Ideales primos

Definición y caracterizaciones

Definición (Ideal primo)

Sea \(R\) un anillo y \(I\) un \(R\)-ideal. Decimos que \(I\) es primo si para todos \(x, y \in R\), si \(x y \in I\) entonces \(x \in I\) o \(y \in I\).

Notación (El espectro primo)

Denotamos por \(\operatorname{Spec}(R)\) al conjunto de los ideales primos de \(R\).

Proposición (Caracterización de primalidad con productos de ideales)

Sea \(R\) un anillo y sea \(I\) un \(R\)-ideal. Las siguientes son equivalentes:

1. \(I\) es primo;
2. para todos \(J_{1}, J_{2}\) ideales de \(R\): si \(J_{1} J_{2} \subseteq I\), entonces \(J_{1} \subseteq I\) o \(J_{2} \subseteq I\).

Prueba: Ejercicio.

Proposición (El ideal cero es primo si y solo si el anillo es dominio entero)

Sea \(R\) un anillo conmutativo con \(R \neq \{0\}\). Entonces \(R\) es un dominio entero si y solo si \(\{0\}\) es primo.

Prueba: “\(\Rightarrow\)”: Sean \(x, y \in R\) tales que \(x \cdot y \in \{0\}\), es decir, \(x \cdot y = 0\). Como \(R\) es un dominio entero, no posee divisores de cero, y entonces \(x = 0\) o \(y = 0\); es decir, \(x \in \{0\}\) o \(y \in \{0\}\). Concluimos que \(\{0\}\) es primo.

“\(\Leftarrow\)”: Procedemos por contrapositiva. Si \(R\) no es un dominio entero, entonces, al ser \(R\) conmutativo, la única posibilidad es que posea divisores de cero: existen \(x, y \in R\) tales que \(x \neq 0\), \(y \neq 0\), pero \(x \cdot y = 0\). Entonces \(x \cdot y \in \{0\}\), pero \(x \notin \{0\}\) y \(y \notin \{0\}\), de modo que \(\{0\}\) no es primo.

Maximales, primos y el nilradical

Proposición (Todo ideal maximal es primo)

Sea \(R\) un anillo conmutativo con \(R \neq \{0\}\). Entonces todo ideal maximal es primo. En particular, \(\operatorname{Spec}(R) \neq \emptyset\).

Prueba: Sea \(\mathfrak{m}\) un ideal maximal, y sean \(x, y \in R\) tales que \(x \cdot y \in \mathfrak{m}\). Suponga, por contradicción, que \(x \notin \mathfrak{m}\) y \(y \notin \mathfrak{m}\). Considere

\[(x) + \mathfrak{m} = \{ r \cdot x + m :\ r \in R,\ m \in \mathfrak{m} \} \subseteq R,\]

que es un ideal, por ser suma de ideales. Note que \(\mathfrak{m} \subseteq (x) + \mathfrak{m}\), y la contención es estricta: \(x = 1 \cdot x + 0 \in (x) + \mathfrak{m}\), pero \(x \notin \mathfrak{m}\). Es decir, \(\mathfrak{m} \subsetneq (x) + \mathfrak{m}\), y análogamente \(\mathfrak{m} \subsetneq (y) + \mathfrak{m}\).

Como \(\mathfrak{m}\) es maximal y ambos son ideales que contienen propiamente a \(\mathfrak{m}\), tenemos que

\[(x) + \mathfrak{m} = R = (y) + \mathfrak{m}.\]

Como \(1 \in R\), existen \(m_{1}, m_{2} \in \mathfrak{m}\) y \(r_{1}, r_{2} \in R\) tales que

\[1 = r_{1} x + m_{1}, \qquad 1 = r_{2} y + m_{2}.\]

Multiplicando ambas igualdades,

\[1 = (r_{1} x + m_{1})(r_{2} y + m_{2}) = \underbrace{r_{1} r_{2}\, x y}_{\in\, \mathfrak{m}} + \underbrace{r_{1} x\, m_{2}}_{\in\, \mathfrak{m}} + \underbrace{m_{1}\, r_{2} y}_{\in\, \mathfrak{m}} + \underbrace{m_{1} m_{2}}_{\in\, \mathfrak{m}} \in \mathfrak{m},\]

donde el primer sumando está en \(\mathfrak{m}\) porque \(x y \in \mathfrak{m}\) y \(\mathfrak{m}\) absorbe productos, y los restantes por absorción directa. Entonces \(1 \in \mathfrak{m}\), de donde \(\mathfrak{m} = R\), lo cual es una contradicción con la definición de ideal maximal. Concluimos que \(x \in \mathfrak{m}\) o \(y \in \mathfrak{m}\), es decir, \(\mathfrak{m}\) es primo.

Finalmente, por el corolario del teorema de Krull, \(\operatorname{mSpec}(R) \neq \emptyset\), y como todo maximal es primo, \(\operatorname{Spec}(R) \supseteq \operatorname{mSpec}(R) \neq \emptyset\).

Ejemplo (Espectros primos conocidos)

Calculamos \(\operatorname{Spec}\) en los ejemplos básicos:

1. Sea \(K\) un cuerpo. Entonces \(\operatorname{mSpec}(K) = \operatorname{Spec}(K) = \{ \{0\} \}\).

2. Sea \(R = \mathbb{Z}\). Entonces

   \[\operatorname{mSpec}(\mathbb{Z}) = \{ p\mathbb{Z} :\ p \text{ primo} \}, \qquad \operatorname{Spec}(\mathbb{Z}) = \operatorname{mSpec}(\mathbb{Z}) \cup \{ \{0\} \}.\]

3. Sea \(R = \mathbb{R}[x]\). El ideal \(\langle x^{2} - 1 \rangle\) no es primo:

   \[x^{2} - 1 = (x - 1)(x + 1) \in \langle x^{2} - 1 \rangle,\]

   pero (ejercicio) \((x - 1), (x + 1) \notin \langle x^{2} - 1 \rangle\).

Teorema (El nilradical es la intersección de los ideales primos)

Sea \(R\) un anillo conmutativo. Entonces

\[\bigcap_{I \text{ primo}} I = \operatorname{Nil}(R) = \{ x \in R :\ \exists n \in \mathbb{N}\ (x^{n} = 0) \}.\]

Prueba: Ejercicio.