La congruencia módulo un ideal y el cociente
Definición (La relación de congruencia módulo un ideal)
Sea \(R\) un anillo e \(I\) un \(R\)-ideal. Para \(a, b \in R\), definamos la relación \(\sim_{I}\) tal que
\[a \sim_{I} b \iff a - b \in I.\]Lema (La congruencia módulo un ideal es de equivalencia)
La relación \(\sim_{I}\) es una relación de equivalencia en \(R\).
Prueba: Verificamos las tres propiedades:
- Reflexividad: \(a \sim_{I} a\), pues \(a - a = 0 \in I\).
- Simetría: si \(a \sim_{I} b\), entonces \(a - b \in I\); como \(I\) es cerrado bajo inversos aditivos, \(b - a = -(a - b) \in I\), es decir, \(b \sim_{I} a\).
-
Transitividad: si \(a \sim_{I} b\) y \(b \sim_{I} c\), entonces \(a - b \in I\) y \(b - c \in I\). Como \(I\) es cerrado bajo sumas,
\[a - c = (a - b) + (b - c) \in I,\]es decir, \(a \sim_{I} c\).
Nota (Las clases de equivalencia son clases laterales)
Sea \(R/I = \{ [a]_{I} :\ a \in R \}\) el conjunto de clases de equivalencia de \(\sim_{I}\). Entonces
\[\begin{aligned} [a]_{I} &= \{ b \in R :\ a \sim_{I} b \} = \{ b \in R :\ a - b \in I \} \\ &= \{ b \in R :\ \exists x \in I\ (x = a - b) \} = \{ b \in R :\ \exists x \in I\ (b = a - x) \} \\ &= \{ a - x :\ x \in I \} = a + I, \end{aligned}\]donde la última igualdad usa que \(I\) es cerrado bajo inversos aditivos, de modo que \(\{-x : x \in I\} = I\). Notación: \([a]_{I} = a + I\).
Definición (Las operaciones del anillo cociente)
Definimos \(\tilde{+}\) en \(R/I\) tal que
\[(a + I)\ \tilde{+}\ (b + I) = (a + b) + I.\]El ideal \(I\) es el “\(0\)” en \(R/I\) (es decir, \([0]_{I}\)). Definimos \(\tilde{\cdot}\) en \(R/I\) tal que
\[(a + I)\ \tilde{\cdot}\ (b + I) = (a \cdot b) + I.\]La clase \(1_{R} + I\) es el “\(1\)” en \(R/I\).
Teorema (El cociente es un anillo)
\(R/I\) es un anillo con estas operaciones. Se llama el anillo cociente de \(R\) por \(I\).
Prueba: La parte delicada es verificar que \(\tilde{+}\) y \(\tilde{\cdot}\) están bien definidas, es decir, que no dependen de los representantes. Suponga que \(a + I = a' + I\) y \(b + I = b' + I\), o sea, \(a - a' \in I\) y \(b - b' \in I\). Para la suma,
\[(a + b) - (a' + b') = (a - a') + (b - b') \in I,\]de modo que \((a + b) + I = (a' + b') + I\). Para el producto, sumamos y restamos \(a' b\):
\[a b - a' b' = (a - a') b + a' (b - b'),\]y aquí \((a - a') b \in I\) por la absorción por la derecha y \(a' (b - b') \in I\) por la absorción por la izquierda; entonces \(a b - a' b' \in I\), es decir, \((a b) + I = (a' b') + I\). Aquí se usa de manera esencial que \(I\) es un ideal bilátero.
Los axiomas de anillo se heredan de \(R\) operando con representantes; por ejemplo,
\[\big( (a + I)\, \tilde{\cdot}\, (b + I) \big)\, \tilde{\cdot}\, (c + I) = (a b) c + I = a (b c) + I = (a + I)\, \tilde{\cdot}\, \big( (b + I)\, \tilde{\cdot}\, (c + I) \big),\]y de igual forma la asociatividad y conmutatividad de \(\tilde{+}\), la distributividad, los neutros \(I = 0 + I\) y \(1 + I\), y el inverso aditivo \((-a) + I\).
Definición (La proyección canónica)
Si \(R\) es un anillo e \(I\) es un \(R\)-ideal, sea \(\pi_{I} : R \to R/I\) tal que \(a \mapsto a + I\), la proyección canónica de \(R\) en \(R/I\).
Proposición (Propiedades de la proyección canónica)
La proyección canónica \(\pi_{I}\) es sobreyectiva y \(\operatorname{Ker}(\pi_{I}) = I\).
Prueba: La sobreyectividad es inmediata: toda clase \(a + I \in R/I\) es \(\pi_{I}(a)\). Para el núcleo, tenemos las dos contenciones:
\[\text{si } x \in I \implies \pi_{I}(x) = x + I = I = [0]_{I} \implies x \in \operatorname{Ker}(\pi_{I}),\]pues \(x - 0 = x \in I\); y recíprocamente,
\[\text{si } x \in \operatorname{Ker}(\pi_{I}) \implies \pi_{I}(x) = x + I = I \implies x \in I,\]pues \(x = x - 0 \in I\). Concluimos que \(\operatorname{Ker}(\pi_{I}) = I\).
Ejemplos de cocientes
Ejemplo (Los enteros módulo \(n\) como cociente)
\(\mathbb{Z}/(n) = \mathbb{Z}_{n}\).
Ejemplo (El cociente \(\mathbb{Z}[x]/(x^{2})\))
Si \(p(x) + (x^{2}) \in \mathbb{Z}[x]/(x^{2})\), entonces existen únicos \(a, b \in \mathbb{Z}\) tales que
\[[p(x)]_{(x^{2})} = [a + b x]_{(x^{2})}.\]Para la existencia, escriba \(p(x) = a + b x + x^{2} q(x)\) con \(q(x) \in \mathbb{Z}[x]\); entonces \(p(x) - (a + bx) = x^{2} q(x) \in (x^{2})\). Probemos ahora la unicidad. Sean \(a_{0}, a_{1}, b_{0}, b_{1} \in \mathbb{Z}\) tales que
\[[a_{0} + a_{1} x]_{(x^{2})} = [b_{0} + b_{1} x]_{(x^{2})}.\]Entonces
\[(a_{0} - b_{0}) + (a_{1} - b_{1}) x \in (x^{2}).\]Pero todo elemento no nulo de \((x^{2}) = x^{2} \cdot \mathbb{Z}[x]\) tiene grado al menos \(2\), es decir, sus coeficientes de grados \(0\) y \(1\) son nulos; entonces \(a_{0} = b_{0}\) y \(a_{1} = b_{1}\). Concluimos que
\[\mathbb{Z}[x]/(x^{2}) = \{ [a + b x]_{(x^{2})} :\ a, b \in \mathbb{Z} \}.\]Note además que
\[[3x]_{(x^{2})} \cdot [5x]_{(x^{2})} = [15 x^{2}]_{(x^{2})} = [0]_{(x^{2})},\]de modo que \(\mathbb{Z}[x]/(x^{2})\) tiene divisores de cero.
Ejercicio (Divisores de cero y unidades de \(\mathbb{Z}[x]/(x^{2})\))
Muestre que los divisores de cero de \(\mathbb{Z}[x]/(x^{2})\) son \(\{ [b x] :\ b \neq 0 \}\) y que las unidades son \(\{ [\pm 1 + b x] :\ b \in \mathbb{Z} \}\).
Ejemplo (Un cociente de los enteros gaussianos)
Sea \(\mathbb{Z}[i] = \{ a + b i :\ a, b \in \mathbb{Z} \}\). Entonces \(\mathbb{Z}[i]/(1 + i) = \{ [0], [1] \}\) (ejercicio).
Ejemplo (El cociente \(\mathbb{R}[x]/(x^{2} + 1)\))
Sea \(R = \mathbb{R}[x]/(x^{2} + 1)\) y \(\alpha = [x]\). Entonces
\[\alpha^{2} = [x^{2}] = [-1],\]pues \(x^{2} - (-1) = x^{2} + 1 \in (x^{2} + 1)\). Es decir, en \(R\) hay solución a la ecuación “\(t^{2} + 1 = 0\)”. Veremos que \(R \cong \mathbb{C}\).
El teorema de correspondencia
Definición (Cociente de un subconjunto)
Sea \(R\) un anillo, \(I\) un \(R\)-ideal y \(S \subseteq R\) (solo un subconjunto). Definimos
\[S/I := \{ s + I :\ s \in S \} \subseteq R/I.\]Teorema (Correspondencia entre ideales y subanillos del cociente)
La aplicación \(S \mapsto S/I\) induce biyecciones que preservan la inclusión entre los siguientes conjuntos:
- \(\{ J :\ J \text{ ideal de } R \text{ tal que } J \supseteq I \} \to \{ \text{ideales de } R/I \}\);
- \(\{ \text{subanillos de } R \text{ que contienen a } I \} \to \{ \text{subanillos de } R/I \}\).
En ambos casos la función inversa es \(A \mapsto \{ r \in R :\ r + I \in A \}\).
Prueba: Probamos el caso de ideales; el de subanillos es idéntico, usando el criterio de subanillo en lugar de la definición de ideal. Escriba \(\Phi(J) = J/I\) y \(\Psi(A) = \{ r \in R :\ r + I \in A \}\).
\(\Phi\) llega a donde debe. Si \(J \supseteq I\) es un ideal de \(R\), entonces \(J/I\) es un ideal de \(R/I\): es no vacío; es cerrado bajo sumas, pues \((j + I) + (j' + I) = (j + j') + I\) con \(j + j' \in J\); y absorbe productos, pues \((r + I)(j + I) = r j + I\) con \(r j \in J\) por la absorción de \(J\) en \(R\).
\(\Psi\) llega a donde debe. Si \(A\) es un ideal de \(R/I\), entonces \(\Psi(A)\) es un ideal de \(R\): si \(r, r' \in \Psi(A)\), entonces \((r + r') + I = (r + I) + (r' + I) \in A\), así que \(r + r' \in \Psi(A)\); y si \(s \in R\), entonces \((s r) + I = (s + I)(r + I) \in A\) por la absorción de \(A\). Además \(I \subseteq \Psi(A)\): si \(x \in I\), entonces \(x + I = I = [0] \in A\), pues todo ideal contiene al cero.
Son mutuamente inversas. Primero, \(\Psi(\Phi(J)) = \{ r :\ r + I \in J/I \} = J\): la contención “\(\supseteq\)” es clara, y si \(r + I = j + I\) para algún \(j \in J\), entonces \(r - j \in I \subseteq J\), de donde \(r = j + (r - j) \in J\). Segundo, \(\Phi(\Psi(A)) = \{ r + I :\ r + I \in A \} = A\), pues todo elemento de \(A\) es una clase \(r + I\) para algún \(r \in R\).
Preservan la inclusión. Si \(J \subseteq J'\), entonces \(J/I \subseteq J'/I\) directamente; y si \(A \subseteq A'\), entonces \(\Psi(A) \subseteq \Psi(A')\) directamente. (En el caso de subanillos, \(\Psi(B) \supseteq I\) vale porque \([0] \in B\), y la cuenta de inversas usa \(I \subseteq S\) de la misma manera.)