Ideales

Definición y ejemplos

Definición (\(R\)-ideal por la izquierda, por la derecha y bilátero)

Sea \(R\) un anillo y \(I \subseteq R\) con \(I \neq \emptyset\). Decimos que \(I\) es un \(R\)-ideal por la izquierda (respectivamente, por la derecha) si:

1. \(\forall x, y \in I\ (x + y \in I)\);
2. \(\forall r \in R\ \forall x \in I\ (r \cdot x \in I)\) (respectivamente, \(x \cdot r \in I\)); esta propiedad se llama absorción.

Si \(I\) es un \(R\)-ideal por la derecha y por la izquierda, decimos que \(I\) es un \(R\)-ideal.

Nota (Primeras propiedades de los ideales)

Sea \(I\) un \(R\)-ideal (izquierdo o derecho).

1. \((I, +)\) es un grupo. Note que \(0 \in I\): en efecto, como \(0 \in R\) y la proposición de reglas aritméticas da \(0 \cdot x = 0\) para todo \(x \in R\), la absorción aplicada a cualquier \(x \in I\) muestra que \(0 = 0 \cdot x \in I\).
2. Sea \(x \in I\). Entonces \((-1) \cdot x = -x \in I\).
3. Si \(1 \in I\), entonces \(I = R\), pues si \(a \in R\), la absorción da \(a \cdot 1 = a \in I\).

Ejemplo (Ideales triviales y los ideales de un cuerpo)

Los primeros ejemplos de ideales:

1. Si \(R\) es un anillo, \(R\) y \(\{0\}\) son ideales; se les llama los ideales triviales.

2. Sea \(F\) un cuerpo y \(I\) un ideal en \(F\) tal que \(I \neq \{0\}\). Sea \(a \in I\) con \(a \neq 0\). Entonces

   \[a^{-1} \in F \implies a^{-1} \cdot a \in I \implies 1 \in I \implies I = F.\]

   Concluimos que un cuerpo solo posee los dos ideales triviales.

Ejemplo (Ideales en anillos de polinomios)

Sea \(R\) un anillo conmutativo.

1. Sea \(I \subseteq R[x]\) tal que

   \[I = \{ p \in R[x] :\ \text{el término constante de } p \text{ es cero} \}.\]

   Entonces \(I\) es un ideal.

2. Si \(I\) es un ideal de \(R\), defina

   \[I[x] = \{ p \in R[x] :\ p(x) \text{ tiene todos sus coeficientes en } I \}.\]

   Entonces \(I[x]\) es un ideal en \(R[x]\).

Ejemplo (Ideales en \(\mathbb{Z}\) y en \(\mathbb{Z}_{n}\))

Dos familias de ideales en los anillos de enteros:

1. \(n\mathbb{Z}\) es un ideal de \(\mathbb{Z}\).
2. Sea \(n > 1\) y considere \(\mathbb{Z}_{n}\). Sea \(d \in \mathbb{Z}_{n}\) tal que \(d \mid n\). Entonces \(\langle d \rangle\) (el grupo aditivo generado por \(d\)) es un ideal.

Ejemplo (Un ideal por la izquierda que no es ideal por la derecha)

Sea \(R = M_{2 \times 2}(\mathbb{R})\) y defina

\[I := \left\{ \begin{pmatrix} a & 0 \\ b & 0 \end{pmatrix} :\ a, b \in \mathbb{R} \right\}.\]

Note que

\[\begin{aligned} \begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & 0 \\ b & 0 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} xa + yb & 0 \\ za + wb & 0 \end{pmatrix} \in I, \\ \begin{pmatrix} a & 0 \\ b & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} ax & ay \\ bx & by \end{pmatrix} \notin I \ \text{en general}, \end{aligned}\]

por lo que \(I\) es un ideal por la izquierda pero no por la derecha.

Definición (Elemento nilpotente y el nilradical)

Si \(R\) es un anillo, \(a \in R\) es nilpotente si existe \(n \in \mathbb{N}\) tal que \(a^{n} = 0\). El menor \(n\) que exista es el índice de nilpotencia de \(a\). Además,

\[\operatorname{Nil}(R) = \{ x \in R :\ x \text{ es nilpotente} \}\]

es un ideal, llamado el nilradical de \(R\) (ejercicio).

Operaciones con ideales y el ideal generado

Definición (Suma, intersección y producto de ideales)

Sea \(R\) un anillo conmutativo y sean \(I, J\) ideales. Defina:

\[\begin{aligned} I + J &:= \{ a + b :\ a \in I,\ b \in J \}, \\ I \cap J &:= \{ x :\ x \in I \wedge x \in J \}, \\ I \cdot J &:= \left\{ \sum_{i=1}^{n} a_{i} \cdot b_{i} :\ a_{i} \in I,\ b_{i} \in J,\ n \in \mathbb{N} \right\}. \end{aligned}\]

Teorema (Las operaciones de ideales producen ideales)

\(I + J\), \(I \cap J\) e \(I \cdot J\) son ideales.

Prueba: Ejercicio.

Corolario (La intersección de ideales es un ideal)

La intersección de cualquier familia de ideales de \(R\) es un ideal de \(R\).

Prueba: Sea \(\{I_{\alpha}\}_{\alpha \in \Delta}\) una familia de ideales y \(I = \bigcap_{\alpha \in \Delta} I_{\alpha}\). Como \(0 \in I_{\alpha}\) para todo \(\alpha\), tenemos que \(0 \in I\), y en particular \(I \neq \emptyset\). Si \(x, y \in I\), entonces \(x, y \in I_{\alpha}\) para todo \(\alpha\), y como cada \(I_{\alpha}\) es cerrado bajo sumas, \(x + y \in I_{\alpha}\) para todo \(\alpha\), es decir, \(x + y \in I\). Finalmente, si \(r \in R\) y \(x \in I\), la absorción en cada \(I_{\alpha}\) da \(r x \in I_{\alpha}\) para todo \(\alpha\), de modo que \(r x \in I\) (y análogamente \(x r \in I\)). Concluimos que \(I\) es un ideal.

Definición (Ideal generado, finitamente generado y principal)

Sea \(R\) un anillo conmutativo y \(U \subseteq R\).

1. \((U) := \bigcap_{U \subseteq I,\ I \text{ ideal}} I\) es el ideal generado por \(U\). Note que \((U)\) es un ideal, puesto que la intersección de ideales es un ideal. Si \(U\) es finito y \(U = \{u_{1}, \dots, u_{n}\}\), escribimos \((u_{1}, \dots, u_{n}) = (U)\).
2. Decimos que un ideal \(I\) es finitamente generado si existe \(U \subseteq R\) finito tal que \(I = (U)\).
3. Decimos que \(I\) es un ideal principal si existe \(a \in R\) tal que \(I = (a)\). Note que en este caso \(I = (a) = \{ r \cdot a :\ r \in R \}\) (ejercicio).

Teorema (Caracterización del ideal generado como combinaciones)

Sea \(R\) un anillo conmutativo y \(\emptyset \neq U \subseteq R\). Entonces

\[(U) = \underbrace{\left\{ \sum_{i=1}^{n} a_{i} u_{i} :\ n \in \mathbb{N},\ a_{i} \in R,\ u_{i} \in U \right\}}_{J}.\]

Prueba: Veamos primero que \(J\) es un ideal: la suma de dos combinaciones de la forma \(\sum a_{i} u_{i}\) es de nuevo una combinación de ese tipo, y si \(r \in R\), entonces \(r \sum_{i=1}^{n} a_{i} u_{i} = \sum_{i=1}^{n} (r a_{i}) u_{i} \in J\), lo que da la absorción. Además \(U \subseteq J\), pues \(u = 1 \cdot u\) para cada \(u \in U\). Entonces \(J\) es uno de los ideales que intersecamos para definir \((U)\), y por lo tanto \((U) \subseteq J\).

Recíprocamente, sea \(w \in J\). Entonces existen \(n \in \mathbb{N}\), \(a_{i} \in R\) y \(u_{i} \in U\) tales que \(w = \sum_{i=1}^{n} a_{i} u_{i}\). Sea \(I\) un ideal cualquiera tal que \(U \subseteq I\). Entonces, por absorción, \(a_{i} u_{i} \in I\) para todo \(i\), y por cerradura de la suma \(\sum_{i=1}^{n} a_{i} u_{i} \in I\), de modo que \(w \in I\). Como \(I\) es arbitrario, tenemos que

\[w \in \bigcap_{U \subseteq I,\ I \text{ ideal}} I = (U),\]

es decir, \(J \subseteq (U)\). Concluimos la igualdad.

Ejemplo (Cálculos con ideales generados)

Sea \(R\) un anillo conmutativo.

1. \((0) = \{0\}\) y \((1) = R\). Si \(u \in R^{\times}\), entonces \((u) = R\). En general, si \(u_{1}, \dots, u_{n} \in I\) con \(I\) ideal, entonces \((u_{1}, \dots, u_{n}) \subseteq I\).
2. Si \(R = \mathbb{Z}\), entonces \((6, 15) = (3)\): como \(6 = 3 \cdot 2\) y \(15 = 3 \cdot 5\), tenemos que \(6, 15 \in (3)\) y por lo tanto \((6, 15) \subseteq (3)\). Por otra parte, \(3 = 6 \cdot (-2) + 15\), entonces \(3 \in (6, 15)\) y por lo tanto \((3) \subseteq (6, 15)\).

3. Considere el anillo de polinomios \(R[x]\). Note que

   \[(x) = \{ x \cdot p(x) :\ p(x) \in R[x] \} = \{ r(x) :\ \text{el coeficiente constante de } r(x) \text{ es cero} \}.\]

Definición (Anillo de ideales principales y DIP)

Recogemos dos nociones:

1. Un anillo de ideales principales es un anillo en el que todo ideal es principal.
2. Un dominio de ideales principales (DIP) es un anillo de ideales principales que es un dominio entero.

Ejemplo (\(\mathbb{Z}[x]\) no es un anillo de ideales principales)

Sea \(R = \mathbb{Z}[x]\). Se puede probar que \((2, x)\) no es principal (ejercicio). Entonces \(\mathbb{Z}[x]\) no es un anillo de ideales principales.

Teorema (\(\mathbb{Z}\) es un DIP, y \(K[x]\) es un DIP si \(K\) es un cuerpo)

\(\mathbb{Z}\) es un dominio de ideales principales. Si \(K\) es un cuerpo, entonces \(K[x]\) es un dominio de ideales principales.

Prueba: Ya sabemos que \(\mathbb{Z}\) es un dominio entero. Claramente \(\{0\} = (0)\) es principal. Sea \(I \neq \{0\}\) un ideal de \(\mathbb{Z}\). Entonces existe \(a \in I\) con \(a \neq 0\); como \(-a \in I\), existe al menos un elemento de \(\mathbb{Z}^{+}\) en \(I\). Sea \(b \in I\) el elemento positivo más pequeño de \(I\). Probaremos que \(I = (b)\). Claramente \((b) \subseteq I\), por absorción. Sea \(a \in I\). Por el algoritmo de la división en \(\mathbb{Z}\), existen \(q, r \in \mathbb{Z}\) tales que

\[a = q b + r, \quad \text{con } 0 \leq r < b.\]

Entonces \(a - q b = r \in I\), pues \(a \in I\) y \(q b \in I\). Por la minimalidad de \(b\), necesariamente \(r = 0\); entonces \(a = q b\), de modo que \(a \in (b)\) y por lo tanto \(I \subseteq (b)\). Concluimos que \(I = (b)\).

La prueba de que \(K[x]\) es un DIP si \(K\) es un cuerpo queda como ejercicio.

Definición (Ideales primos relativos)

Sea \(R\) un anillo conmutativo y sean \(I, J\) ideales. Decimos que \(I\) y \(J\) son primos relativos si \(I + J = R\).

Proposición (Propiedades de la suma y el producto de ideales)

Sea \(R\) un anillo conmutativo y sean \(I, J, K\) ideales. Entonces:

1. \(I + J = J + I\) y \(I J = J I\);
2. \(I + (J + K) = (I + J) + K\) y \((I J) K = I (J K)\);
3. \(I (J + K) = I J + I K\);
4. \((0) + I = I\), \(R \cdot I = I\) y \(I + R = R\);
5. \((0) \cdot I = (0)\);
6. \(I J \subseteq I \cap J\).

Prueba: Para (1): \(I + J = J + I\) es inmediato de la conmutatividad de la suma en \(R\), y \(I J = J I\) porque cada generador satisface \(a_{i} b_{i} = b_{i} a_{i}\), al ser \(R\) conmutativo.

Para (2): ambos lados de \(I + (J + K) = (I + J) + K\) son \(\{ a + b + c :\ a \in I,\ b \in J,\ c \in K \}\), por la asociatividad de la suma. Para el producto, note que todo elemento de \((I J) K\) es una suma finita \(\sum_{i} w_{i} c_{i}\) con \(w_{i} \in I J\) y \(c_{i} \in K\); escribiendo cada \(w_{i}\) como suma finita de productos \(a b\), y distribuyendo, \((I J) K\) es exactamente el conjunto de sumas finitas de productos triples \((a b) c\) con \(a \in I\), \(b \in J\), \(c \in K\). El mismo argumento describe \(I (J K)\) como las sumas finitas de productos \(a (b c)\), y la asociatividad de \(R\) da la igualdad.

Para (3): “\(\subseteq\)” porque cada generador satisface \(a (b + c) = a b + a c \in I J + I K\), y las sumas finitas de estos quedan en el ideal \(I J + I K\). “\(\supseteq\)” porque \(I J \subseteq I (J + K)\) (todo \(b \in J\) se escribe \(b = b + 0 \in J + K\)) e \(I K \subseteq I (J + K)\), y el ideal \(I (J + K)\) es cerrado bajo sumas.

Para (4): \((0) + I = I\) pues \(0 + a = a\); \(R \cdot I = I\) pues “\(\subseteq\)” es la absorción y “\(\supseteq\)” se sigue de \(a = 1 \cdot a\); y \(I + R = R\) pues todo \(a \in R\) se escribe \(a = 0 + a\).

Para (5): cada generador de \((0) \cdot I\) es de la forma \(0 \cdot b = 0\), así que \((0) \cdot I = \{0\} = (0)\).

Para (6): cada generador \(a b\) con \(a \in I\), \(b \in J\) pertenece a \(I\) (absorción de \(I\), con \(b \in R\)) y a \(J\) (absorción de \(J\), con \(a \in R\)); como \(I \cap J\) es un ideal, las sumas finitas de tales productos quedan en \(I \cap J\), es decir, \(I J \subseteq I \cap J\).

Ideales maximales y el teorema de Krull

Definición (Ideal maximal y el espectro maximal)

Sea \(R\) un anillo conmutativo. Un ideal \(\mathfrak{m} \neq R\) es maximal si cada vez que \(J\) es un ideal tal que \(\mathfrak{m} \subseteq J\), entonces \(J = R\) o \(J = \mathfrak{m}\). Denotamos por \(\operatorname{mSpec}(R)\) al conjunto de ideales maximales de \(R\).

Ejemplo (Espectros maximales conocidos)

Calculamos \(\operatorname{mSpec}\) en los ejemplos básicos:

1. Si \(R = \{0\}\), entonces \(\operatorname{mSpec}(R) = \emptyset\).
2. Si \(K\) es un cuerpo, entonces \(\operatorname{mSpec}(K) = \{ \{0\} \}\).
3. Sea \(R = \mathbb{Z}_{4}\). Los ideales son \((0)\), \((2) = \{0, 2\}\) y \((1) = \mathbb{Z}_{4} = (3)\). Note que \(\operatorname{mSpec}(\mathbb{Z}_{4}) = \{(2)\}\).
4. En \(\mathbb{Z}\) todos los ideales son de la forma \(n\mathbb{Z}\) con \(n \in \mathbb{N}\). Muestre que \(n\mathbb{Z}\) es maximal si y solo si \(n\) es primo.

Axioma (Lema de Zorn)

Sea \((X, \leq)\) un conjunto parcialmente ordenado. Si

1. \(X \neq \emptyset\), y
2. todo subconjunto totalmente ordenado de \(X\) posee una cota superior en \(X\),

entonces \(X\) posee un elemento maximal.

Teorema (Krull: todo ideal propio está contenido en un maximal)

Sea \(R \neq \{0\}\) un anillo conmutativo y sea \(I\) un ideal propio. Entonces existe \(\mathfrak{m}\) un ideal maximal tal que \(I \subseteq \mathfrak{m}\).

Prueba: Sea

\[\Omega := \{ J :\ J \text{ ideal},\ J \neq R,\ I \subseteq J \},\]

que es un conjunto parcialmente ordenado por la inclusión. Note que \(\Omega \neq \emptyset\), pues \(I \in \Omega\). Para aplicar el lema de Zorn, sea \((C_{\alpha})_{\alpha \in \Delta}\) una cadena en \(\Omega\), que podemos suponer no vacía (la cadena vacía tiene a \(I\) como cota superior), y sea \(N = \bigcup_{\alpha \in \Delta} C_{\alpha}\). Probaremos que \(N \in \Omega\).

Primero, \(N\) es un ideal. Note que \(N \neq \emptyset\), pues \(C_{\alpha} \subseteq N\) para \(\alpha \in \Delta\) y cada \(C_{\alpha}\) es no vacío. Sean \(x, y \in N\). Entonces existen \(\alpha, \beta \in \Delta\) tales que \(x \in C_{\alpha}\) y \(y \in C_{\beta}\). Como \((C_{\alpha})\) es una cadena, tenemos que \(C_{\alpha} \subseteq C_{\beta}\) o \(C_{\beta} \subseteq C_{\alpha}\); sin pérdida de generalidad, \(C_{\alpha} \subseteq C_{\beta}\). Entonces \(x, y \in C_{\beta}\), y como \(C_{\beta}\) es un ideal, \(x + y \in C_{\beta} \subseteq N\). De la misma manera, si \(x \in N\) y \(r \in R\), entonces \(x \in C_{\alpha}\) para algún \(\alpha\), y \(r \cdot x \in C_{\alpha} \subseteq N\) por absorción.

Segundo, \(N \neq R\): si \(N = R\), entonces \(1 \in N\), de modo que existe \(\alpha\) tal que \(1 \in C_{\alpha}\), y por lo tanto \(C_{\alpha} = R\), lo que contradice que \(C_{\alpha} \in \Omega\). Finalmente, \(I \subseteq C_{\alpha} \subseteq N\) para cualquier \(\alpha \in \Delta\), por lo que \(N \in \Omega\) y \(N\) es una cota superior de la cadena \((C_{\alpha})_{\alpha \in \Delta}\).

Luego, por el lema de Zorn, existe \(\mathfrak{m}\) un elemento maximal en \(\Omega\). Veamos que \(\mathfrak{m}\) es un ideal maximal de \(R\): por construcción \(\mathfrak{m} \neq R\) y \(I \subseteq \mathfrak{m}\). Si \(J\) es un ideal tal que \(\mathfrak{m} \subseteq J\) y \(J \neq R\), entonces \(I \subseteq \mathfrak{m} \subseteq J\), así que \(J \in \Omega\); por la maximalidad de \(\mathfrak{m}\) en \(\Omega\), tenemos que \(J = \mathfrak{m}\). Es decir, todo ideal que contiene a \(\mathfrak{m}\) es \(R\) o es \(\mathfrak{m}\), que es la definición de ideal maximal.

Corolario (El espectro maximal es no vacío y detecta las no unidades)

Si \(R \neq \{0\}\) es un anillo conmutativo, entonces \(\operatorname{mSpec}(R) \neq \emptyset\). Además,

\[\bigcup_{\mathfrak{m} \in \operatorname{mSpec}(R)} \mathfrak{m} = R \setminus R^{\times}.\]

Prueba: Como \(R \neq \{0\}\), el ideal \((0)\) es propio, y por el teorema de Krull existe un ideal maximal que lo contiene; entonces \(\operatorname{mSpec}(R) \neq \emptyset\).

“\(\supseteq\)”: Si \(x \in R \setminus R^{\times}\), entonces \((x) \neq R\): en caso contrario \(1 \in (x)\), es decir, \(1 = r x\) para algún \(r \in R\), y \(x\) sería una unidad. Por Krull, existe \(\mathfrak{m}\) maximal tal que \((x) \subseteq \mathfrak{m}\). Concluya que \(x \in \bigcup_{\mathfrak{m} \in \operatorname{mSpec}(R)} \mathfrak{m}\).

“\(\subseteq\)”: Si \(x \in \mathfrak{m}\) con \(\mathfrak{m}\) maximal, entonces \(x \notin R^{\times}\): si \(x\) fuese una unidad, tendríamos \(1 = x^{-1} x \in \mathfrak{m}\) por absorción, de donde \(\mathfrak{m} = R\), lo que contradice \(\mathfrak{m} \neq R\).

Definición (Anillo local)

Un anillo conmutativo \(R \neq \{0\}\) es local si posee exactamente un ideal maximal.

Corolario (Caracterización de los anillos locales)

Si \(R \neq \{0\}\) es un anillo conmutativo, entonces \(R\) es local si y solo si \(R \setminus R^{\times}\) es un ideal.

Prueba: Ejercicio.

Definición (Radical de Jacobson)

Sea \(R \neq \{0\}\) un anillo conmutativo. Definimos el radical de Jacobson como

\[\operatorname{Rad}(R) = \bigcap_{\mathfrak{m} \in \operatorname{mSpec}(R)} \mathfrak{m}.\]

Ejercicio (Caracterización del radical de Jacobson)

Muestre que \(x \in \operatorname{Rad}(R)\) si y solo si \(1 - x y \in R^{\times}\) para cada \(y \in R\).