Definiciones y primeros ejemplos
Definición (Homomorfismo de anillos)
Sean \(R, S\) anillos. Entonces \(\varphi : R \to S\) es un homomorfismo de anillos si:
- \(\varphi(a +_{R} b) = \varphi(a) +_{S} \varphi(b)\) para todos \(a, b \in R\);
- \(\varphi(a \cdot_{R} b) = \varphi(a) \cdot_{S} \varphi(b)\) para todos \(a, b \in R\);
- \(\varphi(1_{R}) = 1_{S}\).
Nota (Los homomorfismos preservan el cero)
La definición implica que \(\varphi(0_{R}) = 0_{S}\), pues
\[\varphi(0_{R}) = \varphi(0_{R} + 0_{R}) = \varphi(0_{R}) +_{S} \varphi(0_{R}) \implies 0_{S} = \varphi(0_{R}),\]cancelando \(\varphi(0_{R})\) en el grupo \((S, +)\).
Definición (Monomorfismos, isomorfismos y automorfismos)
Sea \(\varphi : R \to S\) un homomorfismo de anillos.
- Si \(\varphi\) es inyectiva, entonces \(\varphi\) es un monomorfismo.
- Si \(\varphi\) es biyectiva, entonces \(\varphi\) es un isomorfismo.
- Si \(\varphi\) es biyectiva y \(R = S\), entonces \(\varphi\) es un automorfismo.
Si \(R\) y \(S\) son anillos tales que existe un isomorfismo \(\varphi : R \to S\), decimos que \(R\) y \(S\) son isomorfos y escribimos \(R \cong S\).
Ejemplo (\(\mathbb{R}[x]/(x^{2}+1)\) es isomorfo a \(\mathbb{C}\))
Ya vimos que \(\mathbb{R}[x]/(x^{2} + 1) = \{ [a + b x] :\ a, b \in \mathbb{R} \}\) (el argumento de forma normal es el mismo que para \(\mathbb{Z}[x]/(x^{2})\)). La función
\[\varphi : \mathbb{C} \longrightarrow \mathbb{R}[x]/(x^{2} + 1), \qquad a + i b \longmapsto [a + b x],\]es un isomorfismo (ejercicio). En particular, \(\mathbb{R}[x]/(x^{2}+1) \cong \mathbb{C}\).
Lema (Los homomorfismos preservan unidades)
Sean \(R, S\) anillos y \(\varphi : R \to S\) un homomorfismo. Si \(a \in R^{\times}\), entonces \(\varphi(a) \in S^{\times}\) y \(\varphi(a^{-1}) = (\varphi(a))^{-1}\).
Prueba: Sea \(a \in R^{\times}\) con inverso \(a^{-1} \in R\), de modo que \(a \cdot a^{-1} = 1_{R} = a^{-1} \cdot a\). Aplicando \(\varphi\),
\[\varphi(a \cdot a^{-1}) = \varphi(1_{R}) \implies \varphi(a) \cdot_{S} \varphi(a^{-1}) = 1_{S} = \varphi(a^{-1}) \cdot_{S} \varphi(a),\]donde la segunda igualdad se obtiene aplicando \(\varphi\) a \(a^{-1} \cdot a = 1_{R}\). Entonces \(\varphi(a^{-1})\) es un inverso multiplicativo de \(\varphi(a)\), es decir, \(\varphi(a^{-1}) = (\varphi(a))^{-1}\) y \(\varphi(a) \in S^{\times}\).
Ejemplo (La inclusión de un subanillo y la reducción módulo \(n\))
Dos ejemplos básicos de homomorfismos:
- Sea \(S\) un subanillo de \(R\). La función \(\varphi : S \to R\) tal que \(x \mapsto x\) es un monomorfismo.
- La función \(\varphi : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}_{n}\) tal que \(x \mapsto [x]\) es un homomorfismo.
Núcleo e imagen
Definición (Núcleo e imagen de un homomorfismo)
Sean \(R, S\) anillos y \(\varphi : R \to S\) un homomorfismo.
- \(\operatorname{Ker}(\varphi) = \{ x \in R :\ \varphi(x) = 0_{S} \} \subseteq R\);
- \(\operatorname{Im}(\varphi) = \{ \varphi(x) :\ x \in R \} = \varphi(R) \subseteq S\).
Nota (El núcleo es un ideal y detecta la inyectividad)
\(\operatorname{Ker}(\varphi)\) es un \(R\)-ideal. Además, \(\operatorname{Ker}(\varphi) = \{0_{R}\}\) si y solo si \(\varphi\) es inyectiva.
Nota (Composición de homomorfismos)
La composición de homomorfismos es un homomorfismo, y el inverso de un isomorfismo es un isomorfismo. Además,
\[\varphi_{1} \circ (\varphi_{2} \circ \varphi_{3}) = (\varphi_{1} \circ \varphi_{2}) \circ \varphi_{3}.\]Ejemplo (La reducción de coeficientes módulo \(n\) y su núcleo)
Sea \(r_{n} : \mathbb{Z}[x] \longrightarrow \mathbb{Z}_{n}[x]\) tal que
\[r_{n}(a_{0} + a_{1} x + \dots + a_{m} x^{m}) = [a_{0}] + [a_{1}] x + \dots + [a_{m}] x^{m}.\]La función \(r_{n}\) es un homomorfismo (ejercicio) y es sobreyectiva. Además, \(\operatorname{Ker}(r_{n}) = (n\mathbb{Z})[x]\), pues
\[\begin{aligned} a_{0} + a_{1} x + \dots + a_{m} x^{m} \in \operatorname{Ker}(r_{n}) &\iff [a_{i}] = [0] \quad \forall i \in \{0, 1, \dots, m\} \\ &\iff n \mid a_{i} \quad \forall i \in \{0, 1, \dots, m\}. \end{aligned}\]Ejemplo (El homomorfismo de evaluación y su núcleo)
Sea \(a \in \mathbb{R}\) y sea \(\varphi_{a} : \mathbb{R}[x] \to \mathbb{R}\) tal que \(\varphi_{a}(p(x)) = p(a)\). Entonces \(\varphi_{a}\) es un homomorfismo (ejercicio). Su núcleo es
\[\begin{aligned} \operatorname{Ker}(\varphi_{a}) &= \{ p(x) \in \mathbb{R}[x] :\ p(a) = 0 \} \\ &= \{ p(x) \in \mathbb{R}[x] :\ \exists q(x) \in \mathbb{R}[x]\ \big( p(x) = (x - a) \cdot q(x) \big) \} \\ &= \{ (x - a) \cdot q(x) :\ q(x) \in \mathbb{R}[x] \} \\ &= (x - a) \cdot \mathbb{R}[x] \neq \{ 0_{\mathbb{R}[x]} \}, \end{aligned}\]donde la segunda igualdad es el teorema de factorización de la raíz.
Lema (Propiedades invariantes bajo isomorfismos)
Sean \(R, S\) anillos y \(\varphi : R \to S\) un isomorfismo. Entonces:
- \(R\) es conmutativo \(\iff\) \(S\) es conmutativo;
- \(x \in R^{\times} \iff \varphi(x) \in S^{\times}\);
- \(R\) es un cuerpo \(\iff\) \(S\) es un cuerpo;
- \(x \in R\) es divisor de cero \(\iff\) \(\varphi(x) \in S\) es divisor de cero.
Prueba: Ejercicio.
Ejemplo (\(\mathbb{R} \times \mathbb{R}\) no es isomorfo a \(\mathbb{C}\) como anillo)
Sea \(\varphi : \mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{C}\) tal que \((a, b) \mapsto a + i b\). Es un isomorfismo de grupos abelianos, pero no de anillos, pues \(\mathbb{C}\) es un dominio entero y \(\mathbb{R} \times \mathbb{R}\) no lo es (tiene divisores de cero).
Ejemplo (\(\mathbb{Q}(i)\) no es isomorfo a \(\mathbb{Q}\))
Sea \(\mathbb{Q}(i) = \{ a + i b :\ a, b \in \mathbb{Q} \}\). Entonces \(\mathbb{Q}(i)\) es un cuerpo y \(\mathbb{Q}(i) \not\cong \mathbb{Q}\). En efecto, existe \(\alpha \in \mathbb{Q}(i)\) tal que \(\alpha^{2} = -1\) (a saber, \(\alpha = i\)), es decir, tal que \(\alpha^{2} + 1 = 0\). Si \(f : \mathbb{Q}(i) \to \mathbb{Q}\) fuese un isomorfismo, tendríamos que
\[f(\alpha^{2} + 1) = f(0) = 0 \implies (f(\alpha))^{2} + f(1) = 0 \implies (f(\alpha))^{2} + 1 = 0.\]Esto implicaría que en \(\mathbb{Q}\) la ecuación \(x^{2} + 1 = 0\) tiene solución, lo cual es imposible, pues \(x^{2} \geq 0\) para todo \(x \in \mathbb{Q}\). Concluimos que no existe tal isomorfismo.
Ejemplo (El único automorfismo de \(\mathbb{Z}\) es la identidad)
\(\operatorname{Aut}(\mathbb{Z}) = \{\mathrm{id}_{\mathbb{Z}}\}\). En efecto, sea \(f \in \operatorname{Aut}(\mathbb{Z})\). Entonces
\[\begin{aligned} f(0) &= 0, \\ f(1) &= 1, \\ f(2) &= f(1) + f(1) = 2, \\ &\ \,\vdots \\ f(n) &= n \quad \text{si } n \in \mathbb{N}, \end{aligned}\]donde cada paso usa la aditividad: \(f(n + 1) = f(n) + f(1)\). En general, \(f(-n) = -f(n) = -n\) si \(n > 0\), pues los homomorfismos preservan inversos aditivos. Concluimos que \(f = \mathrm{id}_{\mathbb{Z}}\).
Ejemplo (La conjugación es un automorfismo de matrices)
Sea \(U \in GL_{n}(\mathbb{R})\). La función \(\varphi : M_{n \times n}(\mathbb{R}) \longrightarrow M_{n \times n}(\mathbb{R})\) dada por \(A \longmapsto U \cdot A \cdot U^{-1}\) es un automorfismo.
Extensión y contracción de ideales
Lema (La imagen inversa de un ideal es un ideal)
Sean \(R, S\) anillos, \(\varphi : R \to S\) un homomorfismo y \(J \subseteq S\) un \(S\)-ideal. Entonces \(\varphi^{-1}(J)\) es un \(R\)-ideal.
Prueba: Ejercicio.
Nota (La imagen directa de un ideal no es necesariamente un ideal)
Si \(I \subseteq R\) es un \(R\)-ideal, no necesariamente \(\varphi(I)\) es un ideal de \(S\). ¿Por qué?
Definición (Extensión y contracción de ideales)
Sea \(\varphi : R \to S\) un homomorfismo de anillos.
- Sea \(I\) un \(R\)-ideal. Defina la extensión de \(I\), denotada \(I^{e}\), como el ideal más pequeño de \(S\) que contiene a \(\varphi(I)\).
- Si \(J \subseteq S\) es un \(S\)-ideal, la contracción de \(J\), denotada \(J^{c}\), es \(\varphi^{-1}(J)\).
Proposición (Contracciones y extensiones iteradas)
Sea \(\varphi : R \to S\) un homomorfismo de anillos, \(I \subseteq R\) un \(R\)-ideal y \(J \subseteq S\) un \(S\)-ideal. Entonces:
- \(I \subseteq (I^{e})^{c}\) y \(J \supseteq (J^{c})^{e}\);
- \(I^{e} = I^{ece}\);
- \(J^{c} = J^{cec}\).
Prueba: Usaremos dos monotonías. Si \(I_{1} \subseteq I_{2}\) son \(R\)-ideales, entonces \(I_{1}^{e} \subseteq I_{2}^{e}\): en efecto, \(\varphi(I_{1}) \subseteq \varphi(I_{2}) \subseteq I_{2}^{e}\), y como \(I_{1}^{e}\) es el ideal más pequeño que contiene a \(\varphi(I_{1})\), tenemos que \(I_{1}^{e} \subseteq I_{2}^{e}\). Si \(J_{1} \subseteq J_{2}\) son \(S\)-ideales, entonces \(J_{1}^{c} = \varphi^{-1}(J_{1}) \subseteq \varphi^{-1}(J_{2}) = J_{2}^{c}\), directamente.
Para (a): si \(x \in I\), entonces \(\varphi(x) \in \varphi(I) \subseteq I^{e}\), así que \(x \in \varphi^{-1}(I^{e}) = (I^{e})^{c}\); es decir, \(I \subseteq I^{ec}\). Por otra parte, \(\varphi(J^{c}) = \varphi(\varphi^{-1}(J)) \subseteq J\), y como \(J\) es un ideal que contiene a \(\varphi(J^{c})\), el ideal más pequeño con esa propiedad satisface \((J^{c})^{e} \subseteq J\).
Para (b): aplicando la primera parte de (a) al ideal \(I\) y luego la monotonía de la extensión, \(I \subseteq I^{ec}\) implica \(I^{e} \subseteq I^{ece}\). Y aplicando la segunda parte de (a) con \(J = I^{e}\), obtenemos \(I^{ece} = (I^{ec})^{e} = ((I^{e})^{c})^{e} \subseteq I^{e}\). Ambas contenciones dan \(I^{e} = I^{ece}\).
Para (c): aplicando la primera parte de (a) con \(I = J^{c}\), obtenemos \(J^{c} \subseteq (J^{c})^{ec} = J^{cec}\). Y aplicando la monotonía de la contracción a \((J^{c})^{e} \subseteq J\), obtenemos \(J^{cec} = ((J^{c})^{e})^{c} \subseteq J^{c}\). Ambas contenciones dan \(J^{c} = J^{cec}\).
Ejemplo (Una extensión que crece: \(n\mathbb{Z}\) dentro de \(\mathbb{Q}\))
Sea \(\varphi : \mathbb{Z} \to \mathbb{Q}\) tal que \(n \mapsto n\), y sea \(n \neq 0, 1\). Entonces \(\varphi(n) = n \in \mathbb{Q}^{\times}\), y como el único ideal de \(\mathbb{Q}\) que contiene una unidad es todo \(\mathbb{Q}\), tenemos que
\[\langle \varphi((n)) \rangle = \mathbb{Q} \implies (n\mathbb{Z})^{e} = \mathbb{Q} \implies ((n\mathbb{Z})^{e})^{c} = \mathbb{Q}^{c} = \varphi^{-1}(\mathbb{Q}) = \mathbb{Z}.\]Es decir, \(I = n\mathbb{Z} \subsetneq I^{ec} = \mathbb{Z}\): la contracción de la extensión puede ser estrictamente mayor que el ideal original.
Los teoremas de isomorfismo
Teorema (Primer teorema del isomorfismo)
Sean \(R, S\) anillos y \(f : R \to S\) un homomorfismo de anillos. Sea \(F : R/\operatorname{Ker}(f) \to \operatorname{Im}(f)\) tal que \([a] \longmapsto f(a)\). Entonces \(F\) es un isomorfismo y, en particular,
\[R/\operatorname{Ker}(f) \cong \operatorname{Im}(f).\]Prueba: \(F\) está bien definida. Si \([a] = [b]\), entonces \(a - b \in \operatorname{Ker}(f)\), de modo que
\[f(a - b) = 0 \implies f(a) = f(b) \implies F([a]) = F([b]).\]\(F\) es un homomorfismo. Usando que \(f\) lo es,
\[\begin{aligned} F([a] + [b]) &= F([a + b]) = f(a + b) = f(a) + f(b) = F([a]) + F([b]), \\ F([a] \cdot [b]) &= F([a \cdot b]) = f(a \cdot b) = f(a) \cdot f(b) = F([a]) \cdot F([b]), \\ F([1]) &= f(1) = 1. \end{aligned}\]\(F\) es sobreyectiva. Todo elemento de \(\operatorname{Im}(f)\) es de la forma \(f(a) = F([a])\) para algún \(a \in R\).
\(F\) es inyectiva. Calculamos el núcleo:
\[F([a]) = 0_{S} \implies f(a) = 0_{S} \implies a \in \operatorname{Ker}(f) \implies [a] = [0],\]es decir, \(\operatorname{Ker}(F) = \{ 0_{R/\operatorname{Ker}(f)} \} = \{ [0] \}\), y por lo tanto \(F\) es inyectiva. Concluimos que \(F\) es un isomorfismo.
Ejemplo (El cociente de un producto por un factor)
Sean \(R, S\) anillos y \(\pi : R \times S \to S\) tal que \((x, s) \mapsto s\), que es un homomorfismo sobreyectivo. Su núcleo es
\[\operatorname{Ker}(\pi) = R \times \{0\},\]pues \(\pi(x, s) = 0_{S}\) si y solo si \(s = 0_{S}\). Entonces, por el primer teorema del isomorfismo,
\[(R \times S)/(R \times \{0\}) \cong S.\]Ejemplo (El cociente de un producto por un producto de ideales)
Sean \(R, S\) anillos, \(I\) un \(R\)-ideal y \(J\) un \(S\)-ideal. Entonces
\[(R \times S)/(I \times J) \cong R/I \times S/J,\]usando el homomorfismo \(\varphi : R \times S \to R/I \times S/J\) tal que \((r, s) \mapsto (r + I, s + J)\) (ejercicio).
Teorema (Segundo teorema del isomorfismo)
Sea \(R\) un anillo, \(S \leq R\) un subanillo e \(I\) un \(R\)-ideal. Entonces:
- \(S \cap I\) es un \(S\)-ideal;
- \(S + I\) es un subanillo de \(R\);
- \(I\) es un \((S + I)\)-ideal;
- \(S/(S \cap I) \cong (S + I)/I\).
Prueba: Para (1): \(0 \in S \cap I\), y \(S \cap I\) es cerrado bajo sumas por serlo \(S\) e \(I\). Para la absorción, sean \(s \in S\) y \(x \in S \cap I\); entonces \(s x \in S\), por ser \(S\) cerrado bajo productos, y \(s x \in I\), por la absorción de \(I\) en \(R\) (note que \(s \in S \subseteq R\)); es decir, \(s x \in S \cap I\), y análogamente \(x s \in S \cap I\).
Para (2): usamos el criterio de subanillo. Primero, \(1 = 1 + 0 \in S + I\). Si \(s + x, s' + x' \in S + I\), entonces
\[(s + x) - (s' + x') = (s - s') + (x - x') \in S + I,\]y para el producto,
\[(s + x)(s' + x') = s s' + (s x' + x s' + x x'),\]donde \(s s' \in S\) y los tres términos del paréntesis están en \(I\) por absorción; entonces el producto está en \(S + I\).
Para (3): \(I \subseteq S + I\) (pues \(x = 0 + x\)), \(I\) es no vacío y cerrado bajo sumas, y la absorción por elementos de \(S + I \subseteq R\) es un caso particular de la absorción de \(I\) en \(R\).
Para (4): considere \(\varphi : S \to (S + I)/I\) dada por \(\varphi(s) = s + I\), la restricción a \(S\) de la proyección canónica. Es un homomorfismo, pues las operaciones de \((S+I)/I\) se calculan con representantes. Es sobreyectiva: toda clase de \((S + I)/I\) es de la forma \((s + x) + I\) con \(s \in S\), \(x \in I\), y \((s + x) + I = s + I = \varphi(s)\), pues \(x \in I\). Su núcleo es
\[\operatorname{Ker}(\varphi) = \{ s \in S :\ s + I = I \} = \{ s \in S :\ s \in I \} = S \cap I.\]Por el primer teorema del isomorfismo, \(S/(S \cap I) \cong \operatorname{Im}(\varphi) = (S + I)/I\).
Teorema (Tercer teorema del isomorfismo)
Sea \(R\) un anillo y sean \(I \subseteq J \subseteq R\) ideales. Entonces
\[(R/I)\big/(J/I) \cong R/J.\]Prueba: Considere \(f : R/I \to R/J\) dada por \(f([x]_{I}) = [x]_{J}\). Está bien definida: si \([x]_{I} = [y]_{I}\), entonces \(x - y \in I \subseteq J\), de modo que \([x]_{J} = [y]_{J}\). Es un homomorfismo, pues las operaciones en ambos cocientes se calculan con representantes:
\[f([x]_{I} + [y]_{I}) = f([x + y]_{I}) = [x + y]_{J} = [x]_{J} + [y]_{J},\]y análogamente para el producto; además \(f([1]_{I}) = [1]_{J}\). Es sobreyectiva: toda clase \([x]_{J}\) es \(f([x]_{I})\). Su núcleo es
\[\operatorname{Ker}(f) = \{ [x]_{I} :\ [x]_{J} = [0]_{J} \} = \{ [x]_{I} :\ x \in J \} = J/I.\]Por el primer teorema del isomorfismo,
\[(R/I)\big/(J/I) = (R/I)\big/\operatorname{Ker}(f) \cong \operatorname{Im}(f) = R/J.\]