La definición de anillo y primeras propiedades
Definición (Anillo y anillo conmutativo)
Un anillo es un conjunto \(R\) junto con dos operaciones binarias \(+, \cdot\) tales que:
- \((R, +)\) es un grupo abeliano;
- la operación \(\cdot\) es asociativa y tiene un elemento neutro;
- si \(a, b, c \in R\), entonces \(a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c\) y \((a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c\).
Si además \((R, +, \cdot)\) cumple que para todos \(a, b \in R\), \(a \cdot b = b \cdot a\), entonces \(R\) es un anillo conmutativo.
Nota (No se supone que \(1 \neq 0\))
Si \(0\) es el neutro de \(+\) y \(1\) es el neutro de \(\cdot\), no estamos suponiendo que \(1 \neq 0\).
Proposición (Reglas aritméticas básicas en un anillo)
Sea \((R, +, \cdot)\) un anillo. Entonces:
- para todo \(a \in R\), \(a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0\);
- para todos \(a, b \in R\), \((-a) \cdot b = -(a \cdot b) = a \cdot (-b)\);
- para todos \(a, b \in R\), \((-a) \cdot (-b) = a \cdot b\);
- el neutro de \(\cdot\) es único y \((-1) \cdot a = -a\).
Prueba: Ejercicio.
Nota (El anillo trivial)
Si \(0 = 1\), entonces
\[a = a \cdot 1 = a \cdot 0 = 0\]para todo \(a \in R\), de donde \(R = \{0\}\) y el anillo es el anillo trivial de un solo elemento.
Ejemplo (Primeros ejemplos de anillos)
Los siguientes son ejemplos básicos:
- \((\mathbb{Z}, +, \cdot)\) es un anillo conmutativo.
- Sean \(n > 1\) y \(R\) un anillo. Entonces \(M_{n}(R)\) es un anillo con las operaciones \(+, \cdot\) de matrices. No es un anillo conmutativo.
- \((\mathbb{R}, +, \cdot)\), \((\mathbb{Q}, +, \cdot)\) y \((\mathbb{C}, +, \cdot)\) son anillos conmutativos.
Cuerpos y subanillos
Definición (Cuerpo)
Un cuerpo \((F, +, \cdot)\) es un anillo conmutativo tal que \(1 \neq 0\) y para todo \(a \in F\),
\[a \neq 0 \implies \exists b \in F\ (a \cdot b = 1).\]Ejercicio (Los anillos numéricos usuales son cuerpos)
Muestre que \((\mathbb{R}, +, \cdot)\), \((\mathbb{Q}, +, \cdot)\) y \((\mathbb{C}, +, \cdot)\) son cuerpos.
Definición (Subanillo)
Sea \((R, +, \cdot)\) un anillo y \(S \subseteq R\). Decimos que \(S\) es un subanillo de \(R\) si \((S, +\mid_{S \times S}, \cdot\mid_{S \times S})\) es un anillo.
Nota (Criterio de subanillo)
\(S \subseteq R\) es un subanillo si y solo si \(1 \in S\) y para todos \(a, b \in S\) se cumple que \(a - b \in S\) y \(a \cdot b \in S\). (Ejercicio.)
Unidades, divisores de cero y dominios enteros
Definición (Unidades y el grupo de unidades)
Sea \((R, +, \cdot)\) un anillo. Un elemento \(a \in R\) es una unidad si existe \(b \in R\) tal que
\[a \cdot b = 1 = b \cdot a.\]Si \(a\) es unidad, entonces \(b\) es único; en este caso escribimos \(b = a^{-1}\). Definimos además el conjunto
\[U_{R} = \{ a \in R :\ a \text{ es unidad} \}.\]A veces se escribe \(U_{R} = R^{\times}\).
Nota (Las unidades forman un grupo)
\((U_{R}, \cdot)\) es un grupo.
Nota (Las unidades de un cuerpo)
Si \((F, +, \cdot)\) es un cuerpo, entonces \(U_{F} = F \setminus \{0\}\).
Definición (Divisores de cero, anillos de división y dominios enteros)
Sea \((R, +, \cdot)\) un anillo.
- \(a \in R\) es un divisor de cero si \(a \neq 0\) y existe \(b \in R\) tal que \(b \neq 0\) y \(a \cdot b = 0\) o \(b \cdot a = 0\).
- Un anillo sin divisores de cero se llama un anillo de división.
- Un anillo conmutativo sin divisores de cero se llama un dominio entero.
Nota (Las unidades no son divisores de cero)
Todo cuerpo es un dominio entero. Más en general, si \(a \in R\) es una unidad, entonces \(a\) no es divisor de cero.
Lema (Los subanillos de un cuerpo son dominios enteros)
Sea \((F, +, \cdot)\) un cuerpo y \(R \subseteq F\) un subanillo. Entonces \(R\) es un dominio entero.
Prueba: Primero, \(R\) es conmutativo, pues la operación \(\cdot\) de \(R\) es la restricción de la de \(F\), que es conmutativa. Ahora, suponga que existe \(a \in R\) divisor de cero. Entonces \(a \neq 0\) y existe \(b \in R\) con \(b \neq 0\) tal que \(a \cdot b = 0\) o \(b \cdot a = 0\). Como \(R \subseteq F\), tenemos que \(a, b \in F\), y entonces \(a\) es un divisor de cero en \(F\). Pero \(F\) es un cuerpo y por lo tanto un dominio entero, así que \(F\) no posee divisores de cero, una contradicción. Concluimos que \(R\) no tiene divisores de cero, es decir, \(R\) es un dominio entero.
Proposición (Ley de cancelación)
Sea \((R, +, \cdot)\) un anillo y \(a \in R\) tal que \(a \neq 0\) y \(a\) no es divisor de cero. Si \(a \cdot x = a \cdot y\), entonces \(x = y\).
Prueba: Suponga que \(ax = ay\). Entonces, restando y usando la distributividad,
\[ax = ay \implies ax - ay = 0 \implies a(x - y) = 0.\]Si fuese \(x - y \neq 0\), la igualdad \(a(x - y) = 0\) exhibiría a \(a\) como divisor de cero, pues \(a \neq 0\). Como \(a\) no es un divisor de cero, necesariamente \(x - y = 0\), es decir, \(x = y\).
Lema (Todo dominio entero finito es un cuerpo)
Sea \(R \neq \{0\}\) un dominio entero finito. Entonces \(R\) es un cuerpo.
Prueba: Note primero que, como \(R \neq \{0\}\), tenemos que \(1 \neq 0\). Sea \(a \in R\) con \(a \neq 0\), y considere la función \(\mu : R \to R\) dada por \(\mu(x) = a \cdot x\). Note que \(\mu\) es inyectiva: si \(\mu(x) = \mu(y)\), entonces \(a \cdot x = a \cdot y\), y como \(a \neq 0\) no es divisor de cero (pues \(R\) es dominio entero), la ley de cancelación implica que \(x = y\). Más aún, como \(R\) es finito y \(\mu : R \to R\) es inyectiva, \(\mu\) es sobreyectiva. En particular, existe \(b \in R\) tal que
\[\mu(b) = a \cdot b = 1.\]Note que \(b \neq 0\), pues si \(b = 0\) tendríamos \(1 = a \cdot 0 = 0\), y sabemos que \(0 \neq 1\) en \(R\). Concluimos que \(a\) es invertible y, como \(a \neq 0\) era arbitrario y \(R\) es conmutativo con \(1 \neq 0\), \(R\) es un cuerpo.
Ejemplo (Los enteros y los enteros módulo \(n\))
Los siguientes ejemplos serán recurrentes:
- \((\mathbb{Z}, +, \cdot)\) es un anillo, \(\mathbb{Z}^{\times} = \{1, -1\}\) y \(\mathbb{Z}\) es un dominio entero.
-
\((\mathbb{Z}_{n}, +, \cdot)\), con \(n > 1\), es un anillo. Es un cuerpo si y solo si \(n\) es primo, y
\[\mathbb{Z}_{n}^{\times} = \{ [k] \in \mathbb{Z}_{n} :\ \operatorname{mcd}(k, n) = 1 \ \text{y}\ 0 \leq k \leq n - 1 \}.\]Si \([x] \in \mathbb{Z}_{n}\), hay exactamente dos posibilidades: \([x] \in \mathbb{Z}_{n}^{\times}\) o \([x]\) es divisor de cero (ejercicio).
Ejemplo (El anillo de endomorfismos de un grupo abeliano)
Sea \(G\) un grupo abeliano y sea
\[\operatorname{End}(G) := \{ f : G \to G\ \text{homomorfismo} \}.\]Defina \(+, \cdot\) en \(\operatorname{End}(G)\) así: si \(f, g \in \operatorname{End}(G)\), entonces \(f + g : G \to G\) es tal que \((f + g)(x) = f(x) + g(x)\), y \(f \cdot g : G \to G\) es tal que \((f \cdot g)(x) = f(g(x))\). Ejercicio: \(\operatorname{End}(G)\) es un anillo no conmutativo.
Ejemplo (El anillo de funciones con valores en un anillo)
Sea \(R \neq \{0\}\) un anillo y \(X\) un conjunto no vacío. Defina
\[\mathcal{F}(X, R) := \{ f : X \to R\ \text{funciones} \},\]con las operaciones \(+, \cdot\) dadas puntualmente: si \(f, g \in \mathcal{F}(X, R)\), entonces
\[f + g : X \to R, \quad x \mapsto f(x) +_{R} g(x), \qquad f \cdot g : X \to R, \quad x \mapsto f(x) \cdot_{R} g(x).\]Ejercicio: \(\mathcal{F}(X, R)\) es un anillo, y es conmutativo si y solo si \(R\) es conmutativo.
Ejemplo (Los enteros gaussianos)
Sea \(\mathbb{Z}[i] := \{ a + bi :\ a, b \in \mathbb{Z} \} \subseteq \mathbb{C}\). Este conjunto es llamado el de los enteros gaussianos. Como \(\mathbb{Z}[i]\) es un subanillo del cuerpo \(\mathbb{C}\), podemos ver que es un dominio entero.