Órbitas y estabilizadores

Órbitas y estabilizadores

Sea \(G\) un grupo y \(X\) un conjunto. Sea \(\alpha\) una acción de \(G\) sobre \(X\). Defina la relación \(\sim\) en \(X\) tal que \(x \sim y \iff \exists g \in G \Big(\alpha_{g}(x) = y\Big)\). Es fácil ver que \(\sim\) es una relación de equivalencia.

Definición (Órbita)

Sea \(G\) un grupo y \(X\) un conjunto tal que \(G\) actúa sobre \(X\) por la acción \(\alpha\). Dada la relación de equivalencia \(\sim\) arriba definida, definimos la órbita de \(x \in X\) como

\[\mathcal{O}_{x} := \{ y \in X:y \sim x \} = \{ y \in X: \exists g \in G \big( \alpha_{g}(x) = y \big) \}.\]

Como \(\sim\) es una relación de equivalencia, las órbitas forman una partición de \(X\), i.e., \(X = \dot\bigcup_{x \in X} \mathcal{O}_{x}\).

Definición (Acción transitiva)

Sea \(G\) un grupo y \(X\) un conjunto tal que \(G\) actúa sobre \(X\). Si existe \(x \in X\) tal que \(\mathcal{O}_{x} =X\) decimos que la acción es transitiva. Equivalentemente, la acción es transitiva si para todos \(x,y \in X\) existe \(g \in G\) tal que \(x = \alpha_{g}(y)\).

Definición (Estabilizador)

Sea \(G\) un grupo y \(X\) un conjunto tal que \(G\) actúa sobre \(X\) por la acción \(\alpha\). Dado \(x \in X\), definimos el estabilizador de \(x\) por \(G_{x}:= \{ g \in G:\alpha_{g}(x)=x \}\).

Lema (Estabilizador es un subgrupo)

Prueba: \(G_{x} \neq \emptyset\) pues \(1_{G} \in G_{x}\) por definición. Ahora, sean \(g,h \in G_{x}\). Note que \(\alpha_{h^{-1}}(x) = (\alpha_{h})^{-1}(x) = x\). Finalmente, tenemos que

\[\alpha_{gh^{-1}}(x) = \alpha_{g}(\alpha_{h^{-1}}(x)) = x,\]

por lo que \(g \cdot h^{-1} \in G_{x}\), de donde concluimos que \(G_{x} \leq G\).

Ejemplos (Órbitas y estabilizadores)

1. Sea \(n\geq2\). Considere la acción de \(S_{n}\) sobre \(X = \{ 1,\dots,n \}\) tal que \(\alpha_{\sigma}(i) = \sigma(i)\). En este caso hay una única órbita. Sean \(i,j \in X\) y considere \(\tau = \begin{pmatrix}i & j\end{pmatrix}\). Note que \(\alpha_{\tau}(i) = j\), por lo que \(i \sim j\), i.e., todo par de elementos de \(X\) se relacionan. Por tanto la acción es transitiva. Ahora, note que si \(1 \leq i\leq n\), \(G_{i} = \{ \sigma \in S_{n}: \sigma(i) = i \} \cong S_{n-1}\).

2. Considere \(G = (\mathbb{Z}, + )\) y \(X=\mathbb{R}\) bajo la acción \(\tau(n,x) = x+n\). Note que si \(x,y \in \mathbb{R}\),

   \[x \sim y \iff \exists n \in \mathbb{Z} \Big(\tau_{n}(x) = y\Big) \iff \exists n \in \mathbb{Z} \Big(y=x+n\Big) \iff x-y \in \mathbb{Z},\]

de donde tenemos que \(x\) y \(y\) tienen la misma parte decimal. Hay una cantidad no numerable de órdenes. Es evidente ver que para todo \(x \in \mathbb{R}\), \(G_{x} = \{ 0 \}\).

1. Considere \(G = \mathbb{S}^{1} =\{ e^{i\theta}:\theta \in [0, 2\pi) \}\) y \(X = \mathbb{C}\). Defina la acción \(\rho_{\theta}(z) = z e^{i \theta}\) (ver que esto es una acción es un ejercicio). Sea \(z \in \mathbb{C}\). Entonces,

   \[\mathcal{O}_{z} = \{ \rho_{\theta}(z): \theta \in [0, 2\pi) \} = \{ ze^{i \theta}: \theta \in [0,2\pi) \} = \{ w \in \mathbb{C}: \lvert w \rvert = \lvert z \rvert \}.\]

Ahora, veamos qué pasa con el estabilizador. Si \(z = 0\), tenemos que

\[G_{0} = \{ \theta \in \mathbb{S}^{1}: \rho_{\theta}(0) = 0 \} = \{ g \in \mathbb{S}^{1}: 0 e^{i \theta} = 0 \} = \mathbb{S}^{1}.\]

Por otro lado, si \(z \neq 0\),

\[\rho_{\theta}(z) = z \iff z e^{i \theta} = z \iff \theta = 0 \iff e^{i \theta } = 1,\]

lo que implica que \(G_{Z} = \{ 1 \}\).

1. Sea \(G\) un grupo y \(H \leq G\). Considere \(G / H = \{ gH : g \in G\}\). Defina una acción de \(G\) en \(G / H\) tal que \(\mu:G \times G / H\to G /H\) tal que \(\mu_{g}(hH) = (g \cdot h) H\). Queda como ejercicio ver que \(\mu\) es una acción transitiva. Ahora, note que

   \[g \in G_{xH} \iff (g \cdot x) H = xH \iff x ^{-1} \cdot g \cdot x \in H \iff g \in x H x ^{-1},\]

de modo que \(G_{xH} = xH x ^{-1}\).

1. Sea \(G = \mathrm{GL}(n,\mathbb{R})\) y \(X = \mathbb{R}^n\). Defina la acción \(\alpha_{A}(v)=Av\). Note que

   \[\mathcal{O}_{0} = \{ v \in \mathbb{R}: \exists A \in G (Av = w) \} = \{ 0 \}.\]

Por tanto, esta acción no es transitiva.

1. Sea \(G\) un grupo. Defina \(\mu:G\to G\) tal que \(\mu_{g}(h) = gh\). Sean \(h,g \in G\). Note que \(\mu_{gh^{-1}}(h) = (gh^{-1})h=g\), de modo que \(h \sim g\). Por tanto, la acción es transitiva.

2. Sea \(G\) un grupo y considere la acción de \(G\) en \(G\) como la conjugación \(\mu_{g}(h) = ghg^{-1}\). Sea \(x \in G\). Tenemos que

   \[x^G := O_{x} = \{ y \in G: \exists g \in G (g xg^{-1} = y) \} = \{ gxg^{-1}:g \in G \}.\]

Por otro lado, \(G_{x}:= \{ g \in G: gxg^{-1} = x \} = C_{G}(x)\) (el centralizador).

Teorema (Órbita y cociente del estabilizador)

Sea \(G\) un grupo y \(X\) un conjunto tal que \(G\) actúa sobre \(X\). Sea \(x \in X\). Entonces \(\lvert \mathcal{O}_{x} \rvert = [G:G_{x}]\).

Prueba: Vamos a construir una biyección \(\Phi:\mathcal{O}_{x} \to G / G_{x}\). Sea \(y \in \mathcal{O}_{x}\). Entonces existe \(g \in G\) tal que \(\alpha_{g}(x) = y\). Defina \(\Phi(y) = g \cdot G_{x}\). \(\Phi\) está bien definida, pues si \(g,h\) son tales que \(\alpha_{g}(x) = \alpha_{h}(x)\), entonces

\[\alpha_{h^{-1}g}(x) = \alpha_{h^{-1}}(\alpha_{g}(x)) = \alpha_{h^{-1}}(\alpha_{h}(x)) = \alpha_{1_{G}}(x) = x,\]

de modo que \(h^{-1}g \in G_{x}\) y por tanto \(g \cdot G_{x} = h \cdot G_{x}\). \(\Phi\) es inyectiva pues si \(y,z \in \mathcal{O}_{x}\) tal que \(\Phi(y) = \Phi(z)\), existen \(g,h \in G\) tales que \(\alpha_{g}(x) = y\) y \(\alpha_{h}(x) = z\). Así, tenemos que

\[g G_{x} = h G_{x} \implies h^{-1} g \in G_{x} \implies \alpha_{h^{-1}g}(x)=x.\]

Así, \(\alpha_{h^{-1}}(\alpha_{g}(x)) = \alpha_{h}^{-1}(\alpha_{g}(x)) = x \implies \alpha_{g}(x)=\alpha_{h}(x)\). Finalmente \(\Phi\) es sobreyectiva, pues si \(g \cdot G_{x} \in G / G_{x}\), tome \(y = \alpha_{g}(x)\). Note que \(\Phi(y) = g \cdot G_{x}\). Así, \(\Phi\) es una biyección y por tanto los conjuntos dados poseen la misma cardinalidad.

Corolario (La órbita divide al orden del grupo)

Sea \(G\) un grupo finito y \(X\) un conjunto tal que \(G\) actúa sobre \(X\). Entonces para todo \(x \in X\), \(\lvert \mathcal{O}_{x} \rvert \Big\lvert \lvert G \rvert\).

Prueba: Tenemos que \(\lvert \mathcal{O}_{x} \rvert = [G:G_{x}] =\frac{ \lvert G \rvert}{\lvert G_{x} \rvert}\), de donde concluimos el resultado

Corolario (Tamaño de la clase de conjugación)

Sea \(G\) un grupo finito y \(x \in G\), Entonces \(\lvert x^{G} \rvert = [G:C_{G}(x)]\).

Teorema (Cauchy)

Sea \(G\) un grupo finito y \(p\) un primo tal que \(p \Big\lvert \lvert G \rvert\). Entonces existe \(g \in G\) tal que \(\lvert g \rvert = p\).

Prueba: [Prueba 1, para grupos abelianos.] Suponga que \(G\) es abeliano. Procedemos por inducción fuerte sobre \(\lvert G \rvert=n\). El caso base (\(n=1\)) es trivialmente cierto por vacuidad. Suponga como hipótesis inductiva que el resultado es cierto para todo grupo \(H\) tal que \(\lvert H \rvert < n\). Sea \(a \in G\) con \(a \neq 1_{G}\) y \(k = \lvert a \rvert\). Considere los siguientes casos: Caso 1: Suponga que \(p \mid k\). Entonces, existe \(\ell \in \mathbb{N}\) tal que \(p \ell = k\). Luego \(\lvert a^{\ell} \rvert = p\). Caso 2: Suponga que \(p \not\mid k\). Sea \(H = \langle a \rangle\). Como \(G\) es abeliano, \(H \triangleleft G\), por lo que \(G/H\) es un grupo y \(\lvert H \rvert = k\). Note que

\[\lvert G / H \rvert = \frac{\lvert G \rvert }{\lvert H \rvert } = \frac{n}{k} < n.\]

Como \(p \mid n\) y \(p \not\mid k\), \(p \mid \frac{n}{k}\). Por la hipótesis inductiva, existe \(sH \in G /H\) tal que \(\lvert sH \rvert = p\). Sea \(m = \lvert s \rvert\). Note que \((sH)^{m} = s^{m}H = H\), por lo que \(p \mid m\). Finalmente, aplique el caso 1 sobre \(s\). Concluimos el resultado

Prueba: [Prueba 2, general.] Sea \(x \in G\). Recuerde que \(x^{G} = \{ g x g^{-1}: g \in G \}\) y que \(\lvert x^{G} \rvert = [G:C_{G}(x)]\). Procedemos por inducción fuerte sobre \(\lvert G \rvert=n\). Considere los siguientes casos: Caso 1: Si \(x \in Z(G)\), entonces \(x^{G}=\{ x \} \implies G = C_{G}(x)\). Caso 2: Si \(x \not\in Z(G)\), entonces \(\lvert x^{G} \rvert > 1\). Entonces \(C_{G}(x) < G \implies \lvert C_{G}(x) \rvert < \lvert G \rvert\). Si \(p \Big\lvert \lvert C_{G}(x) \rvert\), por la hipótesis inductiva, existe \(g \in C_{G}(x) \subseteq G\) tal que \(\lvert g \rvert=p\), de donde concluimos el resultado. Si \(p \not\Big\lvert \lvert C_{G}(x) \rvert\), tenemos que

\[[G:C_{G}(x)] = \frac{\lvert G \rvert }{\lvert C_{G}(x) \rvert } \implies [G:C_{G}(x)] \cdot \lvert C_{G}(x) \rvert = \lvert G \rvert \implies p \mid [G:C_{G}(x)].\]

Sean \(x_{1},\dots,x_{k}\) las clases de conjugación diferentes que se obtienen mediante la relación de ser conjugación y que no estén en \(Z(G)\). Entonces,

\[G = Z(G) \dot{\cup} \bigcup_{i=1}^{k} x_{i}^{G} \implies \lvert G \rvert = \lvert Z(G) \rvert + \sum_{i=1}^{k} \lvert x_{i}^{G} \rvert \implies \lvert G \rvert - \sum_{i=1}^{k} \lvert x_{i}^{G} \rvert = \lvert Z(G) \rvert,\]

de donde concluimos que \(p \Big\lvert \lvert Z(G) \rvert\). Así, \(Z(G)\) es subgrupo propio de \(G\), y concluimos el resultado al aplicar la hipótesis inductiva sobre \(Z(G)\).

Nota (La hipótesis de primalidad es necesaria)

El teorema es falso si \(p\) no es primo. Note que \(8 \mid 120 \implies 8 \Big\lvert \lvert S_{5} \rvert\). Pero hemos visto que no hay subgrupos de orden 8 en \(S_{5}\).

Definición (\(p\)-grupo)

Sea \(p\) primo. Un grupo \(G\) es un \(p\)-grupo si existe \(k \in \mathbb{N}\) tal que \(\lvert G \rvert=p^{k}\).

Ejercicio (Centro de un \(p\)-grupo)

Si \(G\) es un \(p\)-grupo, \(Z(G) \neq \{ 1_{G} \}\).

Corolario (Grupos de orden \(p^{2}\))

Si \(p\) es primo y \(\lvert G \rvert = p^{2}\), entonces \(G\) es abeliano.

Prueba: Suponga que \(G\) no es abeliano. Entonces \(Z(G)\) es un subgrupo propio de \(G\). Por Lagrange, \(\lvert Z(G) \rvert \in \{ 1,p \}\). Por el ejercicio anterior, \(\lvert Z(G) \rvert = p\). Sabemos que \(Z(G) \triangleleft G\). Así, \(\lvert G / Z(G) \rvert = \frac{\lvert G \rvert}{\lvert Z(G) \rvert} = p\), de donde concluimos que \(G / Z(G)\) es cíclico y por tanto \(G\) es abeliano.

Teorema (Subgrupos de un grupo abeliano finito)

Sea \(G\) un grupo abeliano finito. Entonces \(G\) tiene un subgrupo de orden \(d\) para todo \(d\) tal que \(d \Big\lvert \lvert G \rvert\).

Prueba: Sea \(n = \lvert G \rvert\). Proceda por inducción fuerte sobre \(d\), con \(d \mid n\). El caso base es trivial, pues si \(H = \{ 1_{G} \}\implies \lvert H \rvert=1\). Sea \(d>1\). Suponga como hipótesis inductiva que para todo \(e < d\) y para todo \(\tilde{G}\) grupo con \(e \Big\lvert \lvert \tilde{G} \rvert\) existe \(\tilde{H} < \tilde{G}\) tal que \(\lvert \tilde{H} \rvert = e\). Como \(d \mid n\), existe \(k \in \mathbb{N}\) tal que \(kd=n\). Como \(d>1\), existe \(p\) primo tal que \(p \mid d\), i.e., existe \(\ell \in \mathbb{N}\) tal que \(\ell p = d\). Por Teorema de Cauchy, existe \(g \in G\) tal que \(\lvert g \rvert=p\). Sea \(H = \langle g \rangle\). Note que \(H\) es cíclico, y por tanto abeliano y normal. Luego, \(G / H\) es grupo. Así,

\[\lvert G / H \rvert = \frac{\lvert G \rvert }{\lvert H \rvert } = \frac{n}{p} = \frac{kd}{p} = \frac{k \ell p}{p} = k \ell.\]

Así, \(\ell \Big\lvert \lvert G / H \rvert\) y \(\lvert G/H \rvert < n\). Como \(\ell < d\), por la hipótesis inductiva, existe \(S^{\ast} < G / H\) tal que \(\lvert S^{\ast} \rvert = \ell\). Por teorema de correspondencia, existe \(S < G\) tal que \(H \leq S \leq G\) y \(S^{\ast} = S/H\). Concluimos notando que

\[\ell = \lvert S^{\ast} \rvert = \frac{\lvert S \rvert}{\lvert H \rvert } = \frac{\lvert S \rvert}{p} \implies \lvert S \rvert = \ell p =d,\]

de donde se sigue el resultado.

Teorema (Subgrupos de un \(p\)-grupo)

Sea \(G\) un \(p-grupo\) tal que \(\lvert G \rvert = p^{e}\). Entonces para todo \(k \leq e\), existe \(H \leq G\) tal que \(\lvert H \rvert = p^{k}\).

Prueba: Procedemos por inducción sobre \(e\). Para \(e=0\), tenemos que \(G=\{ 1_{G} \}.\) Tome \(H = G\). Sea \(e > 0\) y sea \(k \leq e\). Suponga como hipótesis inductiva que el resultado es cierto para \(f<e\). Como \(\lvert G \rvert = p^{e}\) y \(e>0\), entonces \(Z(G)\) es no trivial. Considere los siguientes casos.

• Si \(G = Z(G)\), entonces \(G\) es abeliano. Por el teorema anterior, concluimos el resultado.

• Ahora, si \(G \neq Z(G)\), existe \(c < e\) tal que \(\lvert Z(G) \rvert = p^{c}\) con \(c<e\). Si \(k \leq c\), entonces por hipótesis inductiva sobre \(Z(G)\), existe \(H \triangleleft Z(G)\) tal que \(\lvert H \rvert=p^{k}\). Por otro lado, si \(k>c\), sabemos que \(G / Z(G)\) es un grupo (pues \(Z(G) \triangleleft G\)). Ahora, note que

  \[\lvert G / Z(G) \rvert = \frac{\lvert G \rvert }{\lvert Z(G) \rvert } = p^{e-c}.\]

Aplicando hipótesis inductiva sobre \(G / Z(G)\), existe \(S^{\ast} \leq G/Z(G)\) tal que \(\lvert S^{\ast} \rvert = p^{k-c}\). Por teorema de correspondencia, existe \(S \leq G\) tal que \(Z(G) \leq S \leq G\) y \(S^{\ast} = S / Z(G)\). Así,

\[\lvert S^{\ast} \rvert \cdot \lvert Z(G) \rvert = \lvert S \rvert \implies p^{k-c} \cdot p^{c} = \lvert S \rvert,\]

de donde concluimos el resultado.