Teoremas de Sylow
Definición (Subgrupo de Sylow)
Sea \(p\) un primo y \(G\) un grupo. Decimos que \(H\leq G\) es un \(p-\)subgrupo de Sylow si \(\lvert H \rvert = p^{e}\) y \(p^{e}\) es la mayor potencia de \(p\) que divide a \(\lvert G \rvert\).
Ejemplo (Sylow en \(S_{4}\))
Considere \(S_{4}\). Note que \(\lvert S_{4} \rvert=4! = 2^{3} \cdot 3\). Un \(2-\)subgrupo de Sylow tiene tamaño \(2^{3}\). Un \(3-\)subgrupo de Sylow tiene tamaño \(3\). Un \(5\)-subgrupo de Sylow es \(\{ e \}\).
Teorema (Primer teorema de Sylow)
Si \(p\) es primo y \(G\) es finito, existe un \(p-\)subgrupo de Sylow.
Prueba: Sea \(\lvert G \rvert = p^{e}k\) tal que \(p \not\mid k\). Sea \(\Omega:=\{ T \subseteq G: \lvert T \rvert=p^{e} \}\). Considere la acción \(\alpha\) de \(G\) en \(\Omega\) tal que \(\alpha _g(T) = gT\). (queda como ejercicio ver que es una acción). Tenemos que \(\lvert \Omega \rvert = \binom{p^{e}k}{p^{e}} \equiv k \mod p\). Como \(p\) no divide a \(k\), tenemos que \(p\ \not\mid \Omega\). Sabemos que
\[\Omega = \dot{\bigcup}_{i \in I} \mathcal{O}_{i},\]donde \(\mathcal{O}_{i}\) son las órbitas distintas. Luego \(\lvert \Omega \rvert = \sum_{i \in I} \lvert \mathcal{O}_{i} \rvert\). Por lo tanto, existe una órbita \(\mathcal{O}_{i}\) tal que \(p \not\mid \lvert \mathcal{O}_{i} \rvert\). Luego, existe \(H \in \Omega\) tal que \(p \not\mid \mathcal{O}_{H}\) (tomando \(H\) como un representante de la clase de \(\mathcal{O}_{i}\)) . Tenemos que \(\lvert \mathcal{O}_{H} \rvert = [G:G_{H}] = \frac{\lvert G \rvert}{\lvert G_{H} \rvert} = \frac{p^{e}k}{\lvert G_{H}. \rvert}\) De aquí, tenemos que \(\lvert \mathcal{O}_{H} \rvert \mid p^{e}k \implies \lvert \mathcal{O}_{H} \rvert \mid k\). Sea \(A = \bigcup_{T \in \mathcal{O}_{H}} T = \bigcup_{g \in G} gH\). Probaremos que \(G=A\). Es claro que \(A \subseteq G\). Vamos a mostrar primero que \(A\) es estable por traslaciones izquierdas. Sea \(g \in G\), \(T \in \mathcal{O}_{H}\). Hay que mostrar que \(gA \subseteq A\). Dado \(x \in A\), existe \(T \in \mathcal{O}_{H}\) tal que \(x \in T\) y por tanto, \(gx \in gT \subseteq A\), de donde concluimos el resultado. Finalmente, tome \(h_{0} \in H\) (existe pues \(H \neq \emptyset\)); entonces \(1_{G} \in h_{0}^{-1}H \in \mathcal{O}_{H}\), de modo que \(1_{G} \in A\). Dado cualquier \(g \in G\), la estabilidad por traslaciones da \(g = g \cdot 1_{G} \in gA \subseteq A\). Concluya que \(G \subseteq A\) y por tanto \(G=A\). Así, tenemos que
\[p^{e}k = \lvert G \rvert = \lvert A \rvert =\left\lvert \bigcup_{T \in \mathcal{O}_{H}}T \right\rvert \leq \sum_{T \in \mathcal{O}_{H}} \lvert T \rvert = \lvert \mathcal{O}_{H} \rvert \cdot \lvert T \rvert = \lvert \mathcal{O}_{H} \rvert \cdot p^{e},\]y por tanto, \(k\leq \lvert \mathcal{O}_{H} \rvert\). Pero \(\lvert \mathcal{O}_{H} \rvert \mid k\), de donde \(\lvert \mathcal{O}_{H} \rvert = k\). Finalmente, como
\[\lvert \mathcal{O}_{H} \rvert \cdot \lvert G_{H} \rvert = p^{e} \cdot k \implies \lvert G_{H} \rvert = \frac{p^{e}k}{k} = p^{e}.\]Así, \(\lvert G_{H} \rvert = p^{e}\) y es un grupo.
Teorema (Segundo teorema de Sylow)
Sea \(G\) un grupo finito y \(p\) primo. Si \(P\) y \(Q\) son \(p-\)grupos de Sylow, entonces son conjugados, i.e., existe \(g \in G\) tal que \(gPg^{-1} = Q\).
Prueba: Ejercicio. Sugerencia: Considere la acción \(\alpha:P \times G / Q \to G / Q\) tal que \(\alpha_{g}(hQ) = ghQ\).
Teorema (Tercer teorema de Sylow)
Sea \(G\) finito y \(p\) primo y \(n_{p}\) el número de \(p-\)grupos de Sylow. Entonces \(p \mid n_{p}-1\).
Prueba: Sugerencia: Definir \(\Lambda_{p}: \{ H \subseteq G: H \text{ es un }p-\text{subgrupo de Sylow} \}\). Considerar la acción \(\alpha: G \times\Lambda_{p} \to \Lambda_{p}\) tal que \(\alpha_{g}(P) = gPg^{-1}\).