La construcción de R[x]
Definición (Sucesiones eventualmente cero en \(R\))
Sea \(R\) un anillo. Definimos el conjunto de sucesiones de \(R\) como
\[R^{\mathbb{N}} := \{ (a_{i})_{i \in \mathbb{N}} :\ a_{i} \in R \} = \{ (a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n}, \dots) :\ a_{i} \in R \}.\]Llamamos \(P \subseteq R^{\mathbb{N}}\) al subconjunto de sucesiones eventualmente cero, esto es,
\[P := \{ (a_{i})_{i \in \mathbb{N}} :\ \exists N \in \mathbb{N}\ (a_{k} = 0,\ \forall k > N) \}.\]Definición (La suma y los neutros en \(P\))
Defina la operación \(+\) en \(P\) de la siguiente manera:
\[(a_{i})_{i \in \mathbb{N}} + (b_{i})_{i \in \mathbb{N}} = (a_{i} + b_{i})_{i \in \mathbb{N}}.\]Note que esta operación es cerrada en \(P\). Defina el uno y el cero en \(P\) como
\[\begin{aligned} 1 &:= (1, 0, 0, \dots, 0, \dots), \\ 0 &:= (0, 0, \dots, 0, \dots). \end{aligned}\]Definición (Multiplicación escalar en \(P\))
Si \(c \in R\) y \((a_{i})_{i \in \mathbb{N}} \in P\), defina
\[c \cdot (a_{i})_{i \in \mathbb{N}} = (c \cdot a_{0},\ c \cdot a_{1},\ \dots) \in P.\]Notación (Las potencias \(x^{k}\))
Si \(k \in \mathbb{N}\), defina \(x^{k} := (\delta_{i,k})_{i \in \mathbb{N}}\), donde \(\delta_{i,k}\) es la delta de Kronecker. Por ejemplo:
\[\begin{aligned} x^{1} &:= (0, 1, 0, \dots), \\ x^{2} &:= (0, 0, 1, \dots), \\ 1 &= x^{0} = (1, 0, \dots, 0). \end{aligned}\]Ejemplo (Un polinomio como sucesión)
\[5 + 7x + 3x^{2} = 5 \cdot (1, 0, \dots, 0) + 7 \cdot (0, 1, 0, \dots, 0) + 3 \cdot (0, 0, 1, \dots) \in P.\]Definición (El producto de polinomios y el anillo \(R[x]\))
Sean \(p = (a_{i})_{i \in \mathbb{N}}\) y \(q = (b_{i})_{i \in \mathbb{N}}\), con \(p, q \in P\). Defina \(p \cdot q = (c_{i})_{i \in \mathbb{N}}\) tal que
\[c_{k} = \sum_{i=0}^{k} a_{i} \cdot b_{k-i}.\]Note que \(p \cdot q \in P\). Así, \(P\) es un anillo con estas operaciones y lo denotamos por \(R[x]\). Este anillo es llamado el anillo de polinomios sobre \(R\).
El grado de un polinomio
Definición (Grado de un polinomio y coeficiente principal)
Antes de definir el grado de un polinomio, establecemos algunas convenciones sobre el conjunto \(\mathbb{N} \cup \{-\infty\}\). En particular:
- \(\forall n \in \mathbb{N}\ (-\infty < n)\);
- \(r + (-\infty) = -\infty\) para \(r \in \mathbb{N}\);
- \((-\infty) + (-\infty) = -\infty\).
Sea \(R\) un anillo y \(p \in R[x]\). Definimos la función del grado \(\deg : R[x] \to \mathbb{N} \cup \{-\infty\}\) tal que
\[\deg(p) = \begin{cases} -\infty & \text{si } p = 0, \\ n & \text{si } p = (a_{i})_{i \in \mathbb{N}},\ a_{n} \neq 0\ \text{y } n \text{ es el elemento más grande de } \mathbb{N} \text{ tal que } a_{n} \neq 0. \end{cases}\]Si \(\deg(p) = n\), decimos que \(a_{n}\) es el coeficiente principal de \(p\).
Proposición (Propiedades del grado)
Sea \(R\) un anillo y sean \(p, q \in R[x]\). Entonces:
- \(\deg(p + q) \leq \max\{\deg(p), \deg(q)\}\);
- \(\deg(p \cdot q) \leq \deg(p) + \deg(q)\);
- si \(p \neq 0\), \(q \neq 0\) y los coeficientes principales de \(p\) y \(q\) no son divisores de cero, entonces \(\deg(p \cdot q) = \deg(p) + \deg(q)\).
Prueba: Si \(p = 0\) o \(q = 0\), las tres afirmaciones son inmediatas de las convenciones con \(-\infty\). Suponga entonces que \(p = (a_{i})_{i \in \mathbb{N}}\) y \(q = (b_{i})_{i \in \mathbb{N}}\) son no nulos, con \(\deg(p) = n\) y \(\deg(q) = m\).
Para (1), si \(k > \max\{n, m\}\), entonces \(a_{k} = 0\) y \(b_{k} = 0\), de modo que el coeficiente \(k\)-ésimo de \(p + q\) es \(a_{k} + b_{k} = 0\). Es decir, todo coeficiente de \(p + q\) por encima de \(\max\{n, m\}\) se anula, y por lo tanto \(\deg(p + q) \leq \max\{\deg(p), \deg(q)\}\).
Para (2), escriba \(p \cdot q = (c_{k})_{k \in \mathbb{N}}\) con \(c_{k} = \sum_{i=0}^{k} a_{i} b_{k-i}\). Si \(k > n + m\), entonces en cada sumando \(a_{i} b_{k-i}\) ocurre una de dos: o bien \(i > n\), y entonces \(a_{i} = 0\); o bien \(i \leq n\), y entonces \(k - i \geq k - n > m\), de modo que \(b_{k-i} = 0\). En ambos casos el sumando es cero, así que \(c_{k} = 0\) para \(k > n + m\), y concluimos que \(\deg(p \cdot q) \leq \deg(p) + \deg(q)\).
Para (3), examinamos el coeficiente \(c_{n+m}\): un sumando \(a_{i} b_{n+m-i}\) solo puede ser no nulo si \(i \leq n\) y \(n + m - i \leq m\), es decir, si \(i \geq n\); entonces el único sumando posiblemente no nulo es el de \(i = n\), y \(c_{n+m} = a_{n} b_{m}\). Como \(a_{n}\) no es divisor de cero, \(a_{n} \neq 0\) (es coeficiente principal) y \(b_{m} \neq 0\), tenemos que \(a_{n} b_{m} \neq 0\). Entonces \(c_{n+m} \neq 0\) y, junto con (2), \(\deg(p \cdot q) = n + m\).
Definición (El anillo de polinomios en \(n\) variables)
Sea \(R\) un anillo conmutativo y \(n \geq 1\). Definimos el anillo de polinomios con \(n\) variables como
\[R[x_{1}, \dots, x_{n}] = \begin{cases} R[x_{1}] & \text{si } n = 1, \\ R[x_{1}, \dots, x_{n-1}][x_{n}] & \text{si } n > 1. \end{cases}\]Nota (Interpretación de los polinomios como funciones)
Si \(p \in R[x]\), entonces \(p\) define una función \(\tilde{p} : R \to R\): si \(p = (a_{i})_{i \in \mathbb{N}} = a_{0} + a_{1} x + \dots + a_{n} x^{n}\), entonces
\[\tilde{p} :\ c \mapsto a_{0} + a_{1} c + \dots + a_{n} c^{n}.\]Importante: no se debe confundir el polinomio con su función asociada.
Ejemplo (Polinomios distintos con la misma función asociada)
Considere los siguientes polinomios en \(\mathbb{Z}_{3}[x]\):
\[\begin{aligned} p &= x^{2} + 1, \\ q &= x^{3} + x^{2} + 2x + 1. \end{aligned}\]Note que \(p \neq q\) pero \(\tilde{p} = \tilde{q}\):
\[\begin{aligned} \tilde{p}(0) &= 1 = \tilde{q}(0), \\ \tilde{p}(1) &= 2 = \tilde{q}(1), \\ \tilde{p}(2) &= 2 = \tilde{q}(2). \end{aligned}\]El algoritmo de la división y las raíces
Teorema (Algoritmo de la división para anillos conmutativos)
Sea \(R\) un anillo conmutativo. Sean \(f, g \in R[x]\) tales que \(g \neq 0\), y sea \(b\) el coeficiente principal de \(g\). Entonces existen \(m \geq 0\) y \(q, r \in R[x]\) tales que
\[b^{m} \cdot f = q \cdot g + r, \quad \text{con } \deg(r) < \deg(g) \ \text{y}\ m \leq \max\{0,\ \deg(f) - \deg(g) + 1\}.\]Prueba: Procedemos por inducción fuerte sobre \(\deg(f)\). Si \(\deg(f) < \deg(g)\) (en particular, si \(f = 0\)), tome \(m = 0\), \(q = 0\) y \(r = f\); entonces \(b^{0} f = 0 \cdot g + f\), \(\deg(r) = \deg(f) < \deg(g)\) y \(m = 0 \leq \max\{0, \deg(f) - \deg(g) + 1\}\).
Suponga ahora que \(\deg(f) \geq \deg(g)\), y que el resultado vale para todo polinomio de grado menor que \(\deg(f)\). Sean \(a\) el coeficiente principal de \(f\), \(n = \deg(f)\) y \(k = \deg(g)\), de modo que \(n \geq k\). Defina
\[h := b \cdot f - a \cdot x^{\,n-k} \cdot g.\]Entonces \(\deg(h) < \deg(f)\): en efecto, tanto \(b \cdot f\) como \(a \cdot x^{\,n-k} \cdot g\) tienen grado a lo más \(n\), y sus coeficientes de grado \(n\) son \(b \cdot a\) y \(a \cdot b\) respectivamente, que coinciden porque \(R\) es conmutativo; al restar, el término de grado \(n\) se cancela. Por hipótesis inductiva aplicada a \(h\), existen \(m_{1} \geq 0\) y \(q_{1}, r_{1} \in R[x]\) tales que
\[b^{m_{1}} \cdot h = q_{1} \cdot g + r_{1}, \qquad \deg(r_{1}) < \deg(g), \qquad m_{1} \leq \max\{0,\ \deg(h) - \deg(g) + 1\}.\]Así, sustituyendo la definición de \(h\), tenemos que
\[\begin{aligned} q_{1} \cdot g + r_{1} = b^{m_{1}} \cdot h &= b^{m_{1}} \big( b \cdot f - a \cdot x^{\,n-k} \cdot g \big) \\ &= b^{m_{1} + 1} \cdot f - b^{m_{1}} \cdot a \cdot x^{\,n-k} \cdot g, \end{aligned}\]y despejando obtenemos
\[b^{m_{1} + 1} \cdot f = \big( q_{1} + b^{m_{1}} \cdot a \cdot x^{\,n-k} \big) \cdot g + r_{1}.\]Tomando \(m = m_{1} + 1\), \(q = q_{1} + b^{m_{1}} \cdot a \cdot x^{\,n-k}\) y \(r = r_{1}\), se cumple la identidad con \(\deg(r) < \deg(g)\). Finalmente, como \(\deg(h) \leq n - 1\), tenemos que
\[m = m_{1} + 1 \leq \max\{0,\ (n - 1) - k + 1\} + 1 \leq (n - k) + 1 = \max\{0,\ \deg(f) - \deg(g) + 1\},\]donde la última igualdad usa que \(n \geq k\). Esto completa el paso inductivo y la prueba.
Definición (Raíz de un polinomio)
Sea \(p(x) \in R[x]\). Decimos que \(\alpha \in R\) es una raíz de \(p\) si \(\tilde{p}(\alpha) = 0\).
Teorema (Factorización de la raíz de un polinomio)
Sea \(R\) un anillo conmutativo y \(p(x) \in R[x]\). Entonces \(\alpha\) es raíz de \(p(x)\) si y solo si existe \(t \in R[x]\) tal que \(p = (x - \alpha) \cdot t\).
Prueba: Ejercicio.
Teorema (Algoritmo de la división para cuerpos)
Sea \(F\) un cuerpo. Sean \(f, g \in F[x]\) tales que \(g \neq 0\). Entonces existen únicos \(q, r \in F[x]\) tales que
\[f = q \cdot g + r, \quad \text{con } \deg(r) < \deg(g).\]Prueba: Para la existencia se aplica el algoritmo de la división para anillos: si \(b\) es el coeficiente principal de \(g\), existen \(m \geq 0\) y \(q_{0}, r_{0} \in F[x]\) tales que \(b^{m} f = q_{0} g + r_{0}\) con \(\deg(r_{0}) < \deg(g)\). Como \(g \neq 0\), tenemos que \(b \neq 0\), y entonces \(b\) es una unidad de \(F\); en particular \(b^{m}\) es invertible. Multiplicando por \(b^{-m}\) obtenemos
\[f = \big( b^{-m} q_{0} \big) g + b^{-m} r_{0},\]y basta tomar \(q = b^{-m} q_{0}\) y \(r = b^{-m} r_{0}\). Note que \(\deg(r) = \deg(r_{0}) < \deg(g)\), pues multiplicar por la constante no nula \(b^{-m}\) no altera el grado (en un cuerpo no hay divisores de cero). La unicidad queda como ejercicio.
Teorema (Polinomios sobre un dominio entero)
Sea \(A\) un dominio entero. Entonces:
- \(A[x]\) es un dominio entero y \((A[x])^{\times} = A^{\times}\);
- si \(p \in A[x]\), \(p \neq 0\) y \(\deg(p) = n\), entonces \(p\) tiene a lo más \(n\) raíces distintas.
Prueba: Parte 1. Suponga que existen \(p, q \in A[x]\), con \(p \neq 0\) y \(q \neq 0\), tales que \(p \cdot q = 0\). Entonces \(\deg(p \cdot q) = -\infty\). Pero los coeficientes principales de \(p\) y \(q\) son distintos de cero, y en un dominio entero los elementos no nulos no son divisores de cero; entonces, por las propiedades del grado,
\[\deg(p \cdot q) = \deg(p) + \deg(q) \in \mathbb{N},\]una contradicción. Concluimos que \(A[x]\) es un dominio entero.
Para las unidades, note primero que \(A^{\times} \subseteq (A[x])^{\times}\), pues la igualdad \(a \cdot a^{-1} = 1\) en \(A\) también vale en \(A[x]\) al identificar las constantes. Recíprocamente, sea \(p \in (A[x])^{\times}\). Entonces existe \(q \in A[x]\) tal que \(p \cdot q = 1\); en particular \(p \neq 0\) y \(q \neq 0\). Así,
\[\deg(p \cdot q) = \underbrace{\deg(p) + \deg(q)}_{\in\, \mathbb{N}} = \deg(1) = 0,\]de donde \(\deg(p) = \deg(q) = 0\), y entonces \(p\) y \(q\) son constantes, es decir, \(p, q \in A\) con \(p \cdot q = 1\). Concluimos que \(p \in A^{\times}\), y por lo tanto \((A[x])^{\times} = A^{\times}\).
Parte 2. Procedemos por inducción sobre \(n = \deg(p)\). Si \(n = 0\), entonces \(p = a_{0} \neq 0\) es constante, así que \(\tilde{p}(\alpha) = a_{0} \neq 0\) para todo \(\alpha \in A\), y \(p\) tiene \(0 \leq 0\) raíces. Suponga ahora que el resultado vale para polinomios no nulos de grado \(n - 1\), y sea \(p\) de grado \(n \geq 1\). Si \(p\) no tiene raíces, no hay nada que probar. Si \(\alpha\) es una raíz de \(p\), por el teorema de factorización de la raíz existe \(t \in A[x]\) tal que \(p = (x - \alpha) \cdot t\); note que \(t \neq 0\), pues \(p \neq 0\). Como el coeficiente principal de \(x - \alpha\) es \(1\), que no es divisor de cero, las propiedades del grado dan \(n = \deg(p) = 1 + \deg(t)\), es decir, \(\deg(t) = n - 1\). Ahora, si \(\beta \neq \alpha\) es otra raíz de \(p\), evaluando en \(\beta\) tenemos que
\[0 = \tilde{p}(\beta) = (\beta - \alpha) \cdot \tilde{t}(\beta),\]donde usamos que la función asociada de un producto es el producto de las funciones asociadas cuando el anillo es conmutativo (verificación directa con la fórmula \(c_{k} = \sum_{i} a_{i} b_{k-i}\)). Como \(\beta - \alpha \neq 0\) y \(A\) es un dominio entero, necesariamente \(\tilde{t}(\beta) = 0\), es decir, toda raíz de \(p\) distinta de \(\alpha\) es raíz de \(t\). Por hipótesis inductiva, \(t\) tiene a lo más \(n - 1\) raíces distintas, y entonces \(p\) tiene a lo más \(1 + (n - 1) = n\) raíces distintas.