El producto directo y sus propiedades
Definición (El producto de dos anillos)
Sean \(R_{1}, R_{2}\) anillos, con estructuras \((R_{1}, +_{R_{1}}, \cdot_{R_{1}}, 0_{R_{1}}, 1_{R_{1}})\) y \((R_{2}, +_{R_{2}}, \cdot_{R_{2}}, 0_{R_{2}}, 1_{R_{2}})\). Defina
\[R_{1} \times R_{2} := \{ (x_{1}, x_{2}) :\ x_{1} \in R_{1},\ x_{2} \in R_{2} \},\]con las operaciones componente a componente:
\[(x_{1}, x_{2}) + (y_{1}, y_{2}) = (x_{1} +_{R_{1}} y_{1},\ x_{2} +_{R_{2}} y_{2}), \qquad (x_{1}, x_{2}) \cdot (y_{1}, y_{2}) = (x_{1} y_{1},\ x_{2} y_{2}).\]El cero en \(R_{1} \times R_{2}\) es \(\vec{0} = (0_{R_{1}}, 0_{R_{2}})\) y el uno es \(\vec{1} = (1_{R_{1}}, 1_{R_{2}})\). Entonces \((R_{1} \times R_{2}, +, \cdot, \vec{0}, \vec{1})\) es un anillo.
Definición (El producto directo de una familia de anillos)
En general, si \(\{R_{i}\}_{i \in I}\) es un conjunto de anillos, podemos construir el anillo
\[\prod_{i \in I} R_{i}\]de forma análoga, con las operaciones definidas componente a componente.
Ejemplo (\(\mathbb{R}^{2}\) tiene divisores de cero)
\(\mathbb{R}^{2} = \mathbb{R} \times \mathbb{R}\) es un anillo, y
\[\underbrace{(1, 0)}_{\neq (0,0)} \cdot \underbrace{(0, 1)}_{\neq (0,0)} = (0, 0).\]Entonces, a pesar de que \(\mathbb{R}\) no tiene divisores de cero, \(\mathbb{R}^{2}\) sí tiene.
Nota (Las unidades del producto)
Sea \(\{R_{i} :\ i \in I\}\) un conjunto de anillos y \(R = \prod_{i \in I} R_{i}\). Al considerar las unidades \(R^{\times}\), tenemos que
\[R^{\times} = \prod_{i \in I} R_{i}^{\times}.\]Teorema (Subanillos e ideales de un producto)
Sea \(\{R_{i} :\ i \in I\}\) un conjunto de anillos y \(R = \prod_{i \in I} R_{i}\). Entonces:
- si para cada \(i \in I\), \(S_{i}\) es un subanillo de \(R_{i}\), entonces \(\prod_{i \in I} S_{i}\) es un subanillo de \(R\);
- si para cada \(i \in I\), \(A_{i} \subseteq R_{i}\) es un \(R_{i}\)-ideal, entonces \(\prod_{i \in I} A_{i}\) es un \(R\)-ideal;
- si \(K\) es un ideal de \(R \times S\), entonces existen \(I\) un \(R\)-ideal y \(J\) un \(S\)-ideal tales que \(K = I \times J\).
Prueba: Para (1): usamos el criterio de subanillo. Como \(1_{R_{i}} \in S_{i}\) para cada \(i\), tenemos que \(\vec{1} = (1_{R_{i}})_{i} \in \prod_{i} S_{i}\); y si \(a = (a_{i})_{i}\) y \(b = (b_{i})_{i}\) están en \(\prod_{i} S_{i}\), entonces \(a - b = (a_{i} - b_{i})_{i}\) y \(a b = (a_{i} b_{i})_{i}\) tienen todas sus componentes en los \(S_{i}\), por ser cada \(S_{i}\) subanillo.
Para (2): \(\prod_{i} A_{i} \neq \emptyset\) pues contiene a \(\vec{0}\); es cerrado bajo sumas componente a componente; y si \(r = (r_{i})_{i} \in R\) y \(x = (x_{i})_{i} \in \prod_{i} A_{i}\), entonces \(r x = (r_{i} x_{i})_{i}\) tiene cada componente en \(A_{i}\) por la absorción de cada \(A_{i}\).
Para (3): sea \(K\) un ideal de \(R \times S\). Si \((r, s) \in K\), la absorción con \((1, 0)\) y \((0, 1)\) da
\[(r, 0) = (1, 0) \cdot (r, s) \in K, \qquad (0, s) = (0, 1) \cdot (r, s) \in K.\]Defina
\[I = \{ r \in R :\ (r, 0) \in K \}, \qquad J = \{ s \in S :\ (0, s) \in K \}.\]Entonces \(I\) es un \(R\)-ideal: \(0 \in I\); si \(r, r' \in I\), entonces \((r + r', 0) = (r, 0) + (r', 0) \in K\); y si \(a \in R\), entonces \((a r, 0) = (a, 0) \cdot (r, 0) \in K\) por la absorción de \(K\). Análogamente \(J\) es un \(S\)-ideal. Veamos que \(K = I \times J\). “\(\subseteq\)”: si \((r, s) \in K\), por lo anterior \((r, 0), (0, s) \in K\), es decir, \(r \in I\) y \(s \in J\). “\(\supseteq\)”: si \(r \in I\) y \(s \in J\), entonces
\[(r, s) = (r, 0) + (0, s) \in K,\]por la cerradura de \(K\) bajo sumas.