CAPÍTULO 13 · MA-0561

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Grupos simples

Grupos Simples

Definición (Grupo simple)

Sea \(G\) un grupo no trivial. Decimos que \(G\) es simple si no tiene subgrupos normales propios, i.e., si \(H \triangleleft G\), entonces \(H = \{ 1_{G} \}\) o \(H=G\).

Teorema (Abelianos simples son \(\mathbb{Z}_{p}\))

Sea \(G\) un grupo abeliano. Entonces \(G\) es simple si y solo si \(G=\mathbb{Z}_{p}\) con \(p\) primo.

Prueba: (\(\impliedby\)): Esta dirección es sencilla, pues basta aplicar Lagrange para notar que \(G\) no tiene subgrupos propios. (\(\implies\)): Como \(G\) es abeliano, todo subgrupo es normal. Además, como \(G\) es simple, \(G \neq \{ 1_{G} \}\). Entonces, existe \(x \in G\) tal que \((x \neq 1_{G})\). Tenemos que

\[\langle x \rangle \triangleleft G \implies \langle x \rangle = G \implies G \text{ es cíclico} \implies G \cong \mathbb{Z} \quad \lor \quad G \cong \mathbb{Z}_{n}, \text{ para algún } n \in \mathbb{N}.\]

Como \(G\) es simple, \(G \not\cong \mathbb{Z}\), por lo que \(G \cong \mathbb{Z}_{n}\) para algún \(n \in \mathbb{N}\). Además, como \(G\) es simple, \(n\) es primo, de donde concluimos el resultado.

Recordatorio (Signo y grupo alternante)

Si \(\sigma \in S_{n}\) tal que \(\sigma = \beta_{1} \cdots \beta_{t}\) es su descomposición en ciclos disjuntos de \(\sigma\), entonces, \(\operatorname{sgn}( \sigma ) := (-1)^{n-t}\). Si \(\operatorname{sgn}( \sigma ) = 1\) decimos que \(\sigma\) es par y \(A_{n} = \{ \sigma \in S_{n}, \sigma \text{ es par} \}.\)

Ejercicios (Sobre \(3\)-ciclos)

  1. \(A_{n}\) es generado por los 3-ciclos si \(n\geq {5}\).
  2. En \(S_{5}\), todos los 3-ciclos son conjugados.
  3. En \(A_{5}\), todos los 3-ciclos son conjugados.

Teorema (\(A_{5}\) es simple)

\(A_{5}\) es simple

Prueba: Sea \(H \neq \{ \mathrm{id}_{S_{5}} \}\) tal que \(H \triangleleft A_{5}\). Por los ejercicios anteriores, basta mostrar que \(H\) contiene un 3-ciclo, pues si \(\sigma \in H\) es un 3-ciclo, \(\sigma^{A_{5}} \subseteq H\) pues \(H \triangleleft A_{5}\), entonces \(\langle \sigma^{A_{5}} \rangle = \{ \tau: \tau \text{ es 3-ciclo} \} \subseteq H\) y por tanto \(H = A_{5}\).

¿Cuántas configuraciones posibles tengo para la descomposición en ciclos disjuntos?

  1. \(\sigma\) se descompone en 5 1-ciclos, y por tanto \(\sigma \in A_{5}\).
  2. \(\sigma\) se descompone en un 2-ciclo y 3 1-ciclos, y por tanto \(\sigma \not\in A_{5}\).
  3. \(\sigma\) se descompone en un 3-ciclo y 2 1-ciclos, y por tanto \(\sigma \in A_{5}\).
  4. \(\sigma\) se descompone en un 4-ciclo y 1 1-ciclo, y por tanto \(\sigma \not\in A_{5}\).
  5. \(\sigma\) se descompone en un 5-ciclo, y por tanto \(\sigma \in A_{5}\).
  6. \(\sigma\) se descompone en dos 2-ciclos y un 1-ciclo, y por tanto \(\sigma \in A_{5}\).
  7. \(\sigma\) se descompone en un 3-ciclo y un 2-ciclo, y por tanto \(\sigma \not\in A_{5}\).

Luego, si \(\sigma \in H \setminus \{ 1_{G} \}\), su factorización es del tipo 3, 5 o 6. Si \(\sigma\) es del tipo 3, entonces posee un 3-ciclo y por tanto se cumple el resultado. SI \(\sigma\) es del tipo 5, suponga sin pérdida de generalidad que \(\sigma = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5\end{pmatrix}\). Sea \(\alpha = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3\end{pmatrix} \in A_{5}\). Luego,

\[w = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 & 4 & 5 \end{pmatrix} =\alpha \sigma \alpha^{-1} \in H, \text{ pues }H \triangleleft A_{5} \implies w \sigma ^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 \end{pmatrix} \in H.\]

Si \(\sigma\) es del tipo 6, suponga sin pérdida de generalidad que \(\sigma = \begin{pmatrix}1 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3 & 4\end{pmatrix}\). Sea \(\beta = \begin{pmatrix}3 & 4 & 5\end{pmatrix} \in A_{5}\). Note que \(\delta :=\beta \sigma \beta ^{-1} = \begin{pmatrix}1 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4 & 5\end{pmatrix} \in H\). Finalmente, \(\sigma \cdot \delta = \begin{pmatrix}3 & 4 & 5\end{pmatrix} \in H\). Concluya que \(A_{5}\) es simple.

Teorema (\(A_{6}\) es simple)

\(A_{6}\) es simple

Prueba: Sea \(H\neq \{ \mathrm{id}_{S_{6}} \}\) tal que \(H \triangleleft A_{6}\). Suponga por contradicción que si \(\sigma \in H \setminus \{ \mathrm{id}_{S_{6}} \}\), entonces \(\sigma\) mueve todo elemento de \(\{ 1,2,\dots,6 \}\). ¿Cuántas configuraciones posibles tengo para la descomposición en ciclos disjuntos?

  1. \(\sigma\) se descompone en tres 2-ciclos, y por tanto \(\sigma \not\in A_{6}\).
  2. \(\sigma\) se descompone en un 2-ciclo y un 4-ciclo, y por tanto \(\sigma \in A_{6}\).
  3. \(\sigma\) se descompone en dos 3-ciclos, y por tanto \(\sigma \in A_{6}\).

Si \(\sigma\) es del tipo 2, considere \(\sigma = \begin{pmatrix}1 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3 & 4 & 5 & 6\end{pmatrix}\). Como \(H\) es subgrupo, si \(\sigma \in H\), \(\sigma^{2} \in H\). Pero \(\sigma^{2}(1) = 1\), una contradicción. Por otro lado, si \(\sigma\) es del tipo 3, considere \(\sigma=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4 & 5 & 6\end{pmatrix}\). Luego, tenemos que \(\sigma ^{-1} = \begin{pmatrix}3 & 2 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}6 & 5 & 4\end{pmatrix}\). Sea \(\gamma = \begin{pmatrix}2 & 3 & 4\end{pmatrix}\). Como \(H\) es subgrupo, tenemos que \(\sigma\gamma \sigma ^{-1} \gamma ^{-1} = \begin{pmatrix}1 & 5 & 3 & 2 & 4\end{pmatrix} \in H\), una contradicción. Concluya que existen \(\sigma \in H\) y \(i \in \{ 1,\dots,6 \}\) tales que \(\sigma(i) = i\). Sea \(F = \{ \sigma \in A_{6}: \sigma(i)=i \}\). Note que, \(F \neq \{ 1_{S_{6}} \}\) y \(F \cap H \neq \{ 1_{S_{6}} \}\). Es fácil ver que \(F \cong A_{5}\). Finalmente, como \(F \cap H \triangleleft F \cong A_{5}\) y \(A_{5}\) es simple, tenemos que \(F \cap H = F\), de donde \(F \subseteq H\). Concluya que \(A_{6}\) es simple porque contiene un 3-ciclo.

Teorema (\(A_{n}\) es simple para \(n \geq 5\))

\(A_{n}\) es simple para \(n \geq5\)

Prueba: Considere el caso para \(n>6\). Sea \(H\neq \{ \mathrm{id}_{S_{n}} \}\) tal que \(H \triangleleft A_{n}\) Sea \(\sigma \in H \setminus \{ \mathrm{id}_{Sn} \}\). Entonces, existe \(i \in \{ 1,\dots,n \}\) tal que \(\sigma(i) = j \neq i\). Sea \(\alpha\) un 3-ciclo tal que \(\alpha(i)=i\) y \(\alpha(j)\neq j\). Note que

\[\alpha(\sigma(i)) = \alpha(j) \neq j \quad \land \quad\sigma(\alpha(i)) = \sigma(i) =j \implies \alpha \sigma \neq \sigma\alpha \implies \alpha\sigma\alpha ^{-1}\sigma ^{-1} \in H \setminus \{1_{S+n}\}.\]

Sabemos que la conjugación de permutaciones no me cambia la estructura de ciclos. Luego \(\sigma \alpha ^{-1} \sigma ^{-1}\) es un 3-ciclo y \(\gamma = \alpha\sigma\alpha ^{-1}\sigma ^{-1} \in H\) es un producto de dos 3-ciclos y por tanto mueve a lo sumo 6 elementos. Sean \(i_{1},\dots i_{k}\), con \(k \leq 6\), los elementos que mueve \(\gamma\). Ahora, sea \(F:=\{ \sigma \in A_{n}: \sigma(\ell) = \ell \quad \forall \ell \not\in \{ i_{1},\dots,i_{k} \}\}\). Es fácil ver que \(F \cong S_{6}\). y \(F \cap H \neq \{ 1_{S_{n}} \}\). Así, \(F \cap H \triangleleft F \cong A_{6}\), por lo que \(F \cap H = F\) y por tanto \(F \subseteq H\). En particiular, \(\begin{pmatrix}i_{1} & i_{2} & i_{3}\end{pmatrix} \in F \subseteq H\), de donde concluimos que es simple porque contiene un \(3-\)ciclo..