: G \times X \to X\) tal que \((n,x) \mapsto x+ n\). Note que dados \(m,n \in \mathbb{Z}\) y \(x \in \mathbb{R}\),

   \[\tau_{n}(\tau_{m(x)}) = \tau_{n}(x+m) = (x+m)+n = x + (m+n) = \tau_{m+n}(x).\]

Además, \(\tau_{0}(x) = x+0 = x\). Por tanto, \(\mathbb{Z}\) actúa sobre \(\mathbb{R}\).

1. Sean \(G = \mathrm{GL}_{n}(\mathbb{R})\) y \(X = \mathbb{R}^{n}\). Defina \(\alpha: G \times X \to X\) tal que \((A,v) \mapsto A v\). Mostrar que \(\alpha\) es una acción de grupos queda como ejercicio.

2. Dado un grupo \(G\), defina \(\mu:G \times G \to G\) tal que \((g,h) \mapsto g \cdot h\). Es fácil ver que \(\mu\) es una acción de grupo. Así, \(G\) actúa sobre sí mismo.

Lema (Acción es biyectiva sobre \(X\))

Sea \(G\) un grupo y \(X\) un conjunto. Suponga que \(\alpha:G \times X \to X\) es una acción de grupos. Entonces, si \(g \in G\), \(\alpha_{g}: X \to X\) tal que \(x \mapsto \alpha(g,x)\) es una biyección, i.e., \(\alpha_{g} \in S_{x}\).

Prueba: Considere \(\alpha_{g^{-1}}:X \to X\) tal que \(x \mapsto \alpha(g^{-1}, x)\). Note que

\[(\alpha_{g} \circ \alpha_{g^{-1}})(x) = \alpha_{g \circ g ^{-1}}(x) = \alpha_{1_{G}}(x) = x.\]

De la misma forma, \((\alpha_{g^{-1}} \circ \alpha_{g}) = \mathrm{id}_{X}\), por lo que concluimos que la función es biyectiva.

Teorema (Acciones y homomorfismos están en biyección)

Sea \(G\) un grupo y \(X\) un conjunto. Defina

\[\begin{aligned} \Omega:&= \{ \alpha: G \times X \to X: \alpha \text{ es una acción de } G \text{ en }X\},\\ \Sigma:&= \{ \phi: G \to S_{X} : \phi \text{ es homomorfismo de grupos} \}. \end{aligned}\]

Entonces, \(\Omega\) y \(\Sigma\) están en biyección

Prueba: Defina \(\Phi: \Omega \to \Sigma\) de la siguiente manera. Dada una acción \(\alpha: G \times X \to X\), defina \(\phi:G \to S_{X}\) tal que \(\phi(g) = \alpha_{g}\) donde \(\alpha_{g}:X \to X\) es tal que \(x \mapsto\alpha(g,x)\). Es fácil ver que \(\phi\) es un homomorfismo y que \(\alpha_{g} \in S_{X}\). Tome \(\Phi(\alpha) = \phi\). Ahora, defina \(\Psi: \Sigma \to \Omega\) de la siguiente manera. Dado \(\phi:G\to S_{X}\) homomorfismo, sea \(\alpha:G \times X \to X\) tal que \((g,x) \mapsto \phi(g)(x) \in X\). Note que \(\alpha\) es una acción, pues si \(g,h \in G\)y \(x \in X\), tenemos que

\[\begin{aligned} \alpha(g \cdot h,x) = \phi(gh) (x) &= (\phi(g) \circ \phi(h))(x) \\ &= \phi(g) \big(\phi(h)(x)\big) \\ &=\phi(g) (\alpha(h, x)) \\ &=\alpha(g, \alpha(h,x)), \end{aligned}\]

y además, dado \(x \in X\), \(\alpha(1_{G}, x) = \phi(1_{G})(x) = \mathrm{id}_{X}(x) = x\). Tome \(\Psi(\phi) = \alpha\). Verificar que \(\Phi \circ \Psi = \mathrm{id}_{\Sigma}\) y que \(\Psi \circ \Phi = \mathrm{id}_{\Omega}\) queda como ejercicio.

Teorema (Cayley)

Dado \(G\) un grupo, \(G\) es isomorfo a un subgrupo de \(S_{G}\).

Prueba: Considere \(\mu_{g}:G \to G\) tal que \(h \mapsto g\cdot h\). Sea \(\phi: G \to S_{G}\) tal que \(g \mapsto \mu_{g}\). Ya vimos que \(\phi\) es un homomorfismo. Veamos que \(\phi\) es inyectivo:

\[g \in \operatorname{Ker}(\phi) \iff \phi(g) = \mu_{g}= \mathrm{id}_{G} \iff g \cdot x = x \quad \forall x \in G \iff g =1_{G},\]

por lo que \(\operatorname{Ker}(\phi) = \{ 1_{G} \}\). Ahora, usando el primer teorema del isomorfismo, obtenemos que

\[G / \operatorname{Ker}(\phi) = G/\{ 1_{G} \} = G\cong \operatorname{Im}(\phi) \leq S_{G},\]

de donde concluimos el resultado.